2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

2010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承 诺 书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则 我们完全明白 在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式 包括电话 电子邮件 网 上咨询等 与队外的任何人 包括指导教师 研究 讨论与赛题有关的问题 我们知道 抄袭别人的成果是违反竞赛规则的 如果引用别人的成果或其他公开的 资料 包括网上查到的资料 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文 献中明确列出 我们郑重承诺 严格遵守竞赛规则 以保证竞赛的公正 公平性 如有违反竞赛规 则的行为 我们将受到严肃处理 我们参赛选择的题号是 从 A B C D 中选择一项填写 A 我们的参赛报名号为 如果赛区设置报名号的话 所属学校 请填写完整的全名 参赛队员 打印并签名 1 2 3 指导教师或指导教师组负责人 打印并签名 日期 2010 年 9 月 13 日 赛区评阅编号 由赛区组委会评阅前进行编号 2010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页 赛区评阅编号 由赛区组委会评阅前进行编号 赛区评阅记录 可供赛区评阅时使用 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号 由赛区组委会送交全国前编号 全国评阅编号 由全国组委会评阅前进行编号 地下储油罐的变位分析与罐容表标定 摘要 加油站地下储油罐在使用一段时间后 由于地基变形等原因会发生纵向倾斜及横向 偏转 导致与之配套的 油位计量管理系统 受到影响 必须重新标定罐容表 本文即针对 储油罐的变位时罐容表标定的问题建立了相应的数学模型 首先从简单的小椭圆型储油罐 入手 研究变位对罐容表的影响 在无变位 纵向变位的情况下分别建立空间直角坐标系 在忽略罐壁厚度等细微影响下 运用积分的方法求出储油量和测量油位高度的关系 将计 算结果与实际测量数据在同一个坐标系中作图 经计算得误差均保持在 3 5 以内 纵向变 位中 要分三种情况来进行求解 然后将三段的结果综合在一起与变位前作比较 可以得 到变位对罐容表的影响 通过计算 具体列表给出了罐体变位后油位高度间隔为 1cm 的罐 容表标定值 进一步考虑实际储油罐 两端为球冠体顶 把储油罐分成中间的圆柱体和两边的球 冠体分别求解 中间的圆柱体求解类似于第一问 要分为三种情况 在计算球冠内储油量 时为简化计算 将其内油面看做垂直于圆柱底面 根据几何关系 可以得到如下几个变量 之间的关系 测量的油位高度 实际的油位高度 计算体积所需的高度 于是得到罐内储油量与油位高度及变位参数 纵向倾斜角度和横向偏转角度 之间 的一般关系 再利用附表 2 中的数据列方程组寻找与最准确的取值 一 问题重述 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐 并且一般都有与之配套的 油位计量 管理系统 采用流量计和油位计来测量进 出油量与罐内油位高度等数据 通过预先标定 的罐容表 即罐内油位高度与储油量的对应关系 进行实时计算 以得到罐内油位高度和 储油量的变化情况 许多储油罐在使用一段时间后 由于地基变形等原因 使罐体的位置会发生纵向倾 斜和横向偏转等变化 以下称为变位 从而导致罐容表发生改变 按照有关规定 需要定 期对罐容表进行重新标定 题目给出了一种典型的储油罐尺寸及形状示意图 其主体为圆 柱体 两端为球冠体 并给出了罐体纵向倾斜变位的示意图和罐体横向偏转变位的截面示 意图 请用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题 1 为了掌握罐体变位后对罐容表的影响 利用给出的小椭圆型储油罐 两端平头 的椭圆柱体 示意图 分别对罐体无变位和倾斜角为 4 10 的纵向变位两种情况做了实验 实验数据如附件 1 所示 请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响 并给出罐体变 位后油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值 2 对于实际储油罐 试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型 即罐内储油量与 油位高度及变位参数 纵向倾斜角度和横向偏转角度 之间的一般关系 请利用罐体变位 后在进 出油过程中的实际检测数据 附件 2 根据你们所建立的数学模型确定变位参数 并给出罐体变位后油位高度间隔为 10cm 的罐容表标定值 进一步利用附件 2 中的实际检 测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性 二 问题分析 本题是一个在罐体变位后重新标定罐容表的问题 就是需要得出变位后油位高度与 油料体积的关系 然后在油料高度间隔为 1cm 或 10cm 的情况下 算出所有高度所对应的 体积值 即可得到新的罐容表标定值 第一问中共做了两次实验 分别为罐体无变位与纵向变位 对于无变位的情况 可 以选择合适的体积微元 在油位高度方向积分即可算出油体积与油位高度的关系 对于倾 斜角为 4 1 的纵向变位 我们采用二重积分的方法 分三种情况进行计算 先在油位高度 方向积分得到任意处油截面的面积 再积分得到体积公式 最后利用附件 1 中的实际数据 对公式的准确度进行检验 并对比变位前后储油量与油位高度关系的差别 第二问中 将储油罐分成三部分进行计算 中间的圆柱体和两端的球冠体 对于与 的处理问题 对 已经确定的静态储油罐建立空间直角坐标系 根据几何关系得出测得的 油位高度与实际油位高度的关系 含有参数 实际油位高度与计算体积所需的高度 的关 系 含有参数 并计算得到储油量关于 的表达式 于是便得到了储油量与测量油位高度 及变位参数 的关系式 代入若干组附表 2 中的实际数据 即可确定与 之后用实际检测 数据检验所建模型的正确性与方法的可行性 三 模型假设 1 忽略油罐厚度对油罐容积的影响 认为由图中数据得到的容积即为油罐的标准容积 2 忽略油罐内各种管道如进出油管道 油位探针所占的体积 3 不计油浮子的厚度 大小等 认为实验中测得的高度即为油罐底部沿探针到油面的距 离 4 假设油浮子到达最高处时便不再加油 四 符号说明 储油罐任一位置平行于罐底方向实际油位高度 问题一中建立空间直角坐标系后轴方向上油料宽度的一半 建立空间直角坐标系后轴方向上的油料长度 建立空间直角坐标系后轴方向上的变量 问题一纵向变位第种情况下相应某一高度时的油的体积 问题一中变位后测得的油料高度 问题一变位时油料平行于罐底方向的最大高度 问题一变位情况下用任意平行于罐底平面截得的油料面积 实际储油罐球冠内储油量 实际储油罐中间圆柱部储油量 附表 2 中编号为的流水号所对应的出油量 五 模型的建立与求解 5 1 小椭圆型储油罐 5 1 1 无变位情况 首先以一侧罐底中心为原点 建立如图所示的空间直角坐标系 其中下部阴影部分 为油料 从侧面观察得到如下示意图 根据题目中的已知数据 得到椭圆截面的方程式为 于是有 取从上到下叠加的矩形薄片为体积微元 得到体积微元公式 体积微元在轴方向进行积分 得到体积公式 将该结果与实际测量数据在同一以高度为横坐标 体积为纵坐标的坐标系中作图 得到如下曲线 图 3 计算曲线与实际数据对比图 从图像上可以看出 计算得到的数据与实际测量数据吻合较好 相对误差始终很小 实际数据稍小可能是由于探针 进出油罐管道等占一定体积及罐壁厚度造成的 为简化模 型 本文忽略这部分影响 5 1 2 纵向变位 以椭圆罐底中心为原点 轴 轴平行于罐底 轴平行于油罐侧壁方向建立空间直角 坐标系 由图 4 可知 接下来分三种情况进行讨论 通过二重积分即可求得油料体积 第一种情况 当 单位 mm 时 只有一端罐底接触油面 如图 5 先在轴方向上定积分 得到任意位置油料截面面积 再将视为变量 在轴方向上定积分 其中 代入后解得 第二种情况 当 单位 mm 时 两端罐底都接触油面 如图 6 代入 得 第三种情况 当 其中 单位 mm 时 一端罐底已经完全被油浸没 如图 7 且 其中 代入上式解得 将上述三种情况得到的方程式分区间画在同一坐标系中 并与实际测量的数据做对 比 得到如下关系图 图 8 图 8 变位后储油量与油位高度关系图 从图 8 可以看出 计算得到的公式基本符合实际检测数据 通过代入数据 误差保 持在 3 以内 因此 在标定罐容表时 我们以得到的公式为基础 代入数据计算即得 将变位前后储油量与油位高度关系图画在同一坐标系中 得到图 9 图 9 变位前后储油量与油位高度关系曲线对比 结合公式以及图 9 可以看出罐体变位对罐容表产生如下影响 变位后在油位液面到达探针之前 测量高度始终为 0 刚好接触油浮子时 将数据 代入公式可计算得此时储油量约为 1 75L 在变位后的第一阶段内 曲线斜率小于变位前 这个阶段内储油量变化较慢 第二阶段内 曲线增长趋势与变位前基本一致 即上升相同 的高度 储油量增加值基本相等 但由于第一阶段储油量较少 这是储油量比变位前小 220L 左右 第三阶段曲线变化率逐渐降低 当油浮子的高度为 1200mm 时 油罐还没有装 满 此时的储油量比变位前少约 100L 根据假设 为使油位高度与储油量是一一对应的关 系 此时不再加油 认为该值即为储油最大值 从 0 到 1200mm 每间隔 10mm 取一数值代入公式得到如下罐容表的标定值 表 1 纵向变位后的罐容表标定值 油位高度 mm 罐容量 升 油位高度 mm 罐容量 升 油位高度 mm 罐容量 升 油位高度 mm 罐容量 升 0 1 754 310 628 847 620 1883 55 930 3188 83 10 3 6066 320 664 262 630 1926 94 940 3227 36 20 6 33542 330 700 188 640 1970 35 950 3265 49 30 10 0434 340 736 603 650 2013 8 960 3303 21 40 14 8218 350 773 485 660 2057 25 970 3340 51 50 20 7535 360 810 814 670 2100 71 980 3377 35 60 27 9142 370 848 571 680 2144 15 990 3413 73 70 36 3738 380 886 735 690 2187 56 1000 3449 62 80 46 1975 390 925 289 700 2230 94 1010 3484 99 90 57 4464 400 964 215 710 2274 27 1020 3519 83 100 70 1777 410 1003 5 720 2317 54 1030 3554 11 110 84 4454 420 1043 11 730 2360 73 1040 3587 81 120 100 301 430 1083 05 740 2403 84 1050 3620 88 130 117 792 440 1123 3 750 2446 84 1060 3653 32 140 136 966 450 1163 83 760 2489 74 1070 3685 08 150 157 27 460 1204 64 770 2532 51 1080 3716 13 160 179 494 470 1245 71 780 2575 14 1090 3746 44 170 203 156 480 1287 03 790 2617 62 1100 3775 96 180 228 006 490 1328 58 800 2659 94 1110 3804 66 190 253 937 500 1370 34 810 2702 08 1120 3832 49 200 280 867 510 1412 31 820 2744 03 1130 3859 39 210 308 732 520 1454 46 830 2785 78 1140 3885 3 220 337 475 530 1496 79 840 2827 31 1150 3910 19 230 367 046 540 1539 29 850 2868 6 1160 3934 01 240 397 402 550 1581 93 860 2909 65 1170 3957 74 250 428 501 560 1624 71 870 2950 44 1180 3958 07 260 460 308 570 1667 62 880 2990 95 1190 3978 33 270 492 788 580 1710 63 890 3031 17 1200 3996 88 280 525 911 590 1753 75 900 3071 09 290 559 646 600 1796 95 910 3110 68 300 593 967 610 1840 22 920 3149 93 5 2 实际储油罐变位分析 我们将储油罐分成三段来考虑 两端为球缺 中间为圆柱体 中间部分采用类似第 一题的积分方法求解 对于两端的球冠体 若直接积分 结果将十分复杂 为方便计算 同时使误差尽量小 本文把球冠内油液面看做与轴平行 对于纵向与横向都已经变化好的静态储油罐来说 我们以中间圆柱体一侧底面圆心 为原点 平行于罐体的轴为轴 平行于油面的轴为轴建立空间直角坐标系 根据图 10 可以得到以下关系式 用垂直于轴的平面去截油罐得到图 11 所示的储油罐的横向变位截面示意图 图中两 个油液面是指将横向变位前后的截面图画在一个图中 并使油位探针方向相同 以方便计 算 此时前后液面形成夹角 为测量值 实际油位高度 根据图像可得如下关系式 综合上面几个式子 可得 与的关系式 5 2 1 球冠体内储油量的计算 根据已知数据容易解得球冠所在球的半径为 1 625m 球过球心的截面图如下 以圆 心为原点 平行于空间坐标系轴的轴为轴 建立新的平面直角坐标系 阴影部分为储油部 分 图 12 球冠还原为球后截面图 该圆的方程为 表示圆上一点到轴距离 所以 以平行于空间坐标系 Y 轴的平面去截球冠 得到如下所示截面图 图 13 球冠体截面图 可以得知 所以球冠内油料截面面积为 当球冠内油位高度为时 球冠内储油量为 在计算两端球冠内储油量时 分别用 代替即可求出结果 5 2 2 中间圆柱体内储油量的计算 计算方法与第一问中类似 用垂直于轴的平面去截得到如下截面示意图 图 14 圆柱部截面示意图 截面圆的方程为 于是得到 又有 即 于是该截面面积 由于有转折点 又要分三种情况讨论 分别求解 当 单位 m 时 当 单位 m 时 当 单位 m 时 其中为圆柱体的总体积 用 Matlab 积分得到的结果过于冗长 不便于写在正文中 具体结果见附录 5 2 3 参数 的确定 由于第二种情况的可能性最大 数据最多 所以在求解参数与时 利用附表 2 中显 示油高值在中间部分的值进行计算 由于显示的油量容积是利用没有变位情况下的公式计 算得到的 不是真实值 故不能加以利用 附表 2 给出了出油量与显示油高的对应数据 我们用差值计算 即利用累计出油量与油高的变化值的对应关系求解 取流水号分别为 323 337 351 的三组数据 令 于是得到如下方程组 用 Matlab7 0 求解该方程组 得到一组解 1 6 0 于是便得到了变位后储油量与油位高度的关系式 间隔 10cm 取值代入得到如下罐 容表标定值 表 2 变位后实际储油罐罐容表标定值 油位读数 m 罐容量 L 油位读数 m 罐容量 L 0 0 25 6771 1 6 33580 3 0 1 331 1114 1 7 36401 2 0 2 1123 38 1 8 39199 9 0 3 2352 8 1 9 41960 7 0 4 3883 3 2 0 44667 7 0 5 5656 84 2 1 47304 2 0 6 7634 74 2 2 49853 2 0 7 9787 13 2 3 52296 5 0 8 12089 1 2 4 54614 5 0 9 14518 7 2 5 56785 7 1 0 17056 3 2 6 58785 4 1 1 19683 5 2 7 60584 7 1 2 22383 2 8 62146 2 1 3 25138 3 2 9 63414 9 1 4 27933 4 3 0 63856 4 1 5 30752 5 将得到的关系曲线 六 模型的评价与推广 6 1 模型的评价 本题主要运用微积分的方法与立体几何的相关知识建立数学模型 进而求出罐内油 料体积与测量油位高度之间的关系式 并利