物质调运问题数学建模

1 防洪物资调运问题防洪物资调运问题 姓名 夏茂江 学号 332010080801004 姓名 吴帆 学号 332010080801009 姓名 丁宇 学号 332010080801006 摘要摘要 防洪物资调运问题实质是个运筹学网络规划中的最短路问题 由于灾害发生时间和地 点等各种因素的影响 具有较大随机性 我们结合实际情况 对其建立了相应的模型 我们建的模型主要是考虑以最短时间或者最经济的调运方案将防洪物资进行分配 并 且满足一定的要求 使用图论的思想将交通网络图转化为数学图形 比用图论的方法求出 各企业到各储备库和仓库的最经济的路线和最短的路线 在进行物资调运的过程中 还是 按照先满足储备库达到预测库存为目标一 使所有的仓库达到预测库存为目标二 让所有 仓库和储备库达到最大库存为目标三分为三个阶段 第一阶段可以假设有足够的能力一次 性运达 第二阶段和第三阶段还要考虑企业的生产能力 以上面的方法建立了模型 求得 20 天后的各库存量就比较容易了 根据前面的建立的 模型我们根据路程最短为原则选取路线算出 20 天后的各仓库包括储备库的库存量 根据第问题二的调运方案中的调运路线看是否经过中断路段 如果不经过则调运方案 时可行的 如果经过那么要考虑其它的线路 使路程最短 因为在汛期时间是第一目标 我们可以再图论中把中断路段所对应的边去掉 这样直观 明了 便于我们查看 计算 一 问题重述一 问题重述 我国地域辽阔 气候多变 各种自然灾害频频发生 特别是每年在长江 淮河 嫩江 等流域经常爆发不同程度的洪涝灾害 给国家和人民财产带来重大损失 防洪抗涝成为各 级政府的一项重要工作 某地区为做好今年的防洪抗涝工作 根据气象预报及历史经验 决定提前做好某种防洪抗涝物资的储备 已知该地区有生产该物资的企业三家 大小物资仓库八个 国家级储备库两个 各库 库存及需求情况见附件 1 其分布情况见附件 2 经核算该物资的运输成本为高等级公路 2 元 公里 百件 普通公路 1 2 元 公里 百件 假设各企业 物资仓库及国家级储备库之间 的物资可以通过公路运输互相调运 1 请根据附件 2 提供的信息建立该地区公路交通网的数学模型 2 设计该物资合理的调运方案 包括调运量及调运线路 在重点保证国家级储备库 2 的情况下 为给该地区有关部门做出科学决策提供依据 3 根据你的调运方案 20 天后各库的库存量是多少 4 如果汛期下列路段因洪水交通中断 能否用问题二的模型解决紧急调运的问题 如果不能 请修改你的模型 中断路段 附件附件 1 1 各库库存及需求情况 单位 百件 各库库存及需求情况 单位 百件 库存 单位 现有库 存 预测库 存 最低库 存 最大库 存 产量 天 企业 1 600 80040 企业 2 360 60030 企业 3 500 60020 仓库 1 200500100800 仓库 2 270600200900 仓库 3 450300200600 仓库 4 230350100400 仓库 5 8004003001000 仓库 6 280300200500 仓库 7 390500300600 仓库 8 500600400800 储备库 1 2000300010004000 储备库 2 1800250010003000 142311252627931 3 附件附件 2 生产企业 物资仓库及国家级储备库分布图 生产企业 物资仓库及国家级储备库分布图 企业企业 1 仓库仓库 5 企业企业 2 企业企业 3 仓库仓库 2 仓库仓库 4 储备库储备库 1 储备库储备库 2 仓库仓库 3 仓库仓库 1 仓库仓库 6 仓库仓库 7 仓库仓库 8 75 65 52 58 45 72 80 45 22 50 3028 30 18 68 7050 80 78 40 48 70 32 40 28 30 38 32 30 10 48 56 28 2632 58 46 50 56 36 38 50 60 40 62 70 85 15 102 52 6250 48 42 52 35 50 40 5045 6040 38 035 6898 62 28 25 20 21 16 17 18 19 13 14 15 12 10 11 9 76 8 42 5 4 3 1 2 25 24 23 29 22 28 27 30 26 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4 注 注 高等级公路高等级公路 普通公路普通公路 河流河流 等表示公路交汇点 等表示公路交汇点 30 50 28 等表示公路区间距离 单位 公里 如等表示公路区间距离 单位 公里 如 与与 之间距离为之间距离为 80 公里公里 二 模型假设及符号说明二 模型假设及符号说明 1 1 模型假设 模型假设 1 假定该预测值是科学的可靠的 2 假设公路交汇点 27 为储备库 1 交汇点 30 为储备库 2 将交汇点 15 与 28 之间的交 汇点 9 改为 42 3 假设在整个生产过程中企业的生产不受限制 仓库的储存费 装卸费不考虑 4 假设在高级公路和普通公路的行驶速度相等且不变 5 为了表述方便假设将两储备库分别处理为仓库 9 10 6 假设运输能力足够 能一次性把物资运达目的地 2 2 符号说明 符号说明 表示企业 的现有库存 i xi 表示仓库的预测库存 j zj 表示企业 向仓库的调运量 ij yij 表示处理后企业 到仓库的最短路程 ij lij 三 问题分析三 问题分析 可以根据题目的数据信息得以分析出 把实际的图形问题转换为理想的纯数学图形 再根据图论的知识 想办法把理想的纯数学图形放在图论中加以假设从而得到可以求解的 数学模型 1 对于问题 1 其实就是把实际图形理论化 转化为我们数学上的图论问题 把企 业 仓库 储备库转化为相应的定点 点与点之间的公路用线条表述 路程得以标出 2 对于问题 2 合理的调运方案包括最优的调运线路以及合适调运量 根据提议可 知还要首先保证国家储备库的条件下进行最优选配 在建立方案时要考虑各企业库存和产 量 各仓库的库存要求 特别是预测库存的重要性 在以上条件下使总运费最少 从而就 转化为一个线性规划的问题 路线可以根据模型图统计出来 1231213 5 3 对于问题 3 根据 2 的方案 再考虑每个企业的总的生产量 得出 20 天后的各 点的库存量 4 对于问题 4 根据 2 的调运方案 查看方案中的调运路线是否经过中断的路段 如果不经过 2 的调运方案时可行的 如果经过中断的路段 那就需要重新考虑其他的路 线 就在模型中去掉中断的路段 再重复 2 的步骤求解 四 模型的建立和求解四 模型的建立和求解 1 关于问题 1 的模型建立和求解 根据题中给出的生产企业 物资仓库及国家级储备库分布图 建立该地区交通网数学模 型 即用数学语言来描述各段公路的距离 从题中的图形中我们可以得到 42 个公路交汇点 其中包括三个企业 八个仓库和两个储备库等 两个顶点和他们之间直接连接的一条边线 可以描述网络图中的一个基本组成单位 例如 从 1 点出发可以分别只经过一次直接到 2 33 34 点 且各段的路程分别为 40 60 45 一次类推可以得到所有点的一次交通网 从而组成完整的交通网 当需要查询多次运输 时 直接在这些一次的交通线上寻找连接一起即可 公路交通网如下图形所表述 表 1 起 点 111222233344 终 点 2333413792103656 路 程 4060454035506235425016 2730 起 点 445555666667 终 点 2930463940451140412 路 程 67701746 714263 33046 753 3304850 起 点 778889999101010 终 点 102714152822731403712 路 程 801176063 383 362405228428052 起 点 111111111212131313141414 终 6152527101312202781723 6 点 路 程 5393 367805280806883 36093 3450 起 点 151515151516161617171818 终 点 81118254218202314231516 路 程 6393 3584628125586593 35258125 起 点 181818191919202020202122 终 点 192325182226131622242219 路 程 224550227228685880504572 起 点 222223232323242425252525 终 点 202114161718202611151826 路 程 804550655245503066 74650 0118 起 点 262626262727272727272828 终 点 192425277911132640829 路 程 28301870117408083 37053 3383 3360 起 点 282929303031313232323232 终 点 424284399323134353839 路 程 4266 760701552505025986862 起 点 333333343435353636373738 终 点 136371323239333333832 路 程 6040384525981705040383568 起 点 383939393940404040414142 7 终 点 3753032355692764215 路 程 35142156217063 3302853 3482628 起 点 4242 终 点 2841 路 程 4226 2 2 关于问题 关于问题 2 2 的模型建立和求解 的模型建立和求解 由于洪水是难以预期的 有一定的随机性 所以为了有效的防御 应该当在最短的时 间保证各储备库和仓库达到预测库存 也就是说在储备库和仓库未达到预测库存之前以时 间为第一目标函数建立模型 而当他们都达到预测库存之后 各地区都有充足的防洪能力 了 所以我们可以以经济为第一目标函数建立模型 首先要对数据进行处理 把高级公路长度按运费折算成普通公路的等效长度 例如 企业 1 点 24 到储备库 2 点 30 之间的一条线路 24 26 25 11 6 4 30 中分别从左至 右的路程分别为 30 18 40 32 30 70 总路程为 220 但其中 40 和 32 是高级公路上 的路程 由题可知高级公路单价为 2 元 普通公路为 1 2 可以把这两个路程转化为普通 公路路程 40 32 2 1 2 120 故这条线路上的总路程 268 以此类推用这种方法就可 以让路程等效 我们可以利用动态规划的顺序解法求解个两点间的路程最短的问题 以及最优路线 我们以求解企业 1 仓库 2 的最短路程为例 局部简化线路图如图所示 注 粗线表示高级公路 23 18 19 25 26 2445 22 30 28 18 30 1 当 1 时 k 11 sf 24 1 f0 2 当 2 时 30 k 26 2 f 3 当 3 时 k 852830 26 19 26 19 323 dff 481830 26 25 26 25 323 dff 8 4 当 4 时 k 80 982 1 2 3048 802258 min 18 25 25 18 19 19 min 18 43 43 4 df df f 5 当 5 时 k 1254580 23 18 18 23 545 dff 即最短路是 24 26 19 18 23 路程是 125 以此类推可以求得各个企业到各仓库的等效路程最短的路线 因为首先满足储备库 故首先考虑三个企业向储备库的调运 其次由于仓库 3 和仓库 5 现有库存超过预测库存 所以也要考虑仓库 3 和仓库 5 向储备库的调运 表 2 起点目的地最优路线路程 储备库 1 24 26 27100 储备库 2 24 26 25 11 6 4 30268 仓库 1 24 26 25 15 42 28164 仓库 2 24 26 19 18 23125 仓库 3 24 26 27 9 31 32 35340 仓库 4 24 26 27 9 31192 仓库 5 24 20 22130 仓库 6 24 26 27 9 2 3 36287 仓库 7 24 26 25 15 42 28 29224 企业 1 仓库 8 24 26 27 9 31 32 38310 储备库 1 41 6 40 27131 3 储备库 2 41 6 4 30148 仓库 1 41 42 2868 仓库 2 41 42 15 18 23157 仓库 3 41 6 40 9 31 32 35306 仓库 4 41 6 40 9 31158 仓库 5 41 42 15 18 19 22206 仓库 6 41 6 40 9 2 3 36253 仓库 7 41 42 28 29128 企业 2 仓库 8 41 6 40 9 31 32 38276 储备库 1 34 32 31 9 27161 储备库 2 34 32 39 30152 仓库 1 34 32 39 30 4 29 28298 7 仓库 2 34 32 31 9 27 26 19 18 23332 仓库 3 34 32 35123 仓库 4 34 32 3175 企业 3 仓库 5 34 32 31 9 27 21 19 22337 9 仓库 6 34 1 33 36145 仓库 7 34 32 39 30 4 29238 67 仓库 8 34 32 3893 储备库 1 35 32 31 9 27240 储备库 2 35 32 39 30175 仓库 1 35 32 39 30 4 29 28371 67 仓库 2 35 32 31 9 27 26 19 18 23405 仓库 4 35 32 31148 仓库 5 35 32 31 9 27 26 19 22410 仓库 6 35 32 34 1 33 36268 仓库 7 35 32 39 30 4 29311 67 仓库 3 仓库 8 35 32 38166 储备库 1 22 19 26 27170 储备库 2 22 19 26 25 11 6 4 30338 仓库 1 22 19 18 15 42 28222 仓库 2 22 19 18 23139 仓库 3 22 19 26 27 9 31 32 35410 仓库 4 22 19 26 27 9 31262 仓库 6 22 19 26 27 9 2 3 36357 仓库 7 22 19 18 15 42 28 29282 仓库 5 仓库 8 22 19 26 27 9 31 32 38380 第一阶段 我们使储备库达到预测库存 由企业和超过预测库存的仓库 3 5 向储备 库提供 此阶段以总调运时间最小为目标 但我们前面已经假设了把高级公路和普通公路 路程等效 速度都是相等的恒定值 故要求总运调时间也就是总路程最短 且满足再最短 路上调运量最大 模型 1 的建立 目标函数 总的调运时间最小 52 11 min ijij ij l y 约束条件 各企业 包括仓库 3 5 向外运输量不大于现有的库存量 2 ij j 1 y i 1 2 3 4 5 i x 使储备库要达到预测库存 5 ij i 1 y 1 2 j zj 10 用 LINGO 求解 得到第一阶段各企业向各储备库的具体分配量如下 表 3 第二阶段 使其他各个仓库达到预测库存 通过分析第一阶段的结果 发现三个企业 现存量已全部运完 仓库 3 刚好达到预测库存 而仓库 5 超过预测库存 310 通过公式 得到各库存都达到预测值时间为 7 44 天 即 预测库存总量现有库存总量 时间 三个企业的日产量和 至少需要 8 天 然后我们把 8 天后各企业总产量处理为其在 8 天可调运的总量 建立以时 间最少为目标的模型 得到每个企业向各仓库 8 天的总分配量 模型 2 的建立 目标函数 48 11 min ijij ij l y 约束条件 各企业 包括仓库 5 向外运输量不大于现有的库存量 8 ij j 1 y i 1 2 3 4 i x 被运输的各仓库要达到预备库存 4 ij i 1 y j 1 2 3 4 5 6 7 8 j z 用 LINGO 求解 得到第二阶段各企业向各仓库的具体分配量如下 表 4 分配量仓库 1仓库 2仓库 3仓库 4仓库 5仓库 6仓库 7仓库 8 企业 1 170700800000 企业 2 130000001100 企业 3 000400200100 仓库 5 0260000000 第三阶段 在达到预测库存之后 该地区已经具备了防御一般洪水的能力 为了防御 更大的洪水 应该使库存物资尽可能多 分配量可运输量储备库 1储备库 2 企业 1 6006000 企业 2 36031050 企业 3 5000500 仓库 3 1500150 仓库 5 400900 11 通过公式 得到各库存都达到预测值时间 最大库存总量预测库存总量 时间 三个企业的日产量和 为 38 8889 天 即至少需要 39 天 然后我们把 39 天后各企业总产量处理为其在 39 天可调 运的总量 建立以运费最少为目标的模型 由于高级公路长度按运费折算成普通公路的等 效长度 故求单位物资的调运费最小即为路程为最短 得到每个企业向各仓库 39 天的总分 配量 建立模型 3 如下 目标函数 ij ij ijy l 3 1 10 1 min 约束条件 企业 1 2 3 在达到预测库存后 39 天向外运输的总量分别不应超过 40 39 30 39 20 39 10 1 1 40 39 j yj 10 1 2 30 39 j yj 10 1 3 20 39 j yj 各库存不超过其最大储存量 3 1 ijj i ym 模型 3 求解的企业后期调运分配方案如下 表 5 分 配 量 储备库 1 储备 库 2 仓库 1 仓库 2 仓库 3 仓库 4 仓库 5 仓库 6 仓库 7 仓 库 8 企 业 1 7100030000550000 企 业 2 29047030000000 1000 企 业 3 030003005002000200 30 12 3 3 关于问题 关于问题 3 3 的模型建立和求解 的模型建立和求解 在问题 2 中我们已经求得了各企业在三个阶段向仓库的调运量 我们现在需要先求 出每个企业 20 天后的生产量 根据 2 中的方案求得第 20 天后各个库的存储量 我们认为有能力将现有库存及第一天的参量都运送出去 即第一天就能够使储备库达到 预测库存值 对于调运的先后顺序问题 在优先考虑储备库到达预测库存之后 我们考虑 线路的路程 越短越先满足 以达到经济的目的 前 20 天的分配方案如下表 表 6 时间 天 企业至仓库 调运量 时间 天 企业至仓库 调运量 11 储 1 60011 1740 12 储 1 31011 213 1 仓 5储 1 9011 2927 12 储 2 5011 3520 13 储 2 50012 1740 1 仓 3储 2 15012 215 1 仓 5仓 2 26012 2925 11140 12 3520 12130 13 1740 13420 13 218 21140 13 2322 22130 13 3515 23420 13 385 31133 14 1415 3147 14 1725 32124 14 215 3276 14 2325 33820 14 3511 41122 14 389 41418 15 1436 4214 15 174 42726 15 215 43820 15 2325 51118 15 3511 5125 15 389 51417 16 143 5216 16 1737 13 52724 16 215 53610 16 2325 53810 16 3511 6116 16 389 61222 17 144 61413 17 1736 62112 17 215 62718 17 2325 6369 17 3511 63811 17 389 7116 18 1140 71222 18 215 71413 182325 72112 183511 72718 18389 73820 191111 8116 191429 81222 19215 81413 192325 82112 193511 82718 19389 91740 20114 92121 201410 9231 201726 9298 20215 9357 202325 93813 20357 101740 20386 10 2130 203106 10 3520 进而得到 20 天后各库存量分别为 表 7 储备库 1储备库 2仓库 1仓库 2仓库 3 31592500697698455 仓库 4仓库 5仓库 6仓库 7仓库 8 350777379560606 14 4 4 关于问题 关于问题 4 4 的模型建立和求解 的模型建立和求解 在汛期时 相当于紧急调运 与问题 2 的模型有所不同 此时 无论在什么情况 下 都要以时间为第一目标 即要满足调运时所走路线的实际距离最短 不再把高级公路 和普通公路等效 不仅不用考虑调用的经济问题 而且不用考虑储备库优先的情况 分达 到预测前和预测后两个阶段考虑 其中 我们要把中断路程处理为无路 我们可以利用动 态规划的顺序解法求解个两点间的路程最短的问题 以及最优路线 我们以求解企业 1 仓库 2 的最短路程为例 局部简化线路图如图所示 注 粗线表示高级公路 23 18 19 25 26 2445 22 30 28 18 30 1 当 1 时 k 11 sf 24 1 f0 2 当 2 时 30 k 26 2 f 3 当 3 时 k 852830 26 19 26 19 323 dff 481830 26 25 26 25 323 dff 4 当 4 时 k 78 783048 802258 min 18 25 25 18 19 19 min 18 43 43 4 df df f 5 当 5 时 k 1234578 23 18 18 23 545 dff 即最短路是 24 26 25 18 23 路程是 123 以此类推 可以求得各点之间的最短调运路线 如下表 表 8 表 8 起点目的地路程最优路线 储备库 1 16824 20 13 27 储备库 2 28224 26 25 15 11 6 4 30 仓库 1 16424 26 25 15 42 28 企业 1 仓库 2 12324 26 25 18 23 15 仓库 3 39724 26 25 15 11 6 5 39 35 仓库 4 40724 26 25 15 11 6 5 39 32 31 仓库 5 13024 20 22 仓库 6 34224 20 13 12 10 3 36 仓库 7 22424 26 25 15 42 28 29 仓库 8 42524 26 25 11 6 5 39 32 38 储备库 1 11041 6 40 27 储备库 2 14841 6 4 30 仓库 1 6841 42 28 仓库 2 15741 42 15 18 23 仓库 3 26341 6 5 39 35 仓库 4 27341 6 5 39 32 31 仓库 5 20641 42 15 18 19 22 仓库 6 25341 6 40 9 2 3 36 仓库 7 11841 6 4 29 企业 2 仓库 8 29141 6 5 39 32 38 储备库 1 18734 1 2 9 27 储备库 2 10234 32 39 30 仓库 1 27234 32 39 30 4 29 28 仓库 2 39134 32 39 5 6 11 15 18 23 仓库 3 12334 32 35 仓库 4 7534 32 31 仓库 5 38534 1 2 9 27 13 20 22 仓库 6 14534 1 33 36 仓库 7 21234 32 39 30 4 29 企业 3 仓库 8 9334 32 38 储备库 1 31035 32 34 1 2 9 27 储备库 2 17535 32 39 30 仓库 1 371 6735 32 39 30 4 29 28 仓库 2 51035 32 34 1 2 9 27 11 25 18 23 仓库 4 14835 32 31 仓库 5 41135 39 5 6 11 25 18 19 22 仓库 6 26835 32 34 1 33 36 仓库 7 311 6735 32 39 30 4 29 仓库 3 仓库 8 16635 32 38 储备库 1 19822 20 13 27 储备库 2 33822 19 26 25 11 6 4 30 仓库 1 22222 19 18 15 42 28 仓库 2 13922 19 18 23 仓库 3 41122 19 18 25 11 6 5 39 35 仓库 5 仓库 4 41522 19 26 25 11 6 5 39 32 31 16 仓库 6 39322 19 26 25 11 27 9 2 3 36 仓库 7 28222 19 18 15 42 28 29 仓库 8 43322 19 26 25 11 6 5 39 32 38 第一阶段 到达预测库存前 模型 6 目标函数 调运总时间最短 58 11 min ijij ij l y 约束条件 各企业 包括仓库 3 5 向外运输量不大于现有的库存量 8 ij j 1 y i 1 2 3 4 5 i x 被运输的各仓库要达到预备库存 5 ij i 1 y 1 2 j zj 用 LINGO 求解 在达到预备前各企业向各仓库的具体分配量如下 表 9 分配量 储备库 1 储备库 2 仓库 1 仓库 2 仓库 4 仓库 6 仓库 7 仓库 8 企业 1 9200000000 企业 2 601303000001100 企业 3 042000120200100 仓库 3 0150000000 仓库 5 20000330000 第二阶段 达到预测库存后 模型 7 在问题 2 的基础上要加以改进 目标有所 不同 目标函数 调运总时间最短 38 11 min ijij ij l y 约束条件与问题 2 中的第三阶段相同 求解得到分配量如下 表 10 分配 量 储备 库 1 储备 库 2 仓库 1 仓库 2 仓库 3 仓库 4 仓库 5 仓库 6 仓库 7 仓库 8 17 企业 1 7000030000550000 企业 2 300470300000001000 企业 3 030003005002000200 五 五 计算机结果及分析 本文采用了线性规划的方法和图论的思想 从实际问情况出发 并运用了数学图形 思想 针对不同情况下的要求和不同侧重点建立了不同的模型 把问题分阶段考虑 让结 果更合理 此外 模型表述清晰 简洁精练 可以对突发事件作出及时的调整 模型的改进 在本文中我们假设了车辆在高等级公路和普通公路的速度相同 而在实 际过程中速度是不可能相同的 根据两者速度的比值对交通网络图中的路程数据作相应的 处理 然后在按同样的模型求解 可以得到更好的实际调运方案 在问题 2 中模型 1 和 模型而以时间为目标时 我们简化成路程最短不是很严谨 因为我们把高级公路和普通公 路等效了 但实际是不可能的 进行了理想化 对于提前作好防洪物资储备的情况 利用模型 2 及模型 3 调运一段时间之后 如果此 时发生洪涝灾害需要紧急调运时 我们可以以此时的库存量为起点 调整为按模型 5 进行 紧急调运 以此来应对突发事件 在实际问题中 对于紧急调运问题 还可以考虑让发生 灾害地区附近的仓库 企业及储备库都向灾区提供适量的物资援助 节省救助时间 尽量 减小灾害所造成的损失 六 参考文献六 参考文献 1 朱求长 运筹学及其应用 武汉大学出版社 2006 1 2 谢兆鸿 范正森 王艮远 数学建模技术 中国水利水电出版社 2003 9 3 沙特 M H Alsuwaiyel 算法设计技巧与分析 2007 年 6 月 4 魏晓平等 管理运筹学教程 江苏徐州 中国矿业大学出版社 2003 年 2 月 5 陈庆喜 浅析高速公路路网模型的建立与清分算法的实现 高速公路运营技术 与管理 6 郑更新 物资调运问题的进一步讨论 中央民族大学学报 自然科学版 2003 年 7 月第 12 卷 第 3 期 7 范正森 粮食调运与储备问题的优化模型 粮食与饲料工业 2003年第7期 18 七 附录七 附录 源程序代码 模型1代码 model sets z 1 2 c x 1 5 d links x z l y endsets min sum links i j l i j y i j for x i sum z j y i j d i for z j sum x i y i j c j data d 600 360 500 150 400 c 1000 700 l 100 268 131 3 148 161 152 240 175 170 338 enddata end 模型 2 代码 model sets z 1 8 c x 1