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1 2复数的几种表示 一 复数的几何表示 1 复平面 此时 x轴称为实轴 y轴称为虚轴 用坐标为的点来 表示复数 从而将全体复数和平面上的全部点 一一对应起来 z平面 引进复平面后 复数z与点z以及向量z视为同一个概念 在复平面上 从原点到点 所引的向量与该复数z也构成一一 一 复数的几何表示 1 复平面 对应关系 复数零对应零向量 比如 复数的加减法等同于向量的平行四边形法则 将复数和向量对应之后 除了利用 实部与虚部来给定一个复数以外 一 复数的几何表示 2 复数的模与辐角 1 向量z的长度r称为复数z的模 记为 还可以借助向量的长度与方向来给 定一个复数 一 复数的几何表示 2 复数的模与辐角 两点说明 1 辐角是多值的 2 辐角的符号约定为 逆时针取正号 顺时针取负号 则有 由此就有如下关系 一 复数的几何表示 2 复数的模与辐角 主辐角 对于给定的复数设有满足 且 则称为复数z的主辐角 记作 解 1 已知实部与虚部 求模与辐角 一 复数的几何表示 3 相互转换关系 1 已知实部与虚部 求模与辐角 一 复数的几何表示 3 相互转换关系 2 已知模与辐角 求实部与虚部 由此引出复数的三角表示式 二 复数的三角表示和指数表示 1 复数的三角表示 称为复数z的三角表示式 如图 有 由 二 复数的三角表示和指数表示 2 复数的指数表示 利用欧拉公式得 称为复数z的指数表示式 但习惯上一般取为主辐角 解 复数的三角表示式为 复数的指数表示式为 二 复数的三角表示和指数表示 3 利用指数表示进行复数的乘除法运算 设 乘法 即 在集合意义下 二 复数的三角表示和指数表示 3 利用指数表示进行复数的乘除法运算 设 除法 在集合意义下 复数z的乘幂 三 复数的乘幂与方根 1 复数的乘幂 利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则 三 复数的乘幂与方根 1 复数的乘幂 在上式中令r 1 则得到棣莫弗 DeMoivre 公式 棣莫弗 DeMoivre 公式 进一步易得到正弦与余弦函数的n倍角公式 例 此外 显然有 由此引出方根的概念 复数w 三 复数的乘幂与方根 2 复数的方根 称为把复数开n次方 或者称为求复数的 复数求方根是复数乘幂的逆运算 n次方根 记作或 复数的n次方根一般是多值的 三 复数的乘幂与方根 2 复数的方根 利用复数的指数表示式可以很快得到开方法则 即 得 正实数的算术根 三 复数的乘幂与方根 2 复数的方根 描述 解 具体为 解 具体为 四 几个关系 1 2 利用复数与向量的关系 可以证明一些几何 问题 比如 上例证明的结论可描述为 1748年 欧拉给出了著名的公式 令有 它把五个最重要的数联系起来 公式之一 克莱茵认为这是数学中最卓越的 如今几乎每一个数学
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