2006年大学生数学竞赛(天津市)试题参考及答案

2006 年天津市大学数学竞赛试题参考答案 理工类 理工类 一 一 填空 本题填空 本题 15 分 每空分 每空 3 分 请将最终结果填在相应的横线上面 分 请将最终结果填在相应的横线上面 1 若是上的连续函数 则 a 1 x a x xf x x x 01e 0 arctan e1 2 2 sin 2 函数在区间上的最大值为 xxy2sin 2 3 3 2 3 2 2 dexxx x 2 6e2 4 由曲线绕 y 轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向 0 1223 22 z yx 230 外侧的单位法向量为 320 5 1 5 设函数由方程所确定 则 x yzz 2e xyz xxyz zd yx x x xyz xyz dd e1 e1 1 二 选择题 本题二 选择题 本题 15 分 每小题分 每小题 3 分 每个小题的四个选项中仅有一个是正确的 分 每个小题的四个选项中仅有一个是正确的 把你认为把你认为 正确选项正确选项 前的字母填在括号内 选对得分 选错 不选或选出的答案多于一前的字母填在括号内 选对得分 选错 不选或选出的答案多于一 个 不得分 个 不得分 1 设函数 f x 可导 并且 则当时 该函数在点处微分 dy 是 5 0 x f0 x 0 x 的 A y A 等价无穷小 B 同阶但不等价的无穷小 C 高阶无穷小 D 低阶无穷小 2 设函数 f x 在点 x a 处可导 则在点 x a 处不可导的充要条件是 C xf A f a 0 且 B f a 0 但 0 a f 0 a f C f a 0 且 D f a 0 且 0 a f 0 a f 3 曲线 B 1 2 xxxy A 没有渐近线 B 有一条水平渐近线和一条斜 渐近线 C 有一条铅直渐近线 D 有两条水平渐近线 4 设均为可微函数 且 已知是在约束 x yx yf 与 0 x y y 00 y x x yf 条件下的一个极值点 下列选项中的正确者为 D 0 x y A 若 则 B 若 则 0 00 yxfx 0 00 yxfy 0 00 yxfx 0 00 yxfy C 若 则 D 若 则 0 00 yxfx 0 00 yxfy 0 00 yxfx 0 00 yxfy 5 设曲面的上侧 则下述曲面积分不为零的是 0 2222 zkzyxx y z B A B zyxdd 2 zyxdd C D xzzdd yxydd 三 设函数三 设函数 f x 具有连续的二阶导数 且具有连续的二阶导数 且 求 求 0lim 0 x xf x 40 f 本题 本题 6 分 分 x x x xf 1 0 1lim 解 解 由题设可推知 f 0 0 于是有 00 f 2 2 lim 2 limlim 00 2 0 xf x xf x xf xxx 故 2 2 00 1 0 e1lnexplim1lim1lim 2 xf x x x xf xf x x x x x xf x xf x xf x xf 四 设函数四 设函数由参数方程由参数方程所确定 求所确定 求 本 本 xyy 1 d e 21 2ln1 1 2 t u u y tx t u 9d d 2 2 xx y 题题 6 分 分 解 解 由 得到 所以 t t ttt y t 2ln1 2e2 2ln1 e d d 2ln1 t t x 4 d d tx y 2ln12 e d d 2 2 22 2 2ln14 e 4 1 2ln12 e 2 4 1 2ln12 e d d d d 1 d d d d d d tttt t ttt t x x y tx y 而当 x 9 时 由及 t 1 得 t 2 故 2 21tx 22 2 2 2 2ln2116 e 2 2ln14 e 9d d t tt xx y 五 设五 设 n 为自然数 计算积分为自然数 计算积分 本题 本题 7 分 分 2 0 d sin 12sin n x x xn I 解 解 注意到 对于每个固定的 n 总有 12 sin 12sin lim 0 n x xn x 所以被积函数在 x 0 点处有界 x 0 不是被积函数的奇点 又 xnxxnxnsin2cos212sin12sin 于是有 0 0 sin2 1 dcos22d sin 12sin12sin 2 2 0 2 0 1 nx n xnxx x xnxn II nn 上面的等式对于一切大于 1 的自然数均成立 故有 所以 11 III nn 2 dcos2dcos2d sin cossin2sincos2 d sin sin3 2 0 2 2 0 2 0 2 0 1 xxxxx x xxxx x x x IIn 六 设六 设 f x 是除是除 x 0 点外处处连续的奇函数 点外处处连续的奇函数 x 0 为其第一类跳跃间断点 证明为其第一类跳跃间断点 证明 是连续的偶函数 但在是连续的偶函数 但在 x 0 点处不可导 点处不可导 本题 本题 7 分 分 x ttf 0 d 证明 证明 因为 x 0 是 f x 的第一类跳跃间断点 所以存在 设为 A 则 xf x 0 lim A 0 又因 f x 为奇函数 所以 Axf x 0 lim 命 A xxf x A xxf x 0 00 0 则在 x 0 点处连续 从而在上处处连续 且是奇函数 x x x 当 x 0 则 x 0 xAxfAxfAxfx 当 x 0 xAxfAxfAxfx 即是连续的奇函数 于是是连续的偶函数 且在 x 0 点处可导 又 x x tt 0 d xAttftt xx 00 dd 即 xAttttf xx 00 dd 所以是连续的偶函数 但在 x 0 点处不可导 x ttf 0 d 七 设七 设 f u v 有一阶连续偏导数 有一阶连续偏导数 xy yxfzcos 22 sincosry rx 证明 证明 xy v z y u z x z rr z sin2sin 1 cos 本题 本题 7 分 分 解 解 设 则 xyv yxucos 22 sincossinsincos2xyxy v z yx u z y v v z y u u z r y x v v z x u u z r x r y y z r x x z r z 类似可得 cossinsincossin2xyxyr v z yx u z r z 代入原式左边 得到 xy v z y u z xxyxy v z u z xyxy v z yx u z z rr z sin2cossinsinsin ycosxsinsin2sincossincossincos2cos sin 1 cos 八 设函数八 设函数 f u 连续 在点连续 在点 u 0 处可导 且处可导 且 f 0 0 求 求 30 f 本题 本题 7 分 分 2222 ddd 1 lim 222 4 0 tzyx t zyxzyxf t 解 解 记 应用球坐标 并同时注意到积分 2222 ddd 1 222 4 tzyx zyxzyxf t tG 区域与被积函数的对称性 有 4 0 2 0 2 2 0 2 0 4 d4 ddsind 8 t rrrf rrrf t tG t t 于是有 30 0 lim 4 4 lim d4 limlim 0 3 2 0 4 0 2 00 f t ftf t ttf t rrrf tG tt t tt 九 计算九 计算 其中 其中 L 为为正向一周 正向一周 本题 本题 7 分 分 L yxx yxxy I dd 1 yxx 解 解 因为 L 为 故1 yxx DD L yxxyI d2d11dd 且且且且 其中 D 为 L 所围区域 故为 D 的面积 为此我们对 L 加以讨论 用以搞清 D 的面 D d 积 当时 00 yxx与0121 yxyxx 当时 0且0 yxx011 yyxx 当时 0且0 yxx011 yyxx 当时 0且0 yxx0121 yxyxx 故 D 的面积为 2 1 2 从而 4 dd L yxx yxxy I 十 十 证明 当证明 当充分小时 不等式充分小时 不等式成立 成立 x 422 tan0 xxx 设设 求 求 本题 本题 8 分 分 n k n kn x 1 2 1 tan n n x lim 证明 证明 因为 3 2tan lim 3 2 3 1sec lim2 tan lim tan lim tan lim 2 2 0 2 2 00 3 0 4 22 0 x x x x x xx x xx x xx xxxxx 又注意到当充分小时 所以成立不等式 xxx tan 422 tan0 xxx 由 知 当 n 充分大时有 故 2 2 111 tan 1 knknknkn nknknkn x kn n k n k n k n n k 11111 11 2 11 而 于是 n k n k n k nkn 11 1 111 ln2d 1 1 1 11 lim 1 lim 1 0 11 x x n k nkn n k n n k n 由夹逼定理知 ln2lim n n x 十一 设常数十一 设常数 证明 当 证明 当 x 0 且且 x 1 时 时 1ln2 k 本题 本题 8 分 分 01ln2ln1 2 xkxxx 证明 证明 设函数 01ln2ln 2 xxkxxxf 故要证 01ln2ln1 2 xkxxx 只需证 当 当 010 xfx与与 0且且1 xfx 显然 kxx xx k x x xf2ln2 12ln2 1 命 则 kxxx2ln2 x x x x 22 1 当 x 2 时 x 2 为唯一驻点 又 所以 x 0 x 2 2 x x 0 2 1 2 2 为的唯一极小值点 故为的最小 x 01ln222ln2122 kk x 值 x 0 即当 x 0 时 从而严格单调递增 0 x f xf 又因 所以当 当 01 f 010 xfx与与 0且且1 xfx 十二 设匀质半球壳的半径为十二 设匀质半球壳的半径为 R 密度为 密度为 在球壳的对称轴上 有一条长为 在球壳的对称轴上 有一条长为 l 的均的均 匀细棒 其密度为匀细棒 其密度为 若棒的近壳一端与球心的距离为 若棒的近壳一端与球心的距离为 a a R 求此半球壳对棒的引 求此半球壳对棒的引 力 力 本题 本题 7 分 分 解解 设球心在坐标原点上 半球壳为上半球面 细棒位于正 z 轴上 则由于对称性 所求引力在 x 轴与 y 轴上的投影及均为零 x F y F 设 k 为引力常数 则半球壳对细棒引力在 z 轴方向的分量为 ds dds