2010年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(新课标)全解全析版

2010 年普通高等学校招生全国统一考试 宁夏卷 数学 文史类 第 I 卷 一 选择题 本大题共 12 题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 有一项是符合题目要求的 1 已知集合 则 A 2 xxxR B 4 xxxZ AB A 0 2 B 0 2 C 0 2 D 0 1 2 解析 选择 D 因为 所以 0 1 2 A 22 xx 0 1 2 3 16 B AB 2 为平面向量 已知 4 3 2 3 18 则 夹角的余弦值等于 a b a a b a b A B C D 8 65 8 65 16 65 16 65 解析 选择 C 因为 所以 3 18 8 6 5 12 b 1616 cos 5 1365 3 已知复数 则 2 3 13 i z i z A 1 4 B 1 2 C 1 D 2 解析 选择 B 解法 1 因为 313 222 313 ii z ii 13 131 2 32 248 ii i 31 44 i 所以 22 311 442 z 解法 2 22 3 3 21 42 13 13 ii z ii 4 曲线在点 1 0 处的切线方程为 3 21yxx A 1yx B 1yx C 22yx D 22yx 解析 选择 A 因为 所以 因此切线方程为 2 32yx 1 1 x ky 1yx 5 中心在远点 焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点 4 2 则它的离心率为 A 6 B 5 C 6 2 D 5 2 解析 选择 D 双曲线的一条渐近线为 由已知过点 4 2 代入得 b yx a 1 2 b a 因此它的离心率 2 5 1 2 cb e aa 6 如图 质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动 其初始位置为 0 2 2 P 角速度为 1 那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为 解析 选择 C 解法 1 显然 当 t 0 时 d 排除 A D 当 t 时 d 0 排除 B 因此选择 C 2 4 解法 2 显然 当时 由已知得 故排除 A D 又因为质点是按逆时针方向转动 0t 2d 随时间 的变化质点 P 到轴的距离先减小 再排除 B 即得 C txd 解法 3 根据已知条件得 再结合已知得质点 P 到轴的距离关于时间 的函2 1 4 A xdt 数为 画图得 C 2sin 4 dt 7 设长方体的长 宽 高分别为 2a a a 其顶点都在一个球面上 则该球的表面积为 A 3 a2 B 6 a2 C 12 a2 D 24 a2 解析 选择 B 依题意 因此该球的表面积 2222 246Raaaa 22 46Ra 22 46SRa x y P0 O P 8 如果执行右面的框图 输入 N 5 则输出的数等于 A B C D 5 4 4 5 6 5 5 6 解析 选择 D 1 2 1k 1 1 2 S 2k 11 1 22 3 S 3 3k 111 1 22 33 4 S 4 4k 1111 1 22 33 44 5 S 5 结束 5k 11111 1 22 33 44 55 6 S 9 设偶函数满足 f x 24 x f x 0 x 则 2 0 x f x A 或 B 或 2x x 4 x 0 x x 4 x C 或D 或 0 x x 6 x 2x x 2 x 解析 选择 B 解法 1 数形结合法 画出的图象 向右平移两个单位 得到的图象 观察图象 f x f x 可得 B 为正确答案 解法 2 24 0 24 0 x x x f x x 2 2 24 2 2 24 2 x x x f x x 令 得或 解得或 2 0f x 2 2 240 x x 2 2 240 x x 0 x 4x 解法 3 因为为偶函数 所以 f x fxf xfx 从而等价于 也等价于 2 0f x 2 2 f xf 2 2 fxf 又函数在 0 上是增函数 所以 解得或 f x 2 2x 0 x 4x 解法 4 验证法 10 若 是第三象限的角 则 4 cos 5 sin 4 A B C D 7 2 10 7 2 10 2 10 2 10 解析 选择 A 因为 是第三象限的角 所以 4 cos 5 3 sin 5 所以 sin 4 2 sincos 2 7 2 10 11 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点为 A 1 2 B 3 4 C 4 2 点 x y 在平行四 边形 ABCD 的内部 则的取值范围是 25zxy A 14 16 B 14 20 C 12 18 D 12 20 解析 选择 B 先画出可行域 将化为 25zxy 21 55 yxz 如图所示 当直线过点 D 0 4 时 max 20z 当直线过点 B 3 4 时 min 14z 因此 的取值范围是 14 20 25zxy 12 已知函数 若 互不相等 且 lg 010 1 6 10 2 xx f x xx abc f af bf c 则的取值范围是 abc A 1 10 B 5 6 C 10 12 D 20 24 解析 选择 C 不妨设 由 结合图象得 0abc f af bf c 01a 110b 1012c 因为 所以 因此 f af b lglgab lglg0ab 1ab abcc 10 12 第 II 卷 本试卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须 做答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要求做答 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 13 圆心在原点与直线20 xy 相切的圆的方程为 答案 22 2xy 解析 圆的半径 所求圆的方程为 2 2 2 r 22 2xy 14 设函数在区间 0 1 上的图像是连续不断的一条曲线 且恒有 0 1 可以用随 yf x f x 机模拟方法近似计算由曲线及直线 所围成部分的面积 先产生两 yf x 0 x 1x 0y S 组 每组 N 个 区间 0 1 上的均匀随机数 1 x 2 x N x和 1 y 2 y N y 由此得到 N 个点 i 1 2 N 再数出其中满足 i 1 2 N 的点数 1 N 那么由随机 i x i y ii yf x 模拟方法可得的近似值为 S 答案 1 N N 解析 根据几何概型易知 S 1 N N 15 一个几何体的正视图为一个三角形 则这个几何体可能是下列几何体中的 填入 所有可能的几何体前的编号 三棱锥 四棱锥 三棱柱 四棱柱 圆锥 圆柱 答案 解析 16 在 ABC 中 D 为 BC 边上一点 3BCBD 2AD 135ADB 若2ACAB 则 BD 答案 25 解析 由已知 AD ADB 135 ADC 45 设 BD x 2 DC 2x 因为2ACAB 所以 22 AC2AB 即 2 4222 2 cos45xx 2 2 22 2 cos135 xx E A D B C 化简整理得 解得 2 410 xx 25x 三 解答题 解答应写出说明文字 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 设等差数列满足 n a 3 5a 10 9a 1 求数列的通项公式 n a 2 求数列的前项和及使得最大的序号的值 n an n S n Sn 解析 1 由及 得 1 1 n aand 3 5a 10 9a 可解得 1 1 25 99 ad ad 1 9 2 a d 因此数列的通项公式 n a11 2 n an 2 由 1 知 2 1 1 10 2 n n n Snadnn 因为 所以当 5 时 取得最大值 2 5 25 n Sn n n S 18 本小题满分 12 分 如图 已知四棱锥 P ABCD 的底面为等腰梯形 AB CD AC BD 垂足为 H PH 是四棱锥的高 1 证明 平面 PAC 平面 PBD 2 若 AB APB ADB 60 6 求四棱锥 P ABCD 的体积 解析 1 因为 PH 是四棱锥的高 所以 AC PH 又 AC BD PH BD 都在平面 PBD 内 且 PH BD H 所以 AC 平面 PBD 而 AC 在平面 PAC 内 故平面 PAC 平面 PBD 2 因为 ABCD 为等腰梯形 AB CD AC BD AB 所以 HA HB 63 因为 APB ADB 60 所以 PA PB HD HC 1 6 可得 PH 等腰梯形 ABCD 的面积为 3 1 23 2 SACBD 所以四棱锥 P ABCD 的体积为 1 23 3 3 V 32 3 3 19 本小题满分 12 分 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助 用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年 人 结果如下 女 需要4030 不需要160270 1 估计该地区老年人中 需要志愿者提供帮助的老年人的比例 2 能否有 99 的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关 3 根据 2 的结论 能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中 需要志愿者提供帮助的 老年人的比例 说明理由 附 P K2 k 0 0500 0100 001 k3 8416 63510 828 2 2 n adbc K ab cd ac bd 解析 1 调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助 因此该地区老年人中 需要帮助的老年人 的比例的估计值为 70 14 500 2 2 2 500 40 27030 160 9 967 200 300 70 430 K 由于 9 967 6 635 所以有 99 的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关 3 由 2 的结论知 该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关 并且从样本数据能看 出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异 因此在调查时 先确定该地区 老年人中男 女的比例 再把老年人分成男 女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方 法更好 20 本小题满分 12 分 设 1 F 2 F分别是椭圆 E 2 x 2 2 y b 1 的左 右焦点 过 1 F的直线 与 E 相交于01b l A B 两点 且 2 AF AB 2 BF成等差数列 是否需要志愿者 性别 男 求AB 若直线 的斜率为 1 求的值 lb 解析 1 由椭圆定义知 22 4AFBFAB 又 得 22 2 ABAFBF 4 3 AB 2 直线 的方程为 其中 lyxc 22 cab 设 A B 则 A B 两点坐标满足方程组 1 x 1 y 2 x 2 y 2 2 2 1 yxc y x b 化简得 222 1 21 20bxcxb 则 12 2 2 1 c xx b 2 12 2 1 2 1 b x x b 因为直线 AB 斜率为 1 所以 2 1212 2 4ABxxx x 得 2 1212 4 2 4 3 xxx x 则 解得 2 1212 8 4 9 xxx x 224 22222 4 1 4 1 2 8 1 1 1 bbb bbb 2 2 b 21 本小题满分 12 分 设函数 2 1 x f xx eax 若 求的单调区间 1 2 a f x 若当时 求的取值范围 0 x 0f x a 解析 1 当时 1 2 a 2 1 1 2 x f xx ex 1 xx fxexex 1 1 x ex 当时 1 x 0fx 当时 1 0 x 0fx 当时 0 x 0fx 故在 单调递增 在上单调递减 f x 1 0 1 0 2 令 1 x f xx eax 1 x g xeax x g xea 若 则当时 为增函数 1a 0 x 0g x g x 而 从而当 即 0 0g 0 x 0g x 0f x 若 则当时 为减函数 1a 0 ln xa 0g x g x 而 从而当时 即 0 0g 0 ln xa 0g x 0f x 综合得的取值范围为 a 1 请考生在第 22 23 24 三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 已知圆上的弧 A AC ABD 过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点 证明 ACE BCD 2 BCBECD 解析 1 因为 A AC ABD 所以 BCD ABC 又因为 EC 与圆相切于点 C 故 ACE ABC 所以 ACE BCD 2 因为 BCE BCA ACE BCA CBA CDB AA ABAC AA ABAC 所以 BCE CDB 又 CBE DCB 所以 BDC ECB 故 即 2 BCBECD BCCD BEBC 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知直线 1 C t 为参数 圆 2 C 为参数 1cos sin xt yt cos sin x y 当 3 时 求 1 C与 2 C的交点坐标 过坐标原 点 O 作 1 C的垂线 垂足为 A P 为 OA 的中点 当 变化时 求 P 点轨迹的参数方 程 并指出它是什么曲线 E C A B D 解析 1 当 3 时 1 C的普通方程为 2 C的普通方程为 3 1 yx 22 1xy 联立方程组 解得 1 C与 2 C的交点坐标为 1 0 22 3 1 1 yx xy 1 2 3 2 另解 2 C的普通方程为 当 3 时 22 1xy 直线 1 C的参数方程为 t 为参数 代入 得 1 1 2 3 2 xt yt 22 1xy 2 0tt 解得或 1t 0t 当时 代入直线 1 C的参数方程