极坐标与参数方程知识点总结

精品文档 1欢迎下载 极坐标与参数方程知识点总结 题型一 参数方程转化为普通方程 例 已知圆 C 的圆心是直线与轴的交点 且圆 C 与直线相切 则圆 C 的方程为 1 xt t yt 为参数x30 xy 分析 这是一道利用圆与直线的位置关系求圆方程的填空题 其中一条直线的方程用参数方程给出 解析 化直线为 圆 C 的圆心是 半径 1 xt t yt 为参数10 xy 1 0 22 1 03 2 11 r 圆 C 的方程为 2 2 12xy 点睛 将直线的参数方程化为直角坐标方程是解决本题的一个关键点 变式 1 已知椭圆 E 的中心是坐标原点 一个焦点是直线与轴的交点 一个顶点在直线 1 xt t yt 为参数x 上 则椭圆 E 的方程为 20 x 22 1 43 xy 2 北京 9 直线t ty tx 1 2 为参数 与曲线 sin3 cos3 y x 为参数 的交点个数为 解析 直线的普通方程01 yx 圆的普通方程为9 22 yx 可以直线圆相交 故有 2 个交点 答案 2 3 在平面直角坐标系中 以坐标原点O为几点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 已知直线l上两点NM 的极坐 标分别为 2 3 32 0 2 圆C的参数方程 sin23 cos22 y x 为参数 设P为线段MN的中点 求直线OP的平面直角坐标方程 判断直线l与圆C的位置关系 解析 由题意知 2 3 2 0 0 3 MN 因为P是线段MN中点 则 3 1 3 P 因此OP直角坐标方程为 3 3 yx 因为直线l上两点 2 3 2 0 0 3 MN l垂直平分线方程为 332 30 xy 圆心 2 3 半径 2r 精品文档 2欢迎下载 2 33 32 3 3 239 d r 故直线l和圆C相交 考点定位 本题主要考查极坐标与参数方程的互化 圆的参数方程等基础知识 考查运算求解能力 考查转化化归 思想 4 在平面直角坐标系xOy中 曲线 1 C和 2 C的参数方程分别为 1 xt Ct yt 是参数 和 2 2cos 2sin x C y 是参数 它们的交点坐标为 解析 它们的交点坐标为 1 1 222 12 0 2Cyx yCxy 解得 交点坐标为 1 1 5 在直角坐标系xOy中 以原点O为极点 x轴的正半轴为极轴 建立极坐标系 已知射线 4 与曲线 2 1 1 xt yt t为参数 相交于A B两点 则线段AB的中点的直角坐标为 考点分析 考点分析 本题考察平面直角坐标与极坐标系下的曲线方程交点 难易度难易度 解析 解析 4 在直角坐标系下的一般方程为 Rxxy 将参数方程 2 1 1 xt yt t为参数 转化为直角坐标系下 的一般方程为 222 2 11 1 xxty表示一条抛物线 联立上面两个方程消去y有045 2 xx 设 BA 两点及其中点P的横坐标分别为 0 xxx BA 则有韦达定理 2 5 2 0 BA xx x 又由于点P点在直线 xy 上 因此AB的中点 2 5 2 5 P 题型二 极坐标与直角坐标的互化 例 在极坐标系中 由三条直线 围成图形的面积是 0 3 1sincos 分析 本题给出三条直线的极坐标方程 然后求围成的三角形的面积 解析 化直线 为 三条直线的交0 3 1sincos 0 30 10 xxyxy 点坐标分别为 围成图形的面积为 31 33 0 0 1 0 22 13333 1 224 点睛 解题的关键处是将三条直线的极坐标方程化为直角坐标方程 变式 1 在极坐标系中 直线与圆相交于 A B 两点 C 为圆心 则三角形 ABC 的面积是sin1 4cos 3 2 安徽 13 在极坐标系中 圆4sin 的圆心到直线 6 R 的距离是 3 精品文档 3欢迎下载 解 圆 22 4sin 2 4xy 的圆心 0 2 C 直线 30 6 lRxy 点C到直线l的距离是 02 3 3 2 3 10 陕西 15 C 坐标系与参数方程 直线2 cos1 与圆2cos 相交的弦长为 3 解析 2 cos1 是过点 0 2 1 且垂直于极轴的直线 2cos 是以 0 1为圆心 1 为半径的圆 则弦长 3 2 1 12 2 4 设点的极坐标为 直线 过点且与极轴所成的角为 则直线 的极坐标方程为 A2 6 lA 3 l 5 或或或sin1 3 cos1 6 4 sin1 3 3 cossin20 6 极坐标方程分别为4cos 和8sin 的两个圆的圆心距为 52 解析 4 2 4x x2 y2 4x x 2 2 y2 4 同理 x2 y 4 2 16 7 已知直线l的参数方程为 t为参数 圆的极坐标方程为 则直线l与圆的位置 2 14 xt yt C2 2sin C 关系为 相交 8 在极坐标系中 圆上的点到直线的距离的最小值是 1 2 6sin3cos 解析 圆可化为 直线化为 圆心到直线的距离2 22 4xy 6sin3cos 360 xy 最短距离为 006 32 1 3 d 321 题型三 参数方程与极坐标方程的应用 例 以直角坐标系的原点为极点 轴的正半轴为极轴 并在两种坐标系中取相同的长度单位 已知直线的极坐标x 方程为 它与曲线 为参数 相交于两点 A 和 B 则 AB 4 R 12cos 22sin x y 分析 本题给出直线的极坐标方程和曲线的参数方程 然后求弦长 AB 解析 直线的直角坐标方程为 曲线的直角坐标方程为0 xy 22 1 2 4xy 圆心到直线的距离 1 20 xy 2 2 1 22 2 11 d 22 2 2 2 14 2 AB 点睛 将极坐标方程 参数方程统一化为直角坐标方程 然后在直角坐标系中解题 变式 1 以直角坐标系的原点为极点 轴的正半轴为极轴 并在两种坐标系中取相同的长度单位 已知直线的极坐标方x x 精品文档 4欢迎下载 程为 曲线的参数方程为 为参数 则曲线的中心 圆心 到直线的cossin1 23cos 23sin x y 距离为 2 2 2 2 已知曲线已知曲线的极坐标方程是的极坐标方程是 以极点为原点 极轴为 以极点为原点 极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系 直线轴的正半轴建立平面直角坐标系 直线 的参数方程的参数方程C1 xl 写出直线 写出直线 的普通方程与曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程 的直角坐标方程 1 2 3 2 2 t x t yt 为参数lC 设曲线 设曲线经过伸缩变换经过伸缩变换得到曲线得到曲线 设曲线 设曲线上任一点为上任一点为 求 求的最小值的最小值 C 3xx yy C C M x y2 3xy 3 在直接坐标系 xOy 中 直线l的方程为 x y 4 0 曲线 C 的参数方程为 x3cos ysin 为参数 I 已知在极坐标 与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位 且以原点 O 为极点 以 x 轴正半轴为极轴 中 点 P