直线、平面平行与垂直的判定及其性质-高考历年真题

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为平面为平面 内的一条直线 则内的一条直线 则 是是 m 的的 A 充分不必要条件充分不必要条件 B 必要不充分条件必要不充分条件 C 充要条件充要条件 D 既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析解析 选选 B 由平面与平面垂直的判定定理知如果由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面为平面 内的一条直线内的一条直线 m 则则 反过来则反过来则 不一定不一定 所以所以 是是 m 的必要不充分条件的必要不充分条件 5 2009 四川高考 如图 已知六棱锥四川高考 如图 已知六棱锥ABCDEFP 的底面是正六边形 的底面是正六边形 ABPAABCPA2 平面则下列结论正确的是 则下列结论正确的是 A ADPB B PAB平面PBC平面 C 直线直线BC PAE平面 D 直线直线ABCPD与平面所成的角为所成的角为 45 解析解析 选选 D AD 与与 PB 在平面的射影在平面的射影 AB 不垂直 不垂直 A 不成立 又平面不成立 又平面 PAB 平面平面 PAE PAB平面PBC平面 也不成立 也不成立 BC AD 平面平面 PAD 直线直线BC PAE平面也不成立 在也不成立 在PADRt 中 中 PA AD 2AB PDA 45 D 正确正确 6 2009 江苏江苏高考高考 设设和和为不重合的两个平面 给出下列命题 为不重合的两个平面 给出下列命题 1 若 若内的两条相交直线分别平行于内的两条相交直线分别平行于内的两条直线 则内的两条直线 则平行于平行于 2 若 若外一条直线外一条直线l与与 内的一条直线平行 则内的一条直线平行 则l和和平行 平行 3 设 设和和相交于直线相交于直线l 若 若内有一条直线垂直于内有一条直线垂直于l 则 则和和垂直 垂直 4 直线 直线l与与垂直的充分必要条件是垂直的充分必要条件是l与与内的两条直线垂直 内的两条直线垂直 上面命题中 真命题的序号上面命题中 真命题的序号 写出所有真命题的序号 写出所有真命题的序号 w w w k s 5 u c o m 解析解析 考查立体几何中的直线 平面的垂直与平行判定的相关定理 真命题的序号是考查立体几何中的直线 平面的垂直与平行判定的相关定理 真命题的序号是 1 2 答案答案 1 2 7 2009 山东高考 山东高考 如图 在直四棱柱如图 在直四棱柱 ABCD A B C D 中 底面中 底面 ABCD 为等腰梯形 为等腰梯形 AB CD AB 4 1111 BC CD 2 AA 2 E E 分别是棱分别是棱 AD AA 的中点的中点 w w w k s 5 u c o m 111 1 设设 F 是棱是棱 AB 的中点的中点 证明 直线证明 直线 EE 平面平面 FCC 11 2 证明证明 平面平面 D1AC 平面平面 BB1C1C 解析解析 1 在直四棱柱 在直四棱柱 ABCD A B C D 中 取中 取 A1B1的中点的中点 F1 1111 连接连接 A1D C1F1 CF1 因为 因为 AB 4 CD 2 且且 AB CD 所以所以 CDA1F1为平行四边形 所以为平行四边形 所以 CF1 A1D 又因为又因为 E E 分别是棱分别是棱 AD AA 的中点 所以的中点 所以 EE1 A1D 11 E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 所以所以 CF1 EE1 又因为 又因为平面平面 FCC 平面平面 FCC 1 EE 11 CF 1 所以直线所以直线 EE 平面平面 FCC 11 2 连接 连接 AC 在直棱柱中 在直棱柱中 CC1 平面平面 ABCD AC平面平面 ABCD 所以所以 CC1 AC 因为底面因为底面 ABCD 为等腰梯形 为等腰梯形 AB 4 BC 2 F 是棱是棱 AB 的中点的中点 所以所以 CF CB BF BCF 为正三角形 为正三角形 ACF 为等腰三角形 且为等腰三角形 且60BCF 30ACF 所以所以 AC BC 又因为又因为 BC 与与 CC1都在平面都在平面 BB1C1C 内且交于点内且交于点 C 所以所以 AC 平面平面 BB1C1C 而而平面平面 D1AC AC 所以平面所以平面 D1AC 平面平面 BB1C1C 8 2009 天津高考 天津高考 如图 在四棱锥如图 在四棱锥中 中 ABCDP 且 且 DB 平分平分 ABCDPD平面 CDAD ADC E 为为 PC 的中点 的中点 1 CDAD22 DB 证明 证明 w w w k s 5 u c o m BDEPA平面 证明 证明PBDAC平面 求直线 求直线 BC 与平面与平面 PBD 所成的角的正切值所成的角的正切值 解析解析 设 设 连结 连结 EH 在 在中 因为中 因为 AD CD 且 且 DB 平分平分 所以 所以HBDAC ADC ADC H 为为 AC 的中点 又由题设 的中点 又由题设 E 为为 PC 的中点 故的中点 故 又又PAEH 所以所以BDEPABDEHE平面平面 BDEPA平面 因为 因为 所以 所以ABCDPD平面 ABCDAC平面 ACPD 由 由 知 知 故故ACBD PDBDD PBDAC平面 由由可知 可知 BH 为为 BC 在平面在平面 PBD 内的射影 所以内的射影 所以为直线与平面为直线与平面 PBD 所所PBDAC平面 CBH 成的角 成的角 由由 CDAD 2 23 2 2 22 1 BHCHDHDBCDAD可得 在在中 中 所以直线所以直线 BC 与平面与平面 PBD 所成的角的正切值为所成的角的正切值为 BHCRt 3 1 tan BH CH CBH 3 1 9 2009 海南宁夏高考 海南宁夏高考 如图 四棱锥如图 四棱锥 S ABCD 的底面的底面 是正方形 每条侧棱的长都是地面边长的是正方形 每条侧棱的长都是地面边长的倍 倍 P 为侧为侧2 棱棱 SD 上的点 上的点 求证 求证 AC SD w w w k s 5 u c o m 若 若 SD 平面平面PAC 求二面角 求二面角 P AC D 的大小的大小 在 在 的条件下 侧棱 的条件下 侧棱 SC 上是否存在一点上是否存在一点 E w w w k s 5 u c o m 使得使得 BE 平面平面 PAC 若存在 求 若存在 求 SE EC 的值 的值 若不存在 试说明理由 若不存在 试说明理由 解析解析 方法一 方法一 连 连 BD 设 设 AC 交交 BD 于于 O 由题意由题意 在正方形 在正方形 ABCD 中 中 SOAC ACBD 所以所以 得得 ACSBD 平面ACSD 设正方形边长设正方形边长 则 则 又 又 a2SDa 2 2 ODa 所以所以 连连 由 由 知 知 所以所以 且且 所以所以 0 60SDO OPACSBD 平面ACOP ACOD 是二面角是二面角的平面角 由的平面角 由 知知 所以所以 即二面角即二面角POD PACD SDPAC 平面SDOP 0 30POD 的大小为的大小为 PACD 0 30 在棱 在棱 SC 上存在一点上存在一点 E 使 使 由 由 可得 可得 故可在 故可在上取一点上取一点 BEPAC平面 2 4 PDa SPN 使使 过过作作的平行线与的平行线与的交点即为的交点即为 连 连 BN 在 在中知中知 又由于 又由于PNPD NPCSCEBDNA BNPO 故平面故平面 得 得 由于由于 故故 NEPC BENPAC平面 BEPAC平面21SNNP 21SEEC 方法二 方法二 连 连 设设交于交于于于 由题意知 由题意知 以以 O 为坐标原点 为坐标原点 BDACBDOSOABCD 平面 分别为分别为轴 轴 轴 轴 轴正方向 建立坐标系轴正方向 建立坐标系如图 设底面边长为如图 设底面边长为 则高 则高OBOC OS xyzOxyz a 6 2 SOa 于是于是 w w w k s 5 u c o m 62 0 0 0 0 22 Sa Da 2 0 0 2 Ca 2 0 0 2 OCa 26 0 22 SDaa 0OC SD 故故从而从而OCSD ACSD O E 由题设知 平面由题设知 平面的一个法向量的一个法向量 平面 平面的一个法向量的一个法向量PAC 26 0 22 DSaa DAC 设所求二面角为 设所求二面角为 则 则 所求二面角的大小为所求二面角的大小为 6 0 0 2 OSa 3 cos 2 OS DS OS DS A 0 30 在棱 在棱上存在一点上存在一点使使 由 由 知 知是平面是平面的一个法向量 的一个法向量 SCE BEPAC平面DS PAC 且且 2626 0 0 2222 DSaa CSaa 设设 w 则则 CE tCS 226 1 222 BEBCCEBCtCSaatat 而而 即当即当时 时 w w w k s 5 u c o m 1 S0 3 BE Dt A 2 1SE EC BEDS 而而不在平面不在平面内 故内 故BEPAC BEPAC平面 10 2009 福建高考 福建高考 如图 平行四边形如图 平行四边形中 中 将将ABCD60DAB 2 4ABAD 沿沿折起到折起到的位置 使平面的位置 使平面平面平面CBD BDEBD EDB ABD I 求证 求证 w w w k s 5 u c o m ABDE 求三棱锥 求三棱锥的侧面积 的侧面积 EABD 解析解析 I 在 在中 中 ABD 2 4 60ABADDAB 22 222 2cos2 3 B BDABADAB ADDAB ABBDADABD 又又平面平面平面平面 EBD ABD 平面平面平面平面平面平面EBD ABDBD AB ABD 平面平面AB EBD 平面平面DE EBDABDE 由 由 I 知 知从而从而 ABBD CDABCDBD BDED 在在中 中 Rt DBE 2 3 2DBDEDCAB BDE 1 2 3 2 SDB DE 又又平面平面平面平面AB EBD BE EBDABBE 1 4 4 2 ABE BEBCADSAB BE 平面平面平面平面平面平面 DEBD EBD ABDED ABD 而而平面平面AD 1 4 2 ADE ABDEDADSAD DE 综上 三棱锥综上 三棱锥的侧面积的侧面积 EABD 82 3S 2008 年考题年考题 1 2008 海南宁夏高考 已知平面海南宁夏高考 已知平面 平面平面 l 点 点 A Al 直线 直线 AB l 直线 直线 AC l 直 直 线线 m m 则下列四种位置关系中 不一定成立的是 则下列四种位置关系中 不一定成立的是 A AB mB AC mC AB D AC 解析解析 选选 D 容易判断 三个答案都是正确的 对于 虽然容易判断 三个答案都是正确的 对于 虽然 但 不一定在平面 但 不一定在平面ACl 内 故它可以与平面内 故它可以与平面相交 故不一定垂直相交 故不一定垂直 2 2008 辽宁高考 在正方体辽宁高考 在正方体中中 分别为棱分别为棱的中点的中点 则在空间中与三条直线则在空间中与三条直线 1111 ABCDABC D E F 11 AA CC 都相交的直线都相交的直线 11 A D EF CD A 不存在不存在 B 有且只有两条有且只有两条 C 有且只有三条有且只有三条 D 有无数条有无数条 解析解析 选选 D 在在 EF 上任意取一点上任意取一点 M 直线直线与与 M 确定一个平面 确定一个平面 11 AD 这个平面与这个平面与 CD 有且仅有有且仅有 1 个交点个交点 N 当当 M 取不同的位置就确定不取不同的位置就确定不 同的平面 从而与同的平面 从而与 CD 有不同的交点有不同的交点 N 而直线而直线 MN 与这与这 3 条异面直条异面直 线都有交点的线都有交点的 如右图如右图 3 2008 江苏高考 在四面体江苏高考 在四面体 ABCD 中 中 CB CD 且 且 E F 分别是分别是 AB BD 的中点 求的中点 求ADBD 证证 I 直线 直线 EFDA面AC II EFCD 面面BC 解析解析 I E F 分别为分别为 AB BD 的中点的中点EFAD A EFAD ADACDEFACD EFACD A A面面 面 D E F C A B A A1 B C D B1 C1 D1 E F II EFAD EFBD ADBD CDCB CFBDBDEFC FBD EFCFF A 面 为的中点 又又 BDBCD 面 所以面所以面EFCBCD 面 4 2008 山东高考 如图 在四棱锥山东高考 如图 在四棱锥中 平面中 平面平面平面 PABCD PAD ABCDABDC 是等边三角形 已知是等边三角形 已知 PAD 28BDAD 24 5ABDC 设 设是是上的一点 证明 平面上的一点 证明 平面平面平面 MPCMBD PAD 求四棱锥 求四棱锥的体积 的体积 PABCD 解析解析 在 在中 中 ABD 由于由于 4AD 8BD 4 5AB 所以所以 222 ADBDAB 故故 ADBD 又平面又平面平面平面 平面 平面平面平面 PAD ABCDPAD ABCDAD 平面平面 BD ABCD 所以所以平面平面 BD PAD 又又平面平面 BD MBD 故平面故平面平面平面 MBD PAD 过 过作作交交于于 由于平面 由于平面平面平面 所以 所以平面平面 PPOAD ADOPAD ABCDPO ABCD 因此因此为四棱锥为四棱锥的高 的高 POPABCD 又又是边长为是边长为 4 的等边三角形 因此的等边三角形 因此 PAD 3 42 3 2 PO 在底面四边形在底面四边形中 中 ABCDABDC 2ABDC 所以四边形所以四边形是梯形 在是梯形 在中 斜边中 斜边边上的高为边上的高为 ABCDRtADB AB 4 88 5 54 5 此即为梯形此即为梯形的高 所以四边形的高 所以四边形的面积为的面积为 ABCDABCD 2 54 58 5 24 25 S A B C M P D 故故 1 24 2 316 3 3 P ABCD V 2007 年考题年考题 1 2007广东广东高考高考 若 若是互不相同的空间直线 是互不相同的空间直线 是不重合的平面 则下列命题中是不重合的平面 则下列命题中 l m n 为真命题的是 为真命题的是 A 若 若 则 则 B 若 若 则 则 ln ln l l C 若若 则 则 D 若 若 则 则 ln mn lm ll 解析解析 选选 D 逐一判除逐一判除 易得答案易得答案 D 2 2007 北京高考 平面北京高考 平面平面平面的一个充分条件是 的一个充分条件是 存在一条直线 存在一条直线aaa 存在一条直线 存在一条直线aaa 存在两条平行直线 存在两条平行直线ababab 存在两条异面直线 存在两条异面直线abaab 解析解析 选 平面选 平面平面平面的一个充分条件是存在两条异面直线的一个充分条件是存在两条异面直线 abaab 3 2007 江苏高考 已知两条直线江苏高考 已知两条直线 两个平面 两个平面 给出下面四个命题 给出下面四个命题 m n mn mn mnmn mn mn mn mn 其中正确命题的序号是 其中正确命题的序号是 A B C D 解析解析 选选 C 用线面垂直的性质和面面平行的性质可判断用线面垂直的性质和面面平行的性质可判断 正确 正确 中中 m n 可以平行或异面可以平行或异面 中中 n 可以在可以在内内 4 2007 天津高考 天津高考 设设为两条直线 为两条直线 为两个平面为两个平面 下列四个命题中 正确的命题是下列四个命题中 正确的命题是 a b A 若若与与所成的角相等 则所成的角相等 则B 若若 则 则 a b ba a b ba C 若若则则D 若若则则 aba b ab ab 解析解析 选选 D 对于对于 A 当当与与均成均成时就不一定 对于时就不一定 对于 B 只需找个只需找个 且 且即可满即可满 a b 0 ab 足题设但足题设但不一定平行 对于不一定平行 对于 C 可参考直三棱柱模型排除 故选可参考直三棱柱模型排除 故选 D a b 5 2007 浙江高考 若浙江高考 若是两条异面直线是两条异面直线外的任意一点 则 外的任意一点 则 Plm 过点 过点有且仅有一条直线与有且仅有一条直线与都平行都平行Plm 过点 过点有且仅有一条直线与有且仅有一条直线与都垂直都垂直Plm 过点 过点有且仅有一条直线与有且仅有一条直线与都相交都相交Plm 过点 过点有且仅有一条直线与有且仅有一条直线与都异面都异面Plm 解析解析 选选B 设过点设过点P的直线为的直线为 若 若与与l m都平行 都平行 nn 则则l m平行 与已知矛盾 故选项平行 与已知矛盾 故选项A错误 错误 由于由于l m只有惟一的公垂线 而过点只有惟一的公垂线 而过点P与与 公垂线平行的直线只有一条 故公垂线平行的直线只有一条 故B正确 正确 对于选项对于选项C D可参考右图的正方体 设可参考右图的正方体 设AD为直线为直线l 为直线为直线m AB 若点若点P在在P1点 则显然无法作出直线与两直线都相交 故选项点 则显然无法作出直线与两直线都相交 故选项C错误 错误 若若P在在P2点 则由图中可知直线点 则由图中可知直线均与均与l m异面 故选项异面 故选项D错误 错误 2 CCD P及 6 2007 安徽高考安徽高考 设设 l m n 均为直线 其中均为直线 其中 m n 在平面在平面内 内 l 是是 lm 且且 ln 的 的 A 充分不必要条件 充分不必要条件 B 必要不充分条件 必要不充分条件 C 充分必要条件充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 既不充分也不必要条件 解析解析 选选 A 设 设 l m n 均为直线 其中均为直线 其中 m n 在平面在平面内 内 l 则 则 lm 且且 ln 反之若 反之若 lm 且且 ln 当 当 m n 时 推不出时 推不出 l l 是是 lm 且且 ln 的充分不必要条件的充分不必要条件 7 2007湖南高考 如图湖南高考 如图1 在正四棱柱 在正四棱柱 中 中 E F分别是分别是的中点 则以下的中点 则以下 1111 ABCDABC D 11 ABC B 结论中不成立的是 结论中不成立的是 A B 1 EFBB与垂直EFBD与垂直 C D EF与C D 异面EF 1 1 与AC异面 解析解析 选选 D 连连 B1C 则 则 B1C 交交 BC1于于 F 且且 F 为为 BC1中点 三角形中点 三角形 B1AC 中中 EF 所以 所以 EF 平面平面 ABCD 而 而 B1B 面面 ABCD 所以 所以 AC 2 1 1 EFBB与垂直 又又 AC BD 所以 所以 由 由 EF AC A1C1EFBD与垂直EF与C D 异面 AC 2 1 得得 EF A1C1 8 2007 福建高考 已知福建高考 已知 m n 为两条不同的直线 为两条不同的直线 为两个不同的平面 则下列命题中正确的是 为两个不同的平面 则下列命题中正确的是 D C A B D C B A P1 P2 P2 2 1 1 A1 D1 B1 c c b b a a A n mnm B m n mn C m m nn D n m n m 解析解析 选选 D A 中中 m n 少相交条件 不正确 少相交条件 不正确 B 中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行 不中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行 不 正确 正确 C 中中 n 可以在可以在内 不正确 选内 不正确 选 D 9 2007 重庆高考 若三个平面两两相