2011广东数学竞赛

第 1 页 共 6 页 20112011 年全国高中数学联赛广东省预赛试题年全国高中数学联赛广东省预赛试题 考试时间 2011 年 9 月 3 日上午 10 00 11 20 一 填空题 本大题共 8 小题 每小题 8 分 共 64 分 把答案填在横线上 1 设数列满足 n a 123123 1 4 9 4 5 nnnn aaaaaaan 则 2011 a 答案 8041 由题意 且3 12 aa5 23 aa 123 4 nnnn aaaan 3 122 nn aa 212 5Nnaa nn 8 1212 nn aa 1005 201121211 1 1005 8 18041 kk k aaaa 2 不等式对一切成立 则实数 a 的取值xaxaxcos1cossin 22 Rx 范围为 答案 或 1a 2a 由题意 即对 22 coscoscosaxaxx 0cos1cos 22 axax 成立 xR 令 22 1 1cos1 f tta tatx 2 2 10 110 10 110 faa faa 解得 12 aa或 3 已知定义在正整数集上的函数满足以下条件 f n 1 其中为正整数 f mnf mf nmn m n 2 6 3 f 则 2011 f 答案 2023066 在 1 中 令得 1n mfmfmf 11 第 2 页 共 6 页 令得 1mn 1122 ff 令 并利用 2 得 2 1mn 63212fff 由 得 11 23ff 代入 得 11 f mf mm 20102010 11 2011 1 1 1 1 kk ff kf kfk 201121 2023066 2 20122011 4 方程 1220112011x 一共有 个解 答案 4 方程的所有解为 11x 02x 或 方程的所有解为 221 x51 或x 方程的所有解为 1233x 39x 或 方程的所有解为 12344x 614x 或 方程的所有解为 123455x 1020 x 或 一般地 方程的所有解为12 2 nn nx 1 3 22 n nn n x 或 5 设半径为 10 厘米的球中有一个棱长为整数 厘米 的正方体 则该正方 体的棱长最大等于 答案 11 厘米 设正方体的棱长为 因为正方体的对角线长不大于球的直径 a 第 3 页 共 6 页 所以 即 320 aaN 20 3 3 aaN 即 11 a max 11a 6 一个玻璃杯的内壁是由抛物线绕 y 轴旋转而构成的 2 yx 22 x 请问能接触到杯底的球的半径最大是 答案 1 2 过抛物线顶点与球心作截面 设球的半径为 r 由 2 22 22 2 1 20 xyrr xrx yx 由题意 方程没有非零实数解 021 2 rx 2 1 210 2 xrr 7 计算 111 sin45 sin46sin46 sin47sin89 sin90 答案 1 sin1 sin1 11 sinsin1sin1sinsin1 sin1coscos1sin1 sin1sinsin1 1 cotcot1 sin1 nn nnnn nnnn nn nn 原式 89 45 1 cotcot 1 sin1 k kk 1 cot45cot90 sin1 1 sin1 8 10 名学生站成一排 要给每名学生发一顶红色 黄色或者蓝色的帽子 要求每种颜色的帽子都要有 且相邻的两名学生帽子的颜色不同 则满足要求 的发帽子的方法共有 种 答案 1530 第 4 页 共 6 页 推广到一般情形 设个学生按题设方式排列的方法数为 n n a 则 6 3 a18 4 a 362 1 naa nn 从而 626626 3 31 n nnn aaaa 15306212 7 10 a 二 解答题 本大题共 3 小题 共 56 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 1 本小题满分 16 分 若是大于 2 的正整数 求n 111 122nnn 的最小值 解 当时 3n 11137 45660 假设时 nk 3 k 11137 12260kkk 则当时 1nk 11111 2322122kkkkk 111111 12221221kkkkkk 11111 1222122kkkkk 111 122kkk 37 60 因此 所求最小值为 37 60 2 本小题满分 20 分 在一条线段上随机独立地取两点 然后从这两点处把 线段分成三段 请问得到的三条新线段能构成三角形的概率是多少 解 令 a b 和 c 为一个三角形的三边 则 a b c b c a 和 c a b 不妨设 开始时的线段为区间 0 1 并且随机选取的两点为 x 和 y 其中 0 x yx 1 8 1 2 111 1 222 P 1 4 1 1 2 成功 答 得到的三条新线段能构成三角形的概率是 4 1 3 本小题满分 20 分 数列满足 当时 01 n a aa 012 0 1 0aaa 3n 有 证明 对所有整数 有 012 2 1 nn aaaa n 3n 10 n n a 证法 1 证明 由已知得 在上式中以代替得到 012 1 2 nn naaaa 1n n 1011 2 nn naaaa 两式相减得 此式对所有整数均成立 11 1 2 nnn nanaa 3n 设 则 2 n n a b n 11 3 1 2 2 1 nnn n nbnnbnb 由于 故应在与之间 由于 3 1 2 2 1 n nnnn 1n b n b 1n b 第 6 页 共 6 页 故 因此当时 均有 故 34 2 1 3 aa 34 11 59 bb 3n 1 1 9 5 n b 证毕 2 2 910 nn nn anb 证法 2 证明 用归纳法证明加强命题 an n 3 n 2 10 1 当 n 3 4 时 a3 1 a4 5 10 2 3 6 10 结论成立 2 假设当 n 1 时结论成立 当 n 1 时 an 1 a0 a1 an 1 2 n 1 a3 a4 an 1 2 n 1 2 n 5 1