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文档简介

1 计算方法 第二章插值法 2 第二章插值法和最小二乘法 2 1引言 2 2拉格朗日插值多项式 2 3差商与牛顿插值公式 2 4差分与等距节点插值公式 2 5分段低次插值 2 6三次样条插值 3 本章要点 用简单的函数 如多项式函数 作为一个复杂函数的近似 最简单实用的方法就是插值 本章主要介绍有关插值法的一些基本概念 及多项式插值的基础理论和几个常用的插值方法 Lagrange插值 分段线性插值 Newton插值 Hermite插值和三次样条插值 4 自然地 希望g x 通过所有的离散点 实际中 f x 多样 复杂 通常只能观测到一些离散数据 或者f x 过于复杂而难以运算 这时我们要用近似函数g x 来逼近f x 5 2 1引言 一 插值问题 6 1 这就是插值问题 1 式为插值条件 7 其插值函数的图象如图 问题 是否存在唯一如何构造误差估计 8 9 二 代数插值多项式的存在唯一性 整体误差的大小反映了插值函数的好坏 为了使插值函数更方便在计算机上运算 一般插值函数都使用代数多项式和有理函数 本章讨论的就是代数插值多项式 且满足 2 3 10 4 上述方程组的系数行列式为n 1阶Vandermond行列式 11 定理1 由Cramer法则 线性方程组 4 有唯一解 2 3 则满足插值条件 的插值多项式 存在且唯一 虽然线性方程组 4 推出的插值多项式存在且唯一 但通过解线性方程组 4 求插值多项式却不是好方法 12 根据线性空间的理论 并且形式不是唯一的 且在不同的基底下有不同的形式 2 2拉格朗日插值多项式 13 14 5 6 且满足 1 式 15 7 n 1次多项式 16 7 且 8 请同学们思考 从而 17 令 即 由 8 式 可得 9 10 18 其中 7 7 11 19 例 解 20 且 在例1中 如果只给出两个节点169和225 也可以作插值多项式 即1次Lagrange插值多项式 有两个插值基函数 这种插值方法称为Lagrange线性插值 也可以在n 1个节点中取相邻的两个节点作线性插值 21 Lagrange线性插值基函数为 Lagrange线性插值多项式为 参见图 22 例 解 Lagrange插值基函数为 Lagrange线性插值多项式为 23 所以 Lagrange插值多项式的缺点 插值基函数计算复杂 高次插值的精度不一定高 24 插值多项式中的误差 一 插值余项 满足 不会完全成立 因此 插值多项式存在着截断误差 那么我们怎样估计这个截断误差呢 25 令 设 其中 26 27 根据Rolle定理 再由Rolle定理 依此类推 由于 因此 28 所以 定理1 Lagrange型余项 29 设 则 30 例 解 31 32 例 并作图比较 解 33 不同次数的Lagrange插值多项式的比较图 Runge现象 34 结果表明 并不是插值多项式的次数越高 插值效果越好 精度也不一定是随次数的提高而升
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