高中绝对值不等式-(精华版)-适合高三复习用--可直接打印

绝对值不等式绝对值不等式 绝对值不等式绝对值不等式 abab abab 基本的绝对值不等式 基本的绝对值不等式 a b a b a b a b a b a b y x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 5 5y x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 5 5 所以函数的最小值是所以函数的最小值是 5 5 没有最大值 没有最大值 y x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 5 5 y x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 5 5 由由 y 5 y 5 得得 5 y 5 5 y 5 即函数的最小值是即函数的最小值是 5 5 最大值是 最大值是 5 5 也可以从几何意义上理解 也可以从几何意义上理解 x 3 x 2 x 3 x 2 表示表示 x x 到到 3 3 2 2 这两点的距离之和 显然当这两点的距离之和 显然当 2 x 32 x 3 时 距离之和最小 最小值是时 距离之和最小 最小值是 5 5 而 而 x 3 x 2 x 3 x 2 表示表示 x x 到到 3 3 2 2 这两点的距离之这两点的距离之 差 当差 当 x 2x 2 时 取最小值时 取最小值 5 5 当 当 x 3x 3 时 取最大值时 取最大值 5 5 变题 变题 1 1 解下列不等式 解下列不等式 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 6 36 3x x 2 xxx 思路 利用 思路 利用 f x f x g x g x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x 或或 f x g x f x 2 1 2 或或 1 1 或无解 所以原不等式的解集是或无解 所以原不等式的解集是 x 1 2 xx 1 2 2 2 原不等式等价于 原不等式等价于 3 3 2 2 6 36 3x 2 xxx 即即 22 22 26360 3 2 032 1 6 016 263560 xxxxxxxxx xxx xxxxx 或 2 2 6 6 x 所以原不等式的解集是所以原不等式的解集是 2 2 6 x x2 2 3x 4 3x 4 2 2 1 12 3 4 x x 解 解 1 1 分析一 分析一 可按解不等式的方法来解可按解不等式的方法来解 原不等式等价于 原不等式等价于 x xx x2 2 2 x 2 x2 2 3x 4 3x 4 或或 x xx x2 2 2 x 2 x2 2 3x 4 3x 4 解解 得 得 1 1 2 x 1 x 3x 3 故原不等式解集为 故原不等式解集为 x x x 3x 3 分析二分析二 x xx x2 2 2 2 x x2 2 x 2 x 2 而而 x x2 2 x 2 x 2 x x 2 2 0 0 1 4 7 4 所以 所以 x xx x2 2 2 2 中的绝对值符号可直接去掉 中的绝对值符号可直接去掉 故原不等式等价于故原不等式等价于 x x2 2 x 2 x x 2 x2 2 3x 4 3x 4 解得 解得 x 3x 3 原不等式解集为 原不等式解集为 x 3x 3 2 2 分析 分析 不等式可转化为不等式可转化为 1 1 1 1 求解 但过程较繁 由于不等式求解 但过程较繁 由于不等式 2 3 4 x x 1 1 两边均为正 所以可平方后求解两边均为正 所以可平方后求解 2 3 4 x x 原不等式等价于原不等式等价于 1 1 2 2 3 4 x x 9x 9x2 2 x x2 2 4 4 2 2 x 2 x 2 x x4 4 17x 17x2 2 16 0 16 0 x x2 2 1 1 或或 x x2 2 16 16 1 x 1 1 x 1 或或 x 4x 4 或或 x 4x 4 注意 在解绝对值不等式时 若 注意 在解绝对值不等式时 若 f x f x 中的 中的 f x f x 的值的范围可确定的值的范围可确定 包括恒正或恒包括恒正或恒 非负 恒负或恒非正非负 恒负或恒非正 就可直接去掉绝对值符号 从而简化解题过程 就可直接去掉绝对值符号 从而简化解题过程 第第 2 2 变变 含两个绝对值的不等式含两个绝对值的不等式 变题 变题 2 2 解不等式 解不等式 1 1 1 1 5 5 xx a 思路 思路 1 1 题由于两边均为非负数 因此可以利用 题由于两边均为非负数 因此可以利用 f x f x g x g x f f2 2 x x g g2 2 x x 两边平方去掉绝对值符号 两边平方去掉绝对值符号 2 2 题可采用零点分段法去绝对值求解 题可采用零点分段法去绝对值求解 解题 解题 1 1 由于 由于 1 01 0 0 0 所以两边平方后有 所以两边平方后有 xx a 1 1 x 2 xa 2 即有即有 2 2 1 11 1 2 xx 2 xax 2 aax 2 a 当当 2 2 2 0 2 0 即即 1 1 时 不等式的解为时 不等式的解为 1 1 a ax 1 2 a 当当 2 2 2 0 2 0 即即 1 1 时 不等式无解 时 不等式无解 a a 当当 2 2 2 0 2 0 即即 1 1 时 不等式的解为时 不等式的解为 5 5 解 当解 当 x 3x 3 时 原不等式化为时 原不等式化为 2 x x 3 5 2 x x 3 5 2x 6 2x 6 x 3 x 3 当当 3 x 2 3 x5 2 x x 3 5 5 55 5 无解无解 当当 x 2x 2 时 原不等式为时 原不等式为 x 2 x 3 5 x 2 x 3 5 2x 42x 4 x 2 x 2 综合得 原不等式解集为 综合得 原不等式解集为 x x x 2x 2 或或 x 3x0 0 且且 1 1 x log 1 log 1 aa xx aa 解析 易知 解析 易知 1 1 1 1 换成常用对数得 换成常用对数得 x lg 1 lg 1 lglg xx aa 22 lg 1 lg 1 xx 于是于是 22 lg 1 lg 1 0 xx lg 1 lg 1 lg 1 lg 1 0 xxxx 2 1 lg 1 lg0 1 x x x 1 1 1 1 x 0 1 0 1 1 1 2 x 1 1 0 0 lg 2 x 0 0 1 lg 1 x x 1 01 1 x x 解得解得 0 0 1 1x 2 2 不等式 不等式 x 3 2x 1 x 3 2x 1 2 x 2 2 1 x1 2 4 x x 当当 3 x 3 x 时时 4x 2 4x 22x 2 7 2 x 故填故填 2 7 2 3 3 求不等式 求不等式的解集的解集 13 3 1 loglog1 3 x x 解 因为对数必须有意义 即解不等式组解 因为对数必须有意义 即解不等式组 解得 解得 0 1 0 3 x x 03x 又原不等式可化为又原不等式可化为 33 loglog31xx 1 1 当当时 不等式化为时 不等式化为 01x 即即 33 loglog31xx 33 log3log 3xx 综合前提得 综合前提得 33xx 3 4 x 3 0 4 x 2 2 当当 1 x 210 0 时 进一步化为时 进一步化为 依题意有 依题意有 此时 此时k 46 x kk 4 43 3 6 32 k k k k 无解 无解 当当 0 0 时 显然不满足题意 时 显然不满足题意 k 当当 0 0 时 时 依题意有 依题意有k 64 x kk 4 2 2 6 3 k k k 综上 综上 2 2 k 第第 4 4 变变 含参绝对值不等式有解 解集为空与恒成立问题含参绝对值不等式有解 解集为空与恒成立问题 变题 变题 4 4 若不等式若不等式 4 34 3 0 0 时 先求不等式时 先求不等式 4 34 3 有解时有解时的取值范围 的取值范围 a xx aa 令令 4 04 0 得得 4 4 令 令 3 3 0 0 得得 3 3 xxxx 当当 4 4 时 原不等式化为时 原不等式化为 4 4 3 3 即 即 2 2 7 71 1 4 7 4 272 x a x xa a 当当 3 3 4 4 时 原不等式化为时 原不等式化为 4 4 3 31 1x x xa a 当当 3 3 时 原不等式化为时 原不等式化为 4 4 3 3 即即 7 7 2 2 1 1 3 77 33 7222 x aa x xa a 综合综合 可知 当可知 当 1 1 时 原不等式有解 从而当时 原不等式有解 从而当 0 01 1 时 时 4 34 3 4 34 3 4 34 3 1 1 ax xxx 当当 1 1 时 时 4 34 3 2 恒成立 求恒成立 求的取值范围 的取值范围 xxxkk 思维点拨 要使思维点拨 要使 1 1 2 2 对任意实数对任意实数恒成立 只要恒成立 只要x xk x 1 1 2 2 的最小值大于的最小值大于 因 因 1 1 的几何意义为数轴上点的几何意义为数轴上点到 到 1 1 的距的距 xxkxx 离 离 2 2 的几何意义为数轴上点的几何意义为数轴上点到到 2 2 的距离 的距离 1 1 2 2 的几何意义为数的几何意义为数 xxxx 轴上点轴上点到 到 1 1 与与 2 2 的距离的差 其最小值可求 的距离的差 其最小值可求 x 此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数 通过画出图象 观察此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数 通过画出图象 观察 的取值范围 的取值范围 k 解法一解法一 根据绝对值的几何意义 设数根据绝对值的几何意义 设数 1 21 2 在数轴上对应的点分别为在数轴上对应的点分别为 P P A A B B x 则原不等式即求则原不等式即求 PA PA PB PB 成立成立k AB 3 AB 3 即 即 1 1 2 2 3 3xx 故当故当 2 恒成立 从图象中可以看出 只要恒成立 从图象中可以看出 只要 3 3 即可 即可 xxkk 故故 a x 1 x 2 a 恒成立 求实数恒成立 求实数 a a 的取值范围 的取值范围 分析 经过分析转化 实质上就要求分析 经过分析转化 实质上就要求 x 1 x 2 x 1 x 2 的最小值 的最小值 a a 应比最小值小 应比最小值小 解 解 由绝对值不等式 由绝对值不等式 x 1 x x 1 x 2 2 x 1 x 2 3 x 1 x 2 3 当且仅当 当且仅当 x 1 x 2 x 1 x 2 0 0 即即 时取等号 故时取等号 故 a 3a0 a 0 不等式不等式 x 4 x 3 a x 4 x 3 a 在实数集在实数集 R R 上的解集不是空集 求上的解集不是空集 求 a a 的取值范围的取值范围 分析 一 分析 一 x 4 x 3 x 4 x 3 x 4 x 4 x 3 1 x 3 1 当当 x 4 x 3 a x 4 x 3 1a 1 二 如图 实数 二 如图 实数 x x 3 3 4 4 在数轴上的对应点分别为在数轴上的对应点分别为 P P A A B B 则有 则有 y x 4 x 3 PA PB y x 4 x 3 PA PB PA PB PA PB 1 1 恒有恒有 y y1 1 数按题意只须数按题意只须 a 1a 1 A A B B P P 0 0 3 3 4 4 x x 四 考虑 四 考虑 z 4 z 3 a z z 4 z 3 1 a 1 变题 变题 1 1 若不等式 若不等式 x 4 x 3 a x 4 x 3 a 对于一切实数对于一切实数 x x 恒成立 求恒成立 求 a a 的取值范围的取值范围 2 2 若不等式 若不等式 x 4 x 3 a x 4 x 3 a x 4 x 3 a 在在 R R 上恒成立 求上恒成立 求 a a 的取值范围的取值范围 第第 5 5 变变 绝对值三角不等式问题绝对值三角不等式问题 变题 变题 5 5 已知函数 已知函数 2 f xaxbxc a b cR 当当时时 求证 求证 1 1 x 1f x x y O 3 3 1 1b 则当 则当时 求证 时 求证 2 或 2 g xbxaxc a b cR 1 1 x 2g x 思路 本题中所给条件并不足以确定参数 思路 本题中所给条件并不足以确定参数 的值 但应该注意到 所要求的结论的值 但应该注意到 所要求的结论ba c 不是不是的确定值 而是与条件相对应的的确定值 而是与条件相对应的 取值范围取值范围 因此 我们可以用 因此 我们可以用 bg x或 来表示来表示 因为由已知条件得 因为由已知条件得 1 f 0 f 1fba c 1 1f 0 1f 1 1f 解题 证明 解题 证明 1 1 由由 1 1 1 11 2 fabc fabcbff 从而有 从而有 11 1 1 1 1 1 1 1 1 22 1 1 1 1 2 bffffff bff 2 2 由由 11 1 1 11 11 0 22 fabc fabcbffacffcf 从而从而 1 11 0 2 afff 将以上三式代入将以上三式代入 2 g xbxaxc a b cR 并整理得并整理得 2 2 2 222 11 0 1 1 1 1 1 22 11 0 1 1 1 1 1 22 11 0 1 1 1 1 1 22 1111 1 1 1 1 1 1 2 2222 2 g xfxfxfx fxfxfx fxfxfx xxxxxxx 请你试试 请你试试 4 4 5 5 c c 高中不等式习题精选精解高中不等式习题精选精解 一 求取值范围一 求取值范围 2 2 已知 已知 且 且 求 求的取值范围 的取值范围 cba 0 cbaac 解 由已知条件 显然解 由已知条件 显然 0 0 ca 2 1 0 02 acacbacacb 2 0 2 02 acaaccbacaba 综上所述综上所述的取值范围是的取值范围是ac 2 1 2 3 3 正数 正数满足满足 求 求的最小值 的最小值 yx 12 yxyx 1 1 解 解 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 xyyxyxyxyxyx 为正数 为正数 223 2 23 xyyxyx 5 5 已知函数 已知函数满足满足 2 0 f xaxbx a 1 1 2f 求 求的取值范围 的取值范围 2 1 5f 3 f 解 由习已知得 解 由习已知得 52 21 baba 设 设 6 3 3 9 39 3 n m nm nm banbambaf 27 3 12 1 3 1 6 3 ffff 所以所以的取值范围是的取值范围是 3 f 27 12 8 8 若关于 若关于的方程的方程有实数解 求实数有实数解 求实数的取值范围 的取值范围 x0124 aa xx a 解一 设解一 设 原题转换为求方程 原题转换为求方程 x t2 0 02 t x 在在上有解 上有解 01 2 aatt 0 共有两种情况 一种是有两个根 一种是只共有两种情况 一种是有两个根 一种是只 有一个根 如图所示 有一个根 如图所示 由二次函数的图像和 由二次函数的图像和 性质 得方程性质 得方程在在上上 01 2 aatt 0 有实数解的充要条件为 有实数解的充要条件为 o y x o y 01 0 0 1 4 01 0 0 2 0 1 4 2 2 af aa af a aa 或 注 两组不等式分别对应两个图注 两组不等式分别对应两个图 解得解得 222 12221 aaa即或 所以所以的取值范围是的取值范围是a 222 解二 由方程解二 由方程得得01 2 aatt 0 1 1 2 t t t a 函数函数的值域就是的值域就是的取值范围 的取值范围 0 1 1 2 t t t tf a 222 222 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 22 t t t t t t t t a 所以所以的取值范围是的取值范围是 a 222 二 解不等式二 解不等式 1 1 032 2 2 xxx 解 解 不等式不等式与与或或同解 也同解 也 0 xgxf 0 0 xg xf 0 xg 可以这样理解 可以这样理解 符号符号 是由符号是由符号 合成的 故不等式合成的 故不等式可可 0 xgxf 转化为转化为 或或 0 xgxf0 xgxf 解得 原不等式的解集为解得 原不等式的解集为 13 xxx或 2 2 0 32 23 2 2 xx xx 解 解 0 32 23 2 2 xx xx 032 0 32 23 2 22 xx xxxx 用根轴法 零点分段法 画 用根轴法 零点分段法 画 0 1 3 0 1 3 2 1 xx xxxx 图如下 图如下 原不等式的解集为原不等式的解集为 3211 xxx或 3 3 0 11 2 aaxx 解 原式等价于解 原式等价于 axx 11 2 即 即 注 此为关键注 此为关键 11 11 2 axx 0 ax 原不等式等价于不等式组原不等式等价于不等式组 0 0 xa 解得 解得 0 1 1 22 x axx 0 1 1 2 0 10 2 xxa a a xxa 时 原不等式解集为当 时 原不等式解集为当 4 4 0 2 2 axx 解 当解 当时 原不等式化为时 原不等式化为 得 得 0 a02 x2 x 当当时 原不等式化为时 原不等式化为 得 得 0 a 0 2 2 a xx2 2 x a 当当时 原不等式化为时 原不等式化为 得 得 10 a 0 2 2 a xx a xx 2 2 或 当当时 原不等式化为时 原不等式化为 得 得 1 a0 2 2 x2 x 当当时 原不等式化为时 原不等式化为 得 得 1 a 0 2 2 a xx 2 2 x a x或 综合上面各式 得原不等式的解集为 综合上面各式 得原不等式的解集为 5 5 关于 关于的不等式的不等式的解集为的解集为 求 求的解集 的解集 x0 bax 1 0 2 x bax 解 由题意得 解 由题意得 且 且 0 aba 则不等式则不等式与不等式组与不等式组同解同解 0 2 x bax 02 0 2 x xbax 得所求解集为得所求解集为 21 xxx或 6 6 已知 已知且且 关于 关于的不等式的不等式的解集是的解集是 0 a1a x1 x a 解关于 解关于的不等式的不等式的解集 的解集 0 x x x 1 log 0 a x x 解 解 关于关于的不等式的不等式的解集是的解集是 x1 x a 0 x x 1a 1 0 1 1 115 log 01 2 x x a x x xx x 或或 15 1 2 x 原不等式的解集是原不等式的解集是 1515 1 1 22 三 证明题三 证明题 2 2 设 设 为偶数为偶数 证明证明 0ab n 11nn nn ba ab 11 ab 证 证 11nn nn ba ab 11 11 nnnn n abab abab 当当时时 0 0ab 0 n ab nn ab 11 nn ab 0 0 0 0 故故 11 nnnn n abab ab 11nn nn ba ab 11 ab 当当有一个负值时有一个负值时 不妨设不妨设 且且 即即 a b0 0ab 0ab ab 为偶数时为偶数时 0 0 且且 n nn ab 11 nn ab 0 n ab 0 0 故故 11 nnnn n abab ab 11nn nn ba ab 11 ab 综合综合 可知可知 原不等式成立原不等式成立 注 必须要考虑到已知条件注 必须要考虑到已知条件 分类讨论 否则不能直接得出 分类讨论 否则不能直接得出 0ab 0 0 nn ab 11 nn ab 3 3 求证 求证 22 16 4 36aa 2 29 证 设向量证 设向量 由由 得得 4 4 6 paqa pqpq 22 16 4 36aa pq pq 4 4 6 4 10 16 1002 29aa 注意 当注意 当 时 即时 即 p q 8a 方向相同 取等号 方向相同 取等号 48 p 6 12 qpq 当利用公式当利用公式证明时 会得 证明时 会得 qpqp 22 16 4 36aa pq 4 4 6 4 2 1642 5pqaa 的错误结论 因为这里取等号的错误结论 因为这里取等号 的条件是的条件是 且 且 方向相反 根据题设条件 方向相反 根据题设条件 时 方向相同 时 方向相同 p q pqp q 故取不到等号 故取不到等号 计算的结果也使不等式范围缩小了 计算的结果也使不等式范围缩小了 4 4 求证 求证 nn 1 2 1 3 1 2 1 1 222 2 n 证一 证一 nnnnn 1 1 1 1 11 2 2 n nnnn 1 2 1 1 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 1 3 1 2 1 1 222 原不等式成立 证毕 原不等式成立 证毕 证二 当证二 当时 原不等式为 时 原不等式为 显然成立 显然成立 2 n 2 1 2 2 1 1 2 假设当假设当取取 1 1 时 原不等式成立 即时 原不等式成立 即 nk 成立 则成立 则 1 1 2 1 1 3 1 2 1 1 222 kk 2 2 22222 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 3 1 2 1 1 kk kk kkkk kkkkkkkk kk1 2 1 11 2 1 1 1 1 2 222 即即取取时原不等式也成立 时原不等式也