高校自主招生物理讲义第六章

升学路径规划升学路径规划 自主招生基础课程自主招生基础课程 55 第六章第六章 振动和波振动和波 拓展与示例拓展与示例 一 简谐运动一 简谐运动 简谐运动的动力学特征 做简谐运动的物体所受的回复力与偏离平衡位置的位移的大小成正比且方向 相反 其中为比例常数 这是简谐运动的动力学特征 也是判断一个振动是否是简谐运动kxF k 的依据 简谐运动的运动学特征 由牛顿第二定律可得 即简谐运动的加速度与位移大小成x m k m F a 正比且方向相反 简谐运动的振动方程 可以证明 做匀速圆周运动的质点在其直径上的投影的运动 是以圆心为平衡 位置的简谐运动 通常称这样的圆为参考圆 如图 6 1 所示 设质点做匀速圆周运动 角速度为 半 径为 以某条直径所在的支线为坐标轴 圆心为原点 当时 AxO0 t 质点在点 经过时间 后 质点在点 所以 PtQ 0 POx 点在轴上的投影点的坐标为 0 tQOxQOx 这就是位移方程 点的速度在轴上的投影 0 cos tAxQOx 速度为 这就是速度方程 点的加速度在 0 sin tAvQ 轴的投影加速度为 这就是加速度方程 Ox 0 2 cos tAa 在这组方程中 为振幅 为相位 相 指状态 其中是时的相位 称为初相位 A 0 t 0 0 t 为角频率 又叫圆频率 由这组方程就可以确定任一时刻振动质点的状态 即位置 速度 加速度 简谐运动的周期 由公式 可得简谐运动的周期 xx m k aT 22 及 k m 2 T 一个振动物体 当用动力学特征或运动学特征证明了它的确是做简谐运动时 相应的 k 值也就确定了 由 此公式也可以求出相应的简谐运动的周期 简谐运动的图像 简谐运动的运动规律也可以用图像直观的表示出来 简谐运动的 和tx tv 图均为余弦曲线 在图 6 2 中 I II III 分别表示 和图像 由图像可以直接ta tx tv ta 得出在任一时刻振动质点的位置 位移 速度和加速度 单摆 可以证明 单摆在摆角时 回复力与位移的关系可近似 5 地表示为 所以单摆做小角度摆动时 可视为简谐kxx L mg F 运动 其周期 22 g L k m T 例 1 一弹簧振子做简谐振动 O 为平衡位置 当它经过 O 点 时开始计时 经过 0 3s 第一次到达 M 点 再经过 0 2s 第二次到达 M 点 则弹簧振子的 周期为 A 0 53s B 1 4s C 1 6s D 3s 答案 AC 升学路径规划升学路径规划 自主招生基础课程自主招生基础课程 56 解析 试题分析 作出示意图如图 若从 O 点开始向右振子按下面路线振动 则振子的振动周期为 1 0 2 4 0 3 1 6 2 Ts 如图 若从 O 点开始向左振子按下面路线振动 令从 O 到 M 的时间为 t 则有 0 20 3 22 t t 则可解得 0 1 3 ts 则振子的振动周期为 故 AC 正确 2 0 20 11 6 4 0 53 233 Tsss 答案 B 解析 试题分析 绳剪断前 弹簧伸长的长度 绳剪断后 A 做简谐 1 Mm g x k 运动 在平衡位置时 弹簧的拉力与重力平衡 此时弹簧伸长的长度为 所以 A 2 Mg x k 振动的振幅为 A 错误 B 正确 剪断前 平衡后弹 12 Mm gMgmg Axx kkk 簧处于拉长状态 弹簧的拉力等于两个物体的重力的和 即 细线剪断瞬 FMm g 间 A 受到重力和弹簧的弹力 由牛顿第二定律可知加速度为 方向向上 CD 错误 Mm gMgFMgmg a MMM 例 2 如图所示 质量为 M 的物块 A 上端与轻弹簧固定 弹簧劲度系数为 k 下端用轻绳系住质量为 m 的木块 B 期初静止 突然剪断mM 升学路径规划升学路径规划 自主招生基础课程自主招生基础课程 57 A B 间轻绳 此后 A 将在竖直方向上做简谐运动 则 A 物块 A 做简谐运动的振幅为 B 物块 A 做简谐振动的振幅为 Mg k mg k C 剪断 A B 间轻绳瞬间 物块 A 的加速度为零 D 剪断 A B 间轻绳瞬间 物块 A 的加速度大小为 Mgmg M 例 3 劲度系数 k 40N m 的轻弹簧 一端拴在竖直墙上 另一端拴物体 A A 的质量 mA 0 2kg 在 A 的上表面放有质量 mB 0 1kg 的物体 B 如图所示 已知水平地面光滑 A 和 B 之间的最大静摩擦力 Fm 0 2N 若要使 A B 两物体一起做简谐运动 则振幅的最大值是多少 解 设位移为 x 对整体受力分析 受重力 支持力和弹簧的弹力 根据牛顿第二定律 有 kx mA mB a 对 B 物体受力分析 受重力 支持力和静摩擦力 静摩擦力提供回复力 根据牛顿第二定 律 有 f mBa f Fm 联立解得 x 0 015m 例 4 某质点做简谐运动 其位移与时间的关系式为 2 3 3 2 xsintcm 则 A 质点的振幅为 3 cm B 质点振动的周期为 3 s C 质点振动的周期为 s D t 0 75 s 时刻 质点回到平衡位置 答案 ABD 二 单摆的周期问题二 单摆的周期问题 单摆的物理模型是在不能伸长 没有质量的绳下面挂一个质点 当单摆悬线偏离竖直方向一个任意小 角时 摆球受到两个力 重力绳的拉力这两个力的合力沿振动方向的分量作为振动的回复力 mg TF 如图 6 9 因为角很小 所以 由此可见 回复力 sin mgF lxmgmgF 和摆球偏离平衡位置的位移成正比 在角很小时 可认为它所对的弧和弦等长 因此单摆小角 Fx 度摆动时是做简谐运动 证明了单摆是做简谐运动后 单摆的周期就很容易求了 将和的比例系数 Fx 代入周期公式中 这说明单摆在摆角很小的情况下 摆角只要小 lmgk g l k m T 22 于即可 它的周期跟摆长的平方根成正比 跟重力加速度的平方根成反比 而跟摆球的质量 振幅无 5 关 升学路径规划升学路径规划 自主招生基础课程自主招生基础课程 58 在一定的地点 的值一定 一定摆长的单摆就有恒定不变的周期 摆的这个性质被利用在摆钟上 g 计量的时间 当单摆周期时 由公式推导 摆长大约为 这种情况的单摆叫做秒摆 相反 sT2 m1 如果测出摆长 和周期也可以利用单摆的周期公式确定的值 由于单摆的摆长和周期 都容易测 lT g T 量 所以利用单摆可以很方便地测定重力加速度的 不像利用自由落体运动测那样麻 g 2 2 4 T l g g 烦 通过这部分例题的分析 我们还将学习应用单摆的周期公式以及用 等效 法求一些异形摆的周期 例 6 将摆长为 的单摆悬在以加速度匀加速上升的电梯中 其振动的周期为多少 la 解析解析 当单摆在竖直方向上有加速度时 如在上下加速运动的升降机中 其效果相当于 重力加速度发生了变化 由于单摆处于超重状态 其等效重力加速度为 a g 所以其振动周 期为 T 2 l ga 点评点评 关于等效重力加速度要注意 单摆有竖直向上的加速度 a 时 相当于重力加速 度变为 g g a 单摆有竖直向下的加速度 a a g 时 相当于重力加速度变为 g g a 等效 重要 例 7 如图所示 两根长度均为 L 的细线下端拴一质量为 m 的小球 两线间的夹角为 是摆球在垂直于纸面的平面内做小幅度摆动 则其振动周期为 解析解析 本题中摆球在垂直于纸面的平面内振动 相当于用一根长度为 Lcos的细线上端固定于两悬点中间 下端连此球 做简谐运动 因此等效摆长 Lcos 2 L 据单摆周期公式可得 2 cos 2 2 L T g 点评点评 摆长是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离 因此要正确确定摆长 例例 8 图 3 所示为一单摆的共振曲线 则该单摆的摆长约为多少 共振时单摆的振幅是 多大 共振时单摆的最大速度和最大加速度各是多大 g 取 10m s2 解析解析 由图可知 单摆的固有频率为 0 5Hz 所以周期为 2s 据 T 2 得 l 1m g l 22 4f g 共振时的振幅 A 8cm 设最大偏角为 摆球能下降的最大高度为 h 则 mvm2 mgh 1 2 又 h l 1 cos 且 1 cos 2sin22 又因为 很小 sin 2 l A 2 升学路径规划升学路径规划 自主招生基础课程自主招生基础课程 59 所以 vm 0 25m s l A gl 摆球在端点时加速度最大 am gsin g 0 8m s2 l A 点评点评 本题除了考查单摆周期公式 还综合考查了机械能守恒定律 牛顿定律以及数学 的三角知识 在单摆这个近似的简谐运动系统中 往往应用到三角函数的近似计算 要根 据情况灵活处理 概念题 三 机械波三 机械波 机械波 机械振动在介质中的传播形成机械波 机械波传播的只是振动的形式和振动的能量 介质质 点本身并不随波迁移 若质点振动的方向与波传播的方向垂直 则称之为横波 若质点振动的方向与波的 传播方向在同一条直线上 则称之为纵波 而在液体和气体中一般只能传播纵波 波长 频率和波速的关系 这一关系式对所有的波都适用 其中由振源决定 f v fv f 由介质的密度及弹性性质决定 并与温度有关系 v 平面简谐波 平面简谐运动在一个方向上传播所形成的波 称为平面简谐波 也称为正弦波 平面简 谐波中所有介质质点的振幅都相同 1 平面简谐波的振动方程 设波沿轴正方向传播 波源在原点 x 处 其振动方程为 x 轴上任意的一点 平衡位置坐标为 的振动比点 O tAycos PxO 滞后 因此点的振动方程为 这个方程 v x t P coscos v x tAttAy 表示沿波传播方向上任一质点的振动规律 也表示平面简谐波的规律 2 平面简谐波的图像 以轴 y 表示所有质点的位移 轴表示各质点的平衡位置 波的传播方向沿轴 在某 xx 一时刻 由波动方程作出关系的余弦曲线就是该时刻的波动图像 它表示 t xy 介质中各质点的位移分布 对于横波 其波动图像就是这一时刻的波形曲线 波的叠加 几列波在同一介质中传播时 在它们相遇的区域内 每列波都保 持各自原有的频率 波长和传播方向继续传播 并不互相干扰 这种性质称为波 的独立性 在几列波单独传播时引起的位移的矢量和 这就是波的叠加原理 波的干涉 频率相同 振动方向相同 相位相同或相位差恒定的两个波源 称为相干波源 这两列波在相遇的区域中 某些位置的质点振动始终被加强 而某些位置的质点振动始终 被减弱 而且加强和减弱的区域相互间隔 这种现象称为波的干涉 如图 6 14 所示 在两相干波源发出 的两列波的相遇区域中有任一点 点到两波源的距离分别为 为简单计算 设两列 PP21 SS 和 21 rr和 波做简谐运动的初相都为零 则由波动方程可知 两列波传到点时引起的两个分振动的方程分别为 P v r tAy v r tAy 2 22 1 11 coscos 根据波的叠加原理可知 点处质点的振动是由上述两个振动合成的 合振动的振幅由两个分震动的相 P 位差决定 显然 当 1212 21 2 22rrrr vv r t v r t 即当时两列波叠加的合振动加强 点的振幅为 n2 nrr 12 210 n P 当 即当两列波叠加的合振动 21 AA 1n2 时210 2 12 12 nnrr 减弱 点的振幅 P 21 AA 波的衍射 波在传播过程中遇到障碍物时会改变其直线传播方向 绕 到障碍物 阴影 区域中的 升学路径规划升学路径规划 自主招生基础课程自主招生基础课程 60 现象 叫波的衍射 发生明显衍射现象的条件是 障碍物或孔的尺寸比波长小 后者跟波长相差不多 值 得注意的是 1 障碍物或孔的尺寸比波长大很多的时候也有衍射发生 只是很弱 不易观察而已 2 并不是障碍物或孔的尺寸比波长越小越好 特别是孔在太小的情况下 尽管衍射范围广 但由于波 的强度太弱 因此也不易观察到明显的衍射现象 声波 1 声波 声波是生源的振动在介质中的传播 声波是纵波 声波的传播速度除跟介质有关 外 还跟环境温度有关 2 声波的反射 干涉和衍射 声波遇到障碍物时会改变原来的传播方向 并返 回到介质中传播的现象称为声波的反射 声波发生干涉时 会在一些区域听到较强的声音 而在另一些区 域听到较弱的声音 声波在空气中传播时 波长约在之间 很容易绕过障碍物进行传播 mcm17 17 所以人们很容易观察到声波的衍射现象 3 声音的共鸣 声音的共鸣即声音的共振现象 当声波在某介 质中传播时 若声波频率与此介质的固有频率相等 就会产生共鸣现象 4 超声波和次声波 通常人耳 能听到的声音频率在之间 超过声波 称为超声波 低于的声z20000z20HH z20000Hz20H 波 称为次声波 超声波波长短 直进性好 次声波波长长 能量大 5 乐音和噪音 悦耳动听的声音 叫乐音 它是由做周期性振动的声源发出的 嘈杂刺耳的声音叫噪声 它是由做非周期性振动的声源发出 的 6 乐音的三要素 音调 响度和音品称为乐音的三要素 乐音由一些不同频率的简谐波组成 频率 最低的简谐波称为基音 音调由基音频率的高低决定 基音频率高的乐音音调高 响度是声音强弱的主观 描述 跟人的感觉和声强 单位时间内通过垂直于声波传播方向上的单位面积的能量 有关 音品反应出 不同声源发出的声音具有不同的特色 音品由声音的强弱和频率决定 例例 10 10 如图所示 一平面简谐波沿Ox轴的负方向传播 波速大小为u 若P处介质质点的振动方程为 求 cos tAyP 1 O处质点的振动方程 2 该波的波动表达式 3 与P处质点振动状态相同的那些点的位置 解 1 O处质点的振动方程为 cos 0 u L tAy 2 波动表达式为 cos u Lx tAy 3 x L k k 1 2 3 u 2 自招选择题 自招选择题 例例 12 12 在均匀介质中 有两列余弦波沿 Ox 轴传播 波动表达式分别为 与 试求 Ox 轴上合振幅最 2cos 1 xtAy 2cos 2 2 xtAy 大与合振幅最小的那些点的位置 解 1 设振幅最大的合振幅为 Amax 有 cos22 2 222 max AAAAA 式中 4 x 又因为 时 合振幅最大 故 1 4coscos x kx2 4 x O P L u 升学路径规划升学路径规划 自主招生基础课程自主招生基础课程 61 合振幅最大的点 k 0 1 2 5 分 kx 2 1 2 设合振幅最小处的合振幅为 Amin 有 cos22 2 222 min AAAAA 因为 时合振幅最小 且 1cos 4 x 故 合振幅最小的点 k 12 4kx 4 12 kx 0 1 2 5 分 5 设入射波的表达式为 在处发生反射 反射点为一固定 2cos 1 T tx Ay 0 x 端 设反射时无能量损失 求 1 反射波的表达式 2 合成的驻波的表达式 3 波腹和波节的位置 答案 1 2 cos 2 cos2 xtxt yAA TT 2 2222 2 cos cos 2 sinsin 22 xt yAxtA TT 3 波腹 波节 11 1 2 3 22 xnn 1 1 2 3 2 xnn 解 1 反射点是固定端 所以反射有相位 的突变 且反射波振幅为 A 因此反 射波的表达式为 2 cos 2 cos2 xtxt yAA TT 2 驻波的表达式是 12 2222 2 cos cos 2 sinsin 22 xt yyyAxtA TT 3 波腹位置满足 即 nx 2 1 2 11 1 2 3 22 xnn 波节位置满足 即 2 1 2 1 2nx 1 1 2 3 2 xnn 四 多普勒效应四 多普勒效应 多普勒效应 由于声源或者观察者的运动 导致观察者听到的声音频率和声源发射的频率不一致的现 象称为多普勒效应 例如一辆汽车在我们身旁急驰而过 车上喇叭的音调有一个从高到低的变化 站在铁 路旁边听列车的汽笛声也能够发现 列车迅速迎面而来时音调较静止时高 而列车迅速离去时则音调较静 止时低 简单起见 我们只讨论声源 观察者的运动方向与声音的传播方向共线的情况 设介质中 SD 升学路径规划升学路径规划 自主招生基础课程自主招生基础课程 62 的声速为 在各向同性介质中 为恒量 若声源和观察者都不动时 观察者观察到的声音的频率 uu u ff 为 1 声源静止观察者运动 如图 6 18 所示 静止点声源发出的球面波波面是同心的 若观察者以 大小为的速度靠近或离开声源 则声波相对于观察者的传播速度变为或 D v D vuu D vuu 于是观察听到的频率为 从而它与声源频率之比为 D vuu f f u vu f f D 2 声源运动观察者静止 若声源以大小为的速度运动 他发出的球面波波面不再同心 图 6 19 s v 中所示两圆分别是时间相隔一个周期 T 的两个波面 它们中心之间的距离为 从而对于迎面Tvs 而来或背离而去的观察者来说 有效的波长为 于是观察者听到的TvuTv ss 频率为 从而它与声源频率之比为 ss vu uf Tvu uu f f s vu u f f 3 声源和观察者都运动的情形 这时有效波速和波长都发生了变化 观察者听到的频率 为 从而它与声源频率之比为 声波总在f vu vu Tvu vuu f s D s D f s D vu vu f f 一定的介质中传播 上面所说的静止和运动 都是相对于介质而言的 在这里声源速度和观察者速度 s v 在公式里的地位不对称 1 若声源和观察者相向运动时 上式中取 2 若声源和 D v D v s v 观察者相背运动时 上式中取 3 若声源和观察者均沿波传播的方向运动时 上式中 D v s v 取 4 若声源和观察者均逆着波的传播方向运动时 上式中取 D v s v D v s v 多普勒效应不限于声波 机械波 对于真空中的电磁波 光波 由于光速与参照系无关 多普勒c 效应的公式中只出现观察者对光源的相对速度 波的传播方向 声源速度 观察者速度三者不共线的一v 般情况是比较复杂的 这里只要考虑在连线方向的速度分量即可 这里不再赘述 此外 在上述经典的多 普勒效应中只有纵向效应 没有横向效应 而在相对论中 除纵向外 还有横向多普勒效应 有兴趣的同 学可以查阅相关资料 例例 1313 一人看到闪电 12 3s 后又听到雷声 已知空气中的声速约为 330 340m s 光速为 3 108m s 于是他用 12 3 除以 3 很快估算出闪电发生位置到他的距离为 4 1 km 根据你所学的物理 知识可以判断 A 这种估算方法是错误的 不可采用 B 这种种估算方法可以比较准确地估算出闪电发生位置与观察者间的距离 C 这种种估算方法没有考虑光的传播时间 结果误差很大 D 即使声速增大 2 倍以上 本题的估算结果依然正确 答案 B 错解分析 AC 不知所以 妄加断言 正解 设所求距离为 d 光速为 c 声速为 v 则有 s c d v d 3 12 即由于 c v 上式近似为 而 v 在 v d 1 3 12 100 31 340330 v m 即有 故 B 正确 AC 错 由推理知 D 亦不对 应选 B kmmd1 4 3 100 3 12 点评 应理解机械波的叠加 干涉 衍射现象及相关条件 理解多普勒效应韵基本原理 能画图分析作 答 易出选择 cv d 11 3 12 升学路径规划升学路径规划 自主招生基础课程自主招生基础课程 63 五 艏波