边际分析、弹性分析与经济问题的最优化.ppt

1 7 8边际分析 弹性分析与经济问题最优化 2 第七章 第八节 一 边际分析 二 弹性分析 三 经济问题的最优化 边际分析 弹性分析与经济 问题的最优化 3 一 边际分析 回忆一元函数 y f x 在x x0处的边际为 边际的经济意义 当时 x改变一个单位 y改变 个单位 边际的实质 反映了一种经济变量随另一种经济变量变化的快慢程度 现实生活中 经常需要考虑一种经济变量随多个经济变量变化的情况 例如 某种品牌的电视机的销售情况 除了受本品牌电视机的价格影响外 还受其他品牌同类型电视机的价格的影响 边际的概念也可推广到多元函数的情形 4 一 边际分析 回忆一元函数 y f x 在x x0处的边际为 1 定义 边际的经济意义 表示在 x0 y0 处 当y y0保持不变 x每改变一个单位 函数z f x y 改变个单位 表示在 x0 y0 处 当x x0保持不变 y每改变一个单位 函数z f x y 改变个单位 5 例1设Cobb Douglas生产函数为P K L 20K0 3L0 7 其中P表示产量 K表示资本 L表示劳动 求 解 P K 1 1 及P L 1 1 并解释其含义 P K 1 1 6 1 0 7 1 0 7 6 P K 6K 0 7L0 7 含义 P K 6表示当劳动保持1个单位不变 且当资本为1个单位时 每增加一单位的资本 产量约增加6单位 称为资本的边际生产量 P L 14K0 3L 0 3 P L 1 1 14 1 0 3 1 0 3 14 含义 P L 14表示当资本保持1个单位不变 且当劳动为一个单位时 每增加一单位的劳动 产量约增加14单位 称为劳动的边际生产量 6 例2已知某企业雇佣熟练工x人 非熟练工y人 日产量由二元函数决定 已知该企业雇佣熟练工20人 非熟练工50人 若增加熟练工1人 问产量增加多少 解 根据题意 必须求得 因为 所以 日产大约会增加1800单位 实际上 日产量增加的真实值为 7 2 边际需求 设两种相关商品甲和乙的需求函数为 8 9 两种商品彼此关系可分为为替代型还是互补型 替代型 一种商品的需求增加时伴随的结果是另一种商品需求的减少 如国产汽车与进口汽车 猪肉和鸡蛋等 互补型 一种商品的需求增加时 另一种商品的需求也跟着增加 例如高尔夫球杆与高尔夫球鞋 CD机和光盘等 3 利用偏导数对两种商品之间性质进行解释 两种商品之间的关系 10 假设有两种商品A与B p1与p2分别表示商品A与B每单位的价格 函数Q1 p1 p2 表示商品A的需求函数 函数Q2 p1 p2 表示商品B的需求函数 则函数恒有下列关系 即 商品A的价格p1上升 则商品A的需求量会下降 商品B的价格p2上升 则商品B的需求量会下降 3 利用偏导数对两种商品之间性质进行解释 11 两商品在价格 p1 p2 处为互补型表示当商品B的价格上升时 商品A的需求量减少 当A的价格上升时 商品B的需求量减少 即一种商品需求的减少导致另一种商品需求的减少 两商品在价格 p1 p2 处为替代型表示当商品B的价格上升时 商品A的需求量增加 当A的价格上升时 商品B的需求量增加 即一种商品需求的减少导致另一种商品需求的增加 12 例3两种商品A与B 当其价格分别为x与y时的需求函数为f x y 300 6x2 10y2 A的需求函数 g x y 600 6x 2y2 B的需求函数 试问这两种商品为替代型还是互补型 解 所以 两种商品为替代型关系 13 二 弹性分析 回忆一元函数 y f x 在x处的弹性为 y f x 在x x0处的弹性为 弹性的经济意义 表示在x x0处 当x改变1 时 y f x 改变了 弹性的概念也可推广到多元函数的情形 14 二 弹性分析 回忆一元函数 y f x 在x x0处的弹性为 1 定义 15 二 弹性分析 1 定义 弹性的经济意义 表示在 x0 y0 处 当y y0保持不变时 x每改变1 函数z f x y 改变 表示在 x0 y0 处 当x x0保持不变时 y每改变1 函数z f x y 改变 16 二 弹性分析 1 定义 偏弹性函数的定义 17 假设有两种商品A与B P1与P2分别表示商品A与B每单位的价格 函数Q1 P1 P2 表示商品A的需求函数 函数Q2 P1 P2 表示商品B的需求函数 称 为需求量对自身价格的直接价格偏弹性 称 2 需求价格偏弹性 为需求量对相关价格的交叉价格偏弹性 18 例4设某市场牛肉的需求函数为Q1 4580 5P1 1000 1 5P2其中牛肉价格P1 10 相关商品猪肉的价格P2 8 求 1 牛肉需求的价格偏弹性 2 牛肉需求的交叉价格偏弹性 3 若猪肉价格增加10 求牛肉需求量的变化率 解 1 牛肉需求的价格偏弹性为 19 例4设某市场牛肉的需求函数为Q1 4580 5P1 1000 1 5P2其中牛肉价格P1 10 相关商品猪肉的价格P2 8 求 1 牛肉需求的价格偏弹性 2 牛肉需求的交叉价格偏弹性 3 若猪肉价格增加10 求牛肉需求量的变化率 解 2 牛肉需求的交叉价格偏弹性为 20 例4设某市场牛肉的需求函数为Q1 4580 5P1 1000 1 5P2其中牛肉价格P1 10 相关商品猪肉的价格P2 8 求 1 牛肉需求的价格偏弹性 2 牛肉需求的交叉价格偏弹性 3 若猪肉价格增加10 求牛肉需求量的变化率 解 3 由需求的交叉价格偏弹性 得 即当相关商品猪肉的价格增加10 而牛肉价格不变时 牛肉的市场需求量将增加0 02 21 也可用偏弹性函数来描述两种商品彼此为替代型还是互补型 假设有两种商品A与B p1与p2分别表示商品A与B每单位的价格 函数Q1 p1 p2 表示商品A的需求函数 函数Q2 p1 p2 表示商品B的需求函数 因为函数恒有下列关系 所以恒有 3 用需求价格偏弹性对两种商品之间性质进行解释 22 若两商品在价格 p1 p2 处为替代型因为 则有 表示当商品A的价格不变 而商品B的价格上升时 商品A的需求量增加 当商品B的价格不变 而A的价格上升时 商品A的需求量增加 即一种商品需求的减少导致另一种商品需求的增加 两种产品是替代关系 23 若两商品在价格 p1 p2 处为互补型因为 则有 表示当商品A的价格不变 而商品B的价格上升时 商品A的需求量减少 当商品B的价格不变 而A的价格上升时 商品A的需求量减少 即一种商品需求的减少导致另一种商品需求的减少 两种产品是互补关系 24 小结 不同交叉弹性的值 能反映两种商品间的相关性 具体就是 当交叉弹性大于零时 两商品互为替代品 当交叉弹性小于零时 两商品为互补品 当交叉弹性等于零时 两商品为相互独立的商品 25 例5某种数码相机的销售量 除与它自身的价格有关外 还与彩色喷墨打印机的价格有关 具体为 求时 1 对的弹性 2 对的交叉弹性 解 1 对的弹性为 26 当时 2 对的弹性为 当时 27 三 经济问题的最优化 例6 某企业生产两种商品的产量分别为x y单位 利润函数为 L 64x 2x2 4xy 4y2 32y 14 求最大利润 解 由极值的必要条件 解得唯一驻点 40 24 由 可知 唯一驻点 40 24 为极大值点 亦即最大值点 最大值为 L 40 24 1650 28 例7 某厂生产A B两产品 产量分别为x和y 单位 千件 利润函数为L 6x x2 16y 4y2 2 单位 万元 已知生产这两产品时 每千件消耗某原料2000公斤 现有该原料12000公斤 问两产品各生产多少 总利润最大 解 条件极值问题 拉格朗日函数 令 解得唯一驻点 由实际意义可知 最大值为 答 当A生产3 8千件 B生产2 2千件时 利润最大 最大 利润为36 72万元 29 小结 1 二元函数z f x y 的边际定义 边际的经济意义 表示在 x0 y0 处 当y y0保持不变 x每改变一个单位 函数z f x y 改变个单位 表示在 x0 y0 处