2013专转本数学极限、连续与间断

本章测试题 1 的定义域是 32lg 1 3 4 lg 2 x xx y 2 的定义域是 x x xf sin 4 2 32 2 x x 2 f 3 0 sin lim x x x 2 sin lim x x x sin lim x x x 0 1 lim sin x x x 1 lim sin x x x 4 的连续区间是 间断点是 32 1 2 xx x xf 5 2 1 12 lim 11 x xx 6 若 则 axxaxf f x A B axx axx C D axax 2 ax 7 设 则的定义域是 xxfln 2 xxg xgf A 2 B 2 C 2 D 2 8 设 则当且时 1 x x xf0 x1 x 1 f f x A B C D x x1 1 x x 1x x 9 当时 与为同阶无穷小量是 0 x 42 3xx A x B C D 2 x 3 x 4 x 10 当 时 下列变量中不是无穷小量的是 1 x A B 1 2 x1 2 xx C D 123 2 xx124 2 xx 11 设 则 3 2 lim 1 kn n e n k A 3 2 B 3 2 C 3 2 D 2 3 12 函数在点处连续是在点有极限的 yf x xa f xxa A 充要条件 B 充分条件 C 必要条件 D 无关条件 13 函数的间断点是 2 3 32 x f x xx A B 1 2xx 3x C D 无间断点1 2 3x 14 当时 的等价无穷小量是 0 x 11xx A B C D x2x 2 x 2 2x 15 2 84 39 lim 3811 n nn nn A 3 B 1 C D 9 1 16 函数的连续区间是 1 1 2 ln 1 0 1 1 2 xx x f xx x A B C D 1 1 22 1 22 1 17 分析的间断点并分类 3 4 1 x y xx 18 求 2 1 lim 0 1 x x axb x a b 19 lim x xp xqx 20 3 8 13 lim 2 x x x 21 4 213 lim 22 x x x 22 0 ln 1 3 lim tan2 x x x 23 2 0 lim x x x xe 24 设 求使在处连续 2 0 sin3 0 axxx f x x x x a f x0 x 25 设 若 在 内连续 求的值 2 3 0 1 01 1 xax f xxx b x x f x a b 26 求下列函数的间断点并判别类型 1 1 1 21 21 x x f x 2 2 2 1 lim 1 n n n x f xx x 3 2 2 0 2cos 1 sin0 1 xx x x f x x x 27 设在上连续且 试证 在内至少存在一个使 f x a b f aa f bb a b f 28 设在上连续 且 证明 在上至少存在一个使 f x 0 1 0 1f x 0 1 f 29 证明在内至少有一个实根 023 5 xx 1 2 30 设在上连续 且 证明 存在一个使得 f x ff xx f 本章练习解答 测试答案 1 2 3 3 22 3 2 2 3 4 4 2 1 2 001 4 5 1 33 3x 1 2 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 定义域 x 间断点为且为第二类无穷断点 3 1x 18 22 1 1 1 1 limlim0 11 xx xab xaxab xb xx 则 即 1 0aab 1 1ab 19 原式 lim 2 x pq xpqpq xp xqx 20 原式 8 3 000 3 1 11 1 8 333 299 limlimlim2 1 2228 11 38 8 u x uuu uu u u uu 21 原式 44 12 222 22 21 limlim 11 321 22 xx x x x x 22 0 33 lim 22 x x x 23 00 2 1 2121 1 limlim 4 11 0 lim 11 x xx x xx ex exe x x exx x exeee 24 3 3sin lim0 lim0 0 2 0 x x faxxaf xx af 0 由得 000fff 3 a 25 0 0 01 12 1fa fa fffb 由连续性可知 ff 0 af 100 211 bff 1 2ab 26 1 间断点为 0 x 0 0 lim 1 x ff x 1 lim 0 0 xff x 为第 类跳跃型间断 0 x 2 x x x xf 0 0 1 1 11 1 1 x x x x x 间断点为1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1xffff 均为第一类跳跃型间断点 1 x 3 间断点为 1 x 2 kk A0 x 不存在 为第二类间断 1 1 sinlim lim 2 11 x xf xx 1x 对于即时 2 x1 k 22 2 2 limlim 2cos4sin2 xx xx xx 为可去间断 2 x 当时 第二类间断点 2 1 kxZkk lim 2 xf kx 1sin 1sin 1 1 sinlim 00 2 0 x f x 0 cos2 2 lim 00 0 x xx f x 为第一类跳跃型间断 0 x 27 令 xfxxF 则在上连续 且 xF ba0 afaaF 由闭区间上连续函数的介值定理知 在至少存在一点 0 bfbbF ba 使 即0 F f 28 令 xfxxF 则在上连续 且 xF 1 0 0 0 0 fF0 1 1 1 fF 或成立 那么就相应地有或 10 0 F0 1 F0 否则可假设 则由闭区间上的连续函数介质定理可知 0 0F 0 1 F 在上存在一点 使 即 1 0 0 F f 综上所述 得到题设结论 29 证明 23 5 xxxF 则在 1 2 上连续 且 xF 5 1 1 3240 2 23 220FF 故由连续函数介值定理得到存在使得即完成命题 2 1 0 F 30 证明 xf