2016年中考数学专题复习和训练三：三角形的相关计算与证明

赵中 2016 中考数学专题复习和训练 三 第 1 页 共 10 页 第 2 页 共 10 页 20162016 年中考数学专题复习和训练三年中考数学专题复习和训练三 三角形的相关计算与证明三角形的相关计算与证明 班级 姓名 编制 赵化中学 郑宗平 专题透析 三角形的相关计算与证明是初中数学中考新人教版重要题型之一 包括三角形的边与角 解 直角三角形与勾股定理 等腰三角形 全等三角形 相似三角形 锐角三角函数等相关知识 一般会与图形的翻折或旋转 圆 四边形的相关知识综合起来考查 解这方面的题时 需记相 应的性质及定理 认真观察图形 找准图形的关键点 综合分析 从而理清解题思路 典例精析 例例 1 1 如图 是 内一点 分别DABCBDCD AD6BD4CD3 EFGH 是的中点 则四边形的周长是 ABACCDBD EFGH 分析 分析 本题关键是抓住四边形的四条边分别是 EFGHABCDBCABC 的中位线 而在它们所对应的第三边中 只有是未知的 而是ACDBCBC 的斜边 根据勾股定理RtDBCBDCD AD6BD4CD3 可求 根据三角形的中位线定理可以求四边形的 22 BC345 EFGH 四边的长 其周长可求出 解 解 由同学们自我完成解答并填写正确答案 师生互动练习 师生互动练习 1 顺次连结平行四边形四边中点得到的四边形形状为 顺次连结菱形四边 中点得到的四边形形状为 顺次连结矩形四边中点得到的四边形形状为 顺次连结对角线相等且互相垂直的四边形四边中点得到的四边形形状为 2 如图 分别为 的三边的中点 DEF ABC 若 的周长为 则 周长为 DEF6cmABC 若 的面积为 则 的面积为 ABC 2 36cmDEF 我们把 称为第 1 个中点三角形 再取 三边的中点可以DEFDEF 作出第 2 个中点三角形 再取第 2 个中点三角形的三边中点作出第 3 个中 点三角形 依此作法 若原 的周长为 1 则第 2016 个中点三角形ABC 的周长为 3 已知菱形 的两条对角线分别为 6 和 8 分别是边ABCDMN BCCD 的中点 是对角线上一点 则的最小值为 PBDPMPN 4 已知 中 平分 于 为ABCABAC ADBAC CDAD DEBC 的中点 连结 若 则的长为 DEAB6 AC4 DE 5 如图 已知分别是 的三边的中点 DEF ABCABBCAC AM 是边上的高 分别连结 测得 则 BCDBMF DE9cm MF 6 如图 已知分别是 的的平分线 BDCE ABCABCACB 垂足分别为 连结 AFBD AGCE FG GF 求证 GFBC 例例 2 2 如图 正方形中 边长为的等边三角形的顶点ABCD2AEF 分别在和上 下列结论 EF BCCD CECF AEB75 BEDFEF 正方形 其中正确的序号是 SABCD23 分析 分析 本题的 关键是利用正方形和等边三角形的性质证明 本题RtABERtADF 的 把先利用在等腰直角三角形 把三边的求出来 然后把问题转化在 或ECFRtABE 利用勾股定理建立方程使问题得到进一步的解决 RtABE 解 解 由同学们自我完成解答并填写正确答案 师生互动练习 师生互动练习 1 正方形的边长为 8 在上 且 是上一动ABCDMDCDM2 NAC 点 则的最小值为 DNMN A 8 B C D 10 8 22 17 2 如图 正方形是一块绿化带 为其中心 阴影部分ABCDOEOFB 和都是正方形花圃 已知自由飞翔的小鸟蒋随机落在这块绿化CHMN 带上 则小鸟落在花圃上的概率为 A B C D 17 32 1 2 17 36 17 38 3 如图 以正方形的边为一边向外作一等边 连结ABCDCDPDC 则图的度数为 BP1 4 在正方形中 点在边上 且 将ABCDAB6 ECDCD3DE ADEA 沿对折至 延长交边于点 连结 下列结论 AEAEFAEFBCGAGCF 是等边ABGAAFGABGGC AGCFAGCFA 三角形 其中 正确的结论有 填序号 5 正方形的面积为 1 为正三角形 则的面积为ABCDPBCABPDA GH EF D B C A E F D A B C N DA MBC P E D A B C E D F A M C B FG D E A B C F E D A B C M D C A B N G F E DA BC P AD B C H G M N F E O D A BC 1 P D A B C 赵中 2016 中考数学专题复习和训练 三 第 3 页 共 10 页 第 4 页 共 10 页 6 如图 已知直线 相邻的两条平行线间的距 1234 llllAAA 离都是 1 如果正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条直线上 则 sin 7 正方形的边长为 是上两个点 且ABCD1cmMN BCCD 动始终保持 当 时 四边形的AMMN BMcmABCN 面积最大 最大面积为 2 cm 8 如图 是正方形的对角线 平分 交于点 ACABCDAEBAC EFAC ACF 图中与线段 BE 相等的所有线段是 选择图中与 BE 相等的任意一条线段 并加以证明 9 如图 正方形的对角线交于 的平分线交于点ABCDOBAC BC 交于点 EBDF 求证 1 OFEC 2 例例 3 3 如图 已知 为边延长线上一点 连结 使 ABDECBDACCE ABAC 求证 BDAAEC 若 求 的面积 B30ADC45BD10 ABDE 分析 分析 利用可以证明两个三角形全等 SAS 过点作于 只要求出的长AAGBC GAG 求出平行四边形的面积 ABDE 解 解 由同学们自我完成本题解答 师生互动练习 师生互动练习 1 在 中 对角线相交于点 则图中的全等三角形ABCDACBD O 有 对 面积相等的三角形有 对 若 的周长为ABCD 与的周长之差为 则此 的四边长分别36ABO BOC 4ABCD 为 2 如图 在 ABCD 中 对角线相交于点 过点作 ACBD OOOEBD 交于点 连结 若 的周长为 图中的等腰三角形ABECEABCD36cm 是 的周长为 DAE 3 如图 把边长为的菱形纸片放置在平面直角坐标系2ABCD 中 已知 关于轴对折后的对应线段 若B45 ABy A B A B 与交于点 点的坐标为 CDEE 4 如图 在 中 连结对角线 是边上的一点 且ABCDACEAD 过作 连结交于 写出图中所有 1 AEDE 2 EEFACBFACG 的相似三角形 若 则 AC6 EF AG 5 如图 已知菱形中 过点作ABCD 5 tanB 12 AAEBC 于 若 则此菱形的面积为 ECE1 6 有一块如图的玻璃 不小心把 DEF 部分打碎 现在只测得 你 AB60cm BC80cmA120B60C150 能根据测得的数据计算的长 AD 7 在 中 垂直平分 且 求证 四RtABC ACB90AC BC13 DEBCAFCE 边形为菱形 ACEF 8 如图 梯形中 若分别是 ABCDABCDABCD AD12cm BC16cm EF AB 的中点 且与互余 求的长度 CDA B EF 9 点是的中点 求证 AEBF ABEFAADCEADBCA 10 在 中 四边形与均为正方形 的延长线交于 ABCBAC90 ABDEBCFGABDGP 求证 AC2BP 例例 4 4 如图 一艘海上巡逻艇在 地巡逻 这时接到地海上指挥中心的紧急通知 在指挥中心AB 的北偏西 60 方向的地有一艘鱼船遇险 要求马上前去救援 此时地位于 地北偏西CCA 30 的方向上 地位于 地北偏西 75 方向上 两地之间的距离为 12 海里 求ABAB AC 两地之间的距离 参考数据 结果精确到 0 01 21 4131 7362 45 分析 分析 不是直角三角形 可以过点作交ABCBBDCA 的延长线于点 这样可以把问题化归在 和CADRtBCD 根据已知条件可以求出的度数 RtABDACBDAB 然后利用三角函数并结合已知的可以求出AB12 ADCD 的长度即可求解 解 解 由同学们自我完成本题解答 点评 例点评 例 1 1 至例至例 4 4 均是均是与三角形有关的计算与证明题 这类题型最关键的是要把问题化归在三 A B C D 1 l 2 l 3 l 4 l A BC D E F N D A BC M O E F D A BC E C DG A B E O C AB D E G F D B C A O D BC A x y D C A BO C D A BE D A B C E F P E D A GH B C 10题图 D F BC A E 9题图 C D E FA B 8题图 FE D B C A 7题图 D A C B 北 赵中 2016 中考数学专题复习和训练 三 第 5 页 共 10 页 第 6 页 共 10 页 角形中 特别是化归在直角三角形和等腰三角形中 解答时注意这些特殊三角形的三角形中位 线定理 勾股定理 三角函数等知识点的支撑作用 同时也要注意全等三角形 相似三角形在 其中的牵线搭桥 与三角形有关的计算和证明常与四边形 圆结合在一起 这些图形中往往 隐藏 着特殊三角形 全等三角形 相似三角形等 我们要善于把它们挖掘出来 师生互动练习 师生互动练习 1 赵化中学公租房和周转房的右面紧邻着一个山坡 坡上是一块平 地 如图 斜坡长为 26 米 为了减缓坡面防BCADBEAD AB 止山体滑坡 保障师生安全 学校决定对该斜坡进行改造 经地质人 员勘测 当坡角不超过 50 时 可确保山体不滑坡 求改造前坡顶到地面的距离的长 精确到 0 1 米 BE 如果改造时保持坡脚不动 坡顶沿向左移 11 米ABBC 到点处 那么这样改造能确保安全吗 F 参考数据 sin cos tan 680 93680 37682 48 sin tan 58 120 8549 301 17 2 海中有一个小岛 它的周围 18 海里内有暗礁 渔船跟P 踪鱼群由西向东航行 在点测得小岛在北偏东 60 方向AP 上 航行 12 海里到达点 这时测得小岛在北偏东 45 方BP 向上 如果渔船不改变航线继续向东航行 有没有触礁危险 请说明理由 3 去年夏季山洪暴发 某市好几所学校被山体滑坡推倒教学 楼 为防止滑坡 经过地质人员勘测 当坡角不超过时 45 可以确保山体不滑坡 某小学紧挨一座山坡 如图所示 已 知 斜坡长 30 米 坡角 改造后AFBC AB60ABC 斜坡与地面成角 求至少是多少米 BE45 AE 精确到 0 1 米 迎考精炼 1 如图 是 斜边上的高 将 沿折叠 点CDRtABCABBCDCD 恰好落在边的中点处 则等于 BABEA A 25 B 30 C 45 D 60 2 如图 的中线和交于点 连结 下列结论正确的是 ABCBECDGDE A 点是 的内心 B GABCBD2CE C D SDGE2SDGCSBDG2SDEG 3 如图 中 的垂直平分线交ABC A30C90 ABAC 于点 交于点 连结 则下列结论错误的是 DABEDB A B C D ADDB DEDC BCAE ADBC 4 下面各题给出的三条线段 其中可以组成三角形的是 A B C D 3 4 7 a b c1 2 4 222 a1 aa3 3a 5a 2a1 a1 5 如图 点在上 点在上 且 BD AMCE ANABBCCDDE 若 则的度数为 A20 MDE A 70 B 75 C 80 D 85 6 如图 在 的平分线交于点 过点作 分ABCABC PPDEBCA 别交于点两点 已知 则的ABAC DE ABa ACb BC10 ADEA 周长为 A B C D 102a2b ab ab10 7 在锐角 内有一点 它关于的对称点分别为 若 那么ABCPABAC MN A45 是 MAN A 等边三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形 D 等腰直角三角形 8 如图是的正方形网格中 以为顶点作位置不同的格点的55 DE 三角形与全等 这样格点三角形最多可以画出 ABCA A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 9 如图 在 中 分别以为边向外作等边 ABCDABAD ABE 延长交于点 在点之间 连结 ABFCBAEGAE CECF 则以下四个结论 EFCDFEBFCDFEAF 是等边三角形 其中一定正确的是 ECFOGAE A 只有 B 只有 C 只有 D 10 如图 已知 的两点在 边与 的交点ABCBC OABAC O 为 分别按如图方式连结 若阴影部分的 DE SDEFSCBF 则 四边形的值为 1 9 SAEDSEBCD A B C D 1 3 1 5 1 8 1 9 11 如图 三点在正方形网格线的交点 若将 绕着点ABC ABC 逆时针旋转得到 则的值为 AAC B tanB A B C D 1 2 1 3 1 4 2 4 12 如图 在一笔的海岸线 上有两个观测站 从lAB AB2km 测得在北偏东 45 的方向 从测得测得在北偏东 22 5 的ACBC 方向 则船离海岸线 的距离 即的长 为 ClCD B C AD 45 60 P N A C B M BDC F EA DE C A B G D E A BC D E C A B E D C M A N B E D P B C A C B A ED G F E C A B D F A O E D B C B C C D B A 22 5 45 B C A C 北 赵中 2016 中考数学专题复习和训练 三 第 7 页 共 10 页 第 8 页 共 10 页 A B C D 4km 22 km 2 2km 42 km 13 如图 与相交于点 若 ABCDCBACBDEAD80 则 ABC60 BEC 14 如图是等边 和正方形的重叠情形 其中两点ABCDEFGDE 分别在上 且 若 则点到BCAC CDCE AB6GF2 FAB 的距离是 15 若是 一个三角形的三边 且满足 则abc ab a47b0 最长边最长边的取值范围为 c 16 三角形周长之比为 面积之和为 291 则面积分别是 4 9 17 如图 在 中 于 ABC APDP DEDF DEAB EDFAC 于 则下列结论 F 平分 ADBAC BEDFPDDPAB 是的垂直平分线 其中正确的是 写序号 DFPC 18 如图 是 的内接正方形 若 DEFGRtABCCF8DG4 2 则 BE 19 在矩形纸片中 如图所示折叠纸片 使点ABCDAB3AD5 落在边上的点 折痕为 当点在边上移动时 折痕ABC APQ ABC 的端点也随之移动 若限定点分别在边上移动 PQ PQ ABAD 则点在边上移动的最大距离为 ABC 20 右图是四分之一圆 半径互相垂直 点在OAOB AO1 C A AB 上 且 若点是半径上一个动点 那么的最 AA AC2CB POBAPPC 小值 21 已知 如图所示 在ABC 和ADE 中 ABAC ADAE BACDAE 且点BAD 在同一条直线上 连接BECDMN 分别为BECD 的中点 连接 MNANAM 求证 BECD 求证 AMN 是等腰三角形 22 设四边形是边长为 1 的正方形 以对角线为边作第二ABCDAC 个正方形 再以对角线为边作第三个正方形 如此下去 ACEFAE 记正方形 ABCD 的边长为 按上述方法所作的正方形 1 a1 的边长依次为请求出的值 234n aaaa 234 aaa 根据以上规律写出的表达式 n a 23 如图 在矩形中 点分别在 将 沿折叠 使点落在ABCDEF BCCD ABEAEB 上的点处 又将 沿折叠 使点落在与的交点处 则AC BCEFEFC EBAD C 的值为多少 BC AB 24 如图 的直径 与是 的两条切线 切点分别为 另切OAB12 AMBNOAB DC 于 交于点 交于点 设 OEAMDBNC ADx