高中数学必修4复习资料

1 P v x y A O M T 正角 按逆时针方向旋转形成的角 1 任意角负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 不作任何旋转形成的角 2 角的顶点与原点重合 角的始边与轴的非负半轴重合 终边落在第几象限 则称为第几象限角 x 第一象限角的集合为 二象限 36036090 kkk 36090360180 kkk 第三象限 第四象限 360180360270 kkk 360270360360 kkk 终边在轴上的角的集合为 终边在轴上的角的集合为x 180 kk y 18090 kk 终边在坐标轴上的角的集合为 90 kk 3 与角终边相同的角的集合为 360 kk 4 已知是第几象限角 确定所在象限的方法 先把各象限均分等份 再从轴的正半轴的上 n n nx 方起 依次将各区域标上一 二 三 四 则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域 n 5 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 弧度 1 6 半径为的圆的圆心角所对弧的长为 则角的弧度数的绝对值是 r l l r 7 弧度制与角度制的换算公式 2360 1 180 180 157 3 8 若扇形的圆心角为 半径为 弧长为 周长为 面积为 则 为弧度制rlCSlr 2Crl 2 11 22 Slrr 9 设是一个任意大小的角 的终边上任意一点的坐标是 它与原点的距离是 x y 则 22 0r rxy sin y r cos x r tan0 y x x 10 三角函数在各象限的符号 第一象限全为正 第二象限正弦为正 第三象限正切为正 第四象限余弦为 正 11 三角函数线 sin cos tan A 2 12 同角三角函数的基本关系 22 1 sincos1 2222 sin1 cos cos1 sin sin 2tan cos sin sintancos cos tan 13 三角函数的诱导公式 口诀 奇变偶不变 符号看象限 口诀 奇变偶不变 符号看象限 1 sin 2sink cos 2cosk tan 2tankk 2 sinsin coscos tantan 3 sinsin coscos tantan 4 sinsin coscos tantan 5 sincos 2 cossin 2 6 sincos 2 cossin 2 14 函数的图象上所有点向左 右 平移个单位长度 得到函数的图象 再将函sinyx sinyx 数的图象上所有点的横坐标伸长 缩短 到原来的倍 纵坐标不变 得到函数 sinyx 1 的图象 再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长 缩短 到原来的倍 sinyx sinyx A 横坐标不变 得到函数的图象 sinyx A 函数的图象上所有点的横坐标伸长 缩短 到原来的倍 纵坐标不变 得到函数sinyx 1 的图象 再将函数的图象上所有点向左 右 平移个单位长度 得到函数sinyx sinyx 的图象 再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长 缩短 到原来的倍 sinyx sinyx A 横坐标不变 得到函数的图象 sinyx A 函数的性质 sin0 0yx A A 振幅 周期 频率 相位 初相 A 2 1 2 f x 3 函数 当时 取得最小值为 当时 取得最大值为 则 sinyx A 1 xx min y 2 xx max y maxmin 1 2 yyA maxmin 1 2 yy 2112 2 xxxx 15 正弦函数 余弦函数和正切函数的图象与性质 sinyx cosyx tanyx 图象 定义域RR 2 x xkk 值域 1 1 1 1 R 最值 当时 2 2 xk k 当 max 1y 2 2 xk 时 k min 1y 当时 2xkk 当 max 1y 2xk 时 k min 1y 既无最大值也无最小值 周期性2 2 奇偶性奇函数偶函数奇函数 单调性 在2 2 22 kk 上是增函数 在 k 3 2 2 22 kk 上是减函数 k 在上是 2 2kkk 增函数 在 2 2kk 上是减函数 k 在 22 kk 上是增函数 k 对称性 对称中心 0kk 对称轴 2 xkk 对称中心 0 2 kk 对称中心 0 2 k k 无对称轴 函 数 性 质 4 对称轴 xkk 16 向量向量 既有大小 又有方向的量 数量数量 只有大小 没有方向的量 有向线段的三要素有向线段的三要素 起点 方向 长度 零向量零向量 长度为的向量 单位向量单位向量 长度等于 个单位的向量 01 平行向量 共线向量 平行向量 共线向量 方向相同或相反的 非零非零向量 零向量与任一向量平行 相等向量相等向量 长度相等且方向相同方向相同的向量 17 向量加法运算 三角形法则的特点 首尾相连 平行四边形法则的特点 共起点 三角形不等式 ababab 运算性质 交换律 结合律 abba abcabc 00aaa 坐标运算 设 11 ax y 22 bxy 则 1212 abxxyy 18 向量减法运算 三角形法则的特点 共起点 连终点 方向指向被减向量 坐标运算 设 11 ax y 22 bxy 则 1212 abxxyy 设 两点的坐标分别为 则 A 11 x y 22 xy 1212 xxyyA 19 向量数乘运算 实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘 记作 a a aa 当时 的方向与的方向相同 当时 的方向与的方向相反 当时 0 a a 0 a a 0 0a 运算律 aa aaa abab 坐标运算 设 则 ax y ax yxy 20 向量共线定理 向量与共线 当且仅当有唯一一个实数 使 0a a b ba 设 其中 则当且仅当时 向量 共线 11 ax y 22 bxy 0b 1221 0 x yx y a 0b b 21 平面向量基本定理 如果 是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任意向量 1 e 2 e a 有且只有一对实数 使 不共线不共线的向量 作为这一平面内所有向量的一组基底 1 2 1 122 aee 1 e 2 e b a C A abCC A A 5 22 分点坐标公式 设点是线段上的一点 的坐标分别是 当 12 1 2 11 x y 22 xy 时 点的坐标是 12 1212 11 xxyy 23 平面向量的数量积 零向量与任一向量的数量积为 cos0 0 0180a ba bab 0 性质 设和都是非零向量 则 当与同向时 当与反向a b 0aba b a b a ba b a b 时 或 a ba b 2 2 a aaa aa a a ba b 运算律 a bb a aba bab abca cb c 坐标运算 设两个非零向量 则 11 ax y 22 bxy 1212 a bx xy y 若 则 或 ax y 2 22 axy 22 axy 设 则 11 ax y 22 bxy 1212 0abx xy y 设 都是非零向量 是与的夹角 则a b 11 ax y 22 bxy a b 1212 2222 1122 cos x xy ya b a bxyxy 24 两角和与差的正弦 余弦和正切公式 coscoscossinsin coscoscossinsin sinsincoscossin sinsincoscossin tantan tan 1tantan tantantan1tantan tantan tan 1 tantan tantantan1 tantan 25 二倍角的正弦 余弦和正切公式 1 2 3 sin22sincos 2 2tan tan2 1 tan 4 2222 cos2cossin2cos1 1 2sin 2 cos21 cos 2 2 1 cos2 sin 2 26 其中 22 sincossin A A tan A 2 1 sin2 sincos 6 基础训练题基础训练题 一 选择题 1 下列角中终边与 330 相同的角是 A 30 B 30 C 630 D 630 2 角 的终边落在区间 3 内 则角 所在象限是 5 2 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 已知角 的终边过点P 1 2 cos的值为 A B C D 5 5 5 5 52 2 5 4 如果则的取值范围是 cos cos xxx A B 2 2 2 2 Zkkk 2 2 3 2 2 Zkkk C D 2 2 3 2 2 Zkkk 2 2 Zkkk 5 函数的图象可看作是函数的图象 经过如下平移得到的 其中正确的是 3 x2sin 3y x2sin3y A 向右平移个单位 B 向左平移个单位 C 向右平移个单位 D 向左平移个单位 3 3 6 6 6 与函数图象不相交的一条直线是 tan 2 4 yx 的 A B C D 2 x 2 y 8 x 8 y 7 是第四象限角 则下列数值中一定是正值的是 A sin B cos C tan D tan 1 8 已知 sin cos 则 cos sin 的值等于 1 8 A B C D 3 4 2 3 2 3 2 3 9 如果角满足 那么的值是 2cossin 1 tan tan A B C D 1 2 12 10 sin cos tan的值是 3 4 6 25 4 5 A B C D 4 3 4 3 4 3 4 3 11 已知那么 15 14 tan a 1992sin 7 25 7 25 18 25 7 25 18 A B C D 2 1 a a 2 1a a 2 1a a 2 1 1 a 12 已知 那么的值为 5 3 sin cos cos sin cos2 A B C D 13 的值是 24tan1 20tan1 21tan1 ooo A 2 B 4 C 8 D 16 14 函数的定义域为 sintanyxx A B 2 22 Zkkxkx 2 2 22 ZkkxxZkkxkx C D 且 2 22 Zkkxkx 22 2 xkxk 2 xkkZ 二 填空题 15 函数的周期是 42 sin x y 16 与 1991 终边相同的最小正角是 绝对值最小的角是 17 若 则的值为 3tan 33 33 cos2sin cos2sin 18 已知 sintan 0 则的取值集合为 19 函数的图象的对称轴方程是 3 2sin 2 xy 20 函数的最小正周期是 x x y 2 tan1 tan2 21 已知 sin cos 0 则 cos2 的值为 2 2 22 记 均为非零实数 4 cos sin xbxaxfab 若 则 2009 2009 f 2010 f 1 7 BCACDCB 8 14 BDACABB 15 16 17 18 4 00 169 191 25 29 2 2 2 2 2 kkxorkxkx 19 20 21 22 Zk k x 122 2 2 3 2001 三 解答题 8 23 若函数 画出函数在区间上的简图 指出函数在区间上的单调区间及单1 sinyx 0 2 0 2 调性 最大值和最小值 24 已知 求的值 3 tan3 2 sincos 25 已知为第二象限角 的值求为第一象限角 2tan 13 5 cos 5 3 sin 26 求值 0 000 10cos1 10tan31 80sin50sin2 27 化简 000 sin 180 cos sin 180 tan 180 xxxx 证明 2222 tansintansinxxxx 28 已知 是方程的两根 求的值 tan tan 2 2370 xx tan 29 已知 A B C 三点的坐标分别是 A 3 0 B 0 3 C 其中 sin cos 3 22 1 若 求角的值 ACBC 2 若 求的值 AC BC1 A 2 2sinsin2 1tan 平面向量基础训练题平面向量基础训练题 一 选择题 1 若向量 1 1 1 1 1 2 则 等于 abcc A B C D ba 2 3 2 1 ba 2 3 2 1 ba 2 1 2 3 ba 2 1 2 3 2 若取两个互相垂直的单位向量 i j 为基底 且已知 a 3i 2j b i 3j 则 5a 与3b的数量积等于 A 45 B 45 C 1 D 1 3 O 是 ABC 所在的平面内的一点 且满足 2 0 则 ABC 的形状一定为 OB OCOBOCOA 9 A 正三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形 D 斜三角形 4 下面的四个命题 baba 22 2 baba 若 若cabacba 则 0bababa 则 其中真命题是 A B C D 5 将抛物线的图象按向量平移 使其顶点与坐标原点重合 则 74 2 xxyaa A 2 3 B 2 3 C 2 3 D 2 3 6 下列四个命题 其中正确的个数有 对于实数 m 和向量bmambamba 恒有 对于实数 m n 和向量anamanma 恒有 若 若baRmbmam 则有 nmaRnmanam 则有 0 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 7 已知 则向量在向量上的投影为 12 5 3 baba且ab A B 3C 4D 5 5 12 8 已知向量 3 2 5 1 则等于 OMONMN 2 1 A 8 1 B 8 1 C 4 D 4 2 1 2 1 9 已知 p q 3 p q 的夹角为 则以 a 5p 2q b p 3q 为邻边的平行四边形的一条对角线长为 22 4 A 15 B C 14 D 1615 10 设 e1和 e2是互相垂直的单位向量 且 a 3e1 2e2 b 3e1 4e2 则 a b 等于 A 1 B 2 C 1 D 2 11 若 a b 1 a b 且 2a 3b 与 ka 4b 也互相垂直 则实数 k 的值为 A 6 B 6 C 3 D 3 12 设 a b c 为平面向量 下面的命题中 a b c a b a c a b c a b c a b 2 a 2 2 a b b 2 若 a b 0 则 a 0 或 b 0 正确的个数是 A 3 B 2 C 1 D 0 BACBA CADAC BC 二 填空题 13 已知 e 是单位向量 求满足 a e 且 a e 18 的向量 a 14 设 a m 1 i 3j b i m 1 j a b a b 则 m 15 若 0 则 ABC 的形状为 ABBC 2 AB 10 16 把函数的图象按向量 a 平移 得到的图象 且 a b c 1 1 b c 4 则 b 542 2 xxy 2 2xy 13 18e 14 2 15 直角三角形 16 3 1 17 若 则的数量积为 4120 3ab 4 5ab ba与 18 向量与共线且方向相同 则 1 ax r 4 bx r x 19 已知 A 3 y B 2 C 6 三点共线 则 y 5 9 20 已知 3 4 若 1 则 a b b a b 21 非零向量和满足 则与的夹角等于 a b abab a ab 22 已知 10 12 且 3 36 则与的夹角是 a b a 5 1 b a b 23 如果 1 2 与的夹角为 则等于 a b a b 4 ab 三 解答题 24 已知向量 a e1 e2 b 4 e1 3 e2 其中 e1 1 0 e2 0 1 试计算 a b 及 a b 的值 求向量 a 与 b 的夹角的余弦值 25 已知平面上三个向量 a b c 的模均为 1 它们相互之间的夹角均为 120 求证 a b c 若 ka