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投资学第二部分 投资学第二部分 投资者制定投资目标应考虑回报和风险投资者厌恶风险 承担风险需要补偿不同的投资者对风险厌恶程度不一样 怎样刻画不同投资者对收益 风险之间的权衡关系 确定性情形确切知道资产将来的价值 或收益率 即资产的某种收益率发生的概率为1 不确定性或风险性情形资产将来的价值 或收益率 有多种可能的结果 投资者并不能确切地知道哪种结果会发生 随机变量 风险 投资中因各种原因不能获得预期收益甚至遭受损失的可能性 即期望收益的不确定性和变动性 6 1风险的性质与度量 6 1 1风险的分类 一 风险来源 1 经营风险 Businessrisk 2 财务风险 Financialrisk 3 流动风险 Liquidityrisk 4 违约风险 Defaultrisk 5 利率风险6 通货膨胀风险7 国家经济状况 二 风险分类系统风险 systematicrisk 又称市场风险 指在市场交易的同类证券都要受到影响的风险 如利率风险 购买力风险 经济危机 战争等 难以通过投资组合加以分散 非系统风险 单个证券自身的风险 即只有发行证券的特定企业和行业受到影响的风险 如经营不善 劳资纠纷 市场疲软 违约等 可通过投资多样化加以分散 分散化与风险RiskReductionwithDiversification 股票数量NumberofSecurities 标准方差St Deviation 市场风险 系统风险 MarketRisk 独特风险 非系统风险 UniqueRisk 6 1 2收益及其衡量 投资收益指初始投资的价值增值量 包括经常收入 股息 利息 红利 和资本利得 买卖差价 投资收益占初始投资额 本金 的比率 为投资收益率 以年为单位 或持有期收益率 holdingperiodreturn HPR HPR 期末价格 期初价格 经常收入 期初价格 100 期望收益率 在考虑了未来收益的各种不确定因素后投资者可期望得到的投资回报 即期望收益率是各种可能的持有期收益率的加权平均数 公式如下 式中 E R 期望收益率 Rj 情况j出现时的收益率 Pj 出现情况j的概率 n 可能出现的情况的数量 6 1 3单个证券的收益与风险 资本利得 股息收入 1 证券的持有期回报 Holding periodreturn 给定期限内的收益率 其中 p0表示当前的价格 pt表示未来t时刻的价格 2 预期回报 Expectedreturn 由于未来证券价格和股息收入的不确定性 很难确定最终总持有期收益率 故将试图量化证券所有的可能情况 从而得到其概率分布 并求得其期望回报 3 证券的风险 Risk 金融学上的风险表示收益的不确定性 注意 风险与损失的意义不同 由统计学上知道 所谓不确定就是偏离正常值 均值 的程度 那么 方差 标准差 是最好的工具 例 假定投资于某股票 初始价格100美元 持有期1年 现金红利为4美元 预期股票价格由如下三种可能 求其期望收益和方差 同理可以求得 r 2 14 R 3 16 预期回报率 4 风险溢价 RiskPremium 超过无风险证券收益的预期收益 其溢价为投资的风险提供的补偿 无风险 Risk free 证券 其收益确定 故方差为0 一般以货币市场基金或者短期国债作为其替代品 例 上例中我们得到股票的预期回报率为14 若无风险收益率为8 初始投资100元于股票 其风险溢价为6元 作为其承担风险 标准差为21 2 的补偿 6 2风险厌恶 Riskaversion 风险与收益的权衡 引子 如果证券A可以无风险的获得回报率为10 而证券B以50 的概率获得20 的收益 50 的概率的收益为0 你将选择哪一种证券 对于一个风险规避的投资者 虽然证券B的期望收益为10 但它具有风险 而证券A的无风险收益为10 显然证券A优于证券B 均值方差标准 Mean variancecriterion 若投资者是风险厌恶的 则对于证券A和证券B 当且仅仅当 时成立 则该投资者认为 A占优于B 从而该投资者是风险厌恶性的 占优原则 DominancePrinciple 1 2 3 4 期望回报 方差或者标准差 2占优1 2占优于3 4占优于3 夏普比率准则 对于风险和收益各不相同的证券 可以采用夏普比率 Shaperate 来比较 它表示单位风险下获得收益 其值越大则越具有投资价值 例 假设未来两年某种证券的收益率为18 5 和 20 他们是等可能的 则其预期收益率和风险 夏普比率 作业 现有A B C三种证券投资可供选择 它们的期望收益率分别为12 5 25 10 8 标准差分别为6 31 19 52 5 05 则对这三种证券选择次序应当如何 投资者的效用函数 投资者效用投资者对各种不同投资方案的一种主观上的偏好指标 投资者效用是其财富的函数 可用效用单位来衡量 投资组合的财富与效用投资组合A投资组合B期末财富效用概率期末财富效用概率1000元00 21500元10 72000元1 40 73000元20 34000元2 20 1 A B的期末财富的期望值分别是2000元和1950元 设E UA E UB 代表两个投资组合期望效用 则 E UA 0 0 2 1 4 0 7 2 2 0 1 1 20E UB 1 0 7 2 0 3 1 30投资者追求效用最大化而非财富最大化 尽管投资组合A的期末财富期望值大于B 但B的期望效用大于A 因此 投资者选择B而不选择A 效用函数 Utilityfunction 的例子 金融界广泛运用的一个投资效用计算公式 资产组合的期望收益为E r 其收益方差为 2 其效用值为 其中 A为投资者风险规避的程度 若A越大 表示投资者越害怕风险 在同等风险的情况下 越需要更多的收益补偿 若A不变 则当方差越大 效用越低 效用数值应用举例 如果股票的期望收益率为10 标准差 为21 21 国库券的收益率 假定为无风险利率 为4 投资者A 3时 股票效用值为 10 0 005 3 21 212 3 25 比无风险报酬率稍低 投资者会放弃股票而选择国库券 如果投资者的A为2 股票效用值为 10 0 005 2 21 212 5 5 高于无风险报酬率 投资者就会愿意投资于股票 所以 投资者对风险的厌恶程度十分关键 所谓风险报酬是指市场为了促使风险厌恶者购买收益率不确定的资产 即风险资产 而向他们提供的额外的期望收益率 风险报酬又称风险补偿 风险价值等 风险资产 即收益率不确定的资产 的期望收益率由两部分组成 即 风险资产的期望收益率 无风险资产的收益率 风险报酬 风险报酬 无差异曲线的含义表示一个投资者对风险和收益的偏好的曲线 无差异曲线的性质一条给定的无差异曲线上的所有组合为投资者提供的满意程度相同 无差异曲线不能相交 位于坐标西北方向的无差异曲线上的组合比位于坐标东南方向的无差异曲线上的组合更满意 若投资者风险厌恶者 riskaverse 则无差别曲线有正的斜率并且是凸的 7 2 1无差异曲线 StandardDeviation 风险厌恶型投资者的无差异曲线 IndifferenceCurves 从风险厌恶型投资来看 收益带给他正的效用 而风险带给他负的效用 或者理解为一种负效用的商品 根据微观经济学的无差异曲线 若给一个消费者更多的负效用商品 且要保证他的效用不变 则只有增加正效用的商品 根据均方准则 若均值不变 而方差减少 或者方差不变 但均值增加 则投资者获得更高的效用 也就是偏向西北的无差异曲线 无差异曲线 效用理论 理性投资者对风险偏好程度的描述 无差异曲线 同一条无差异曲线 给投资者所提供的效用 即满足程度 是无差异的 无差异曲线向右上方倾斜 高风险被其具有的高收益所弥补 对于每一个投资者 无差异曲线位置越高 该曲线上对应证券组合给投资者提供的满意程度越高 I1 I2 I3 I1 I2 I3 I2 I1 I3 不同风险厌恶水平的无差异曲线 不同理性投资者具有不同风险厌恶程度 6 3资产组合的收益与风险 一个岛国是旅游胜地 其有两家上市公司 一家为防晒品公司 一家为雨具公司 岛国每年天气或为雨季或为旱季 概率各为0 5 两家公司在不同天气下的收益分别如下 请问你的投资策略 资产组合 Portfolio 的优点 对冲 hedging 也称为套期保值 投资于补偿形式 收益负相关 使之相互抵消风险的作用 分散化 Diversification 必要条件收益是不完全正相关 就能降低风险 组合使投资者选择余地扩大 例如有A B两种股票 每种股票的涨或跌的概率都为50 若只买其中一种 则就只有两种可能 但是若买两种就形成一个组合 这个组合中收益的情况就至少有六种 A B 组合至少还包含非组合 即只选择一种股票 这表明投资者通过组合选择余地在扩大 从而使决策更加科学 7 1概述 现代投资理论的产生以1952年3月Harry M Markowitz发表的 投资组合选择 为标志1962年 WillianSharpe对资产组合模型进行简化 提出了资本资产定价模型 Capitalassetpricingmodel CAPM 1976年 StephenRoss提出了替代CAPM的套利定价模型 Arbitragepricingtheory APT 上述的几个理论均假设市场是有效的 人们对市场能够地按照定价理论的问题也发生了兴趣 1965年 EugeneFama在其博士论文中提出了有效市场假说 Efficientmarkethypothesis EMH 7 2资产组合理论 基本假设 1 投资者仅仅以期望收益率和方差 标准差 来评价资产组合 Portfolio 2 投资者是不知足的和风险厌恶的 即投资者是理性的 3 投资者的投资为单一投资期 多期投资是单期投资的不断重复 4 投资者希望持有有效资产组合 投资组合理论的基本假设 假设证券市场是有效的 投资者能得知证券市场上多种证券收益与风险的变动及其原因 假设投资者都是风险厌恶者 风险以预期收益率的方差或标准差表示 假定投资者根据证券的收益率和标准差选择证券组合 则在风险一定的情况下 他们感预期利益率最高 或在预期收益率一定的情况下 风险最小 假定多种证券之间的收益是相关的 在得知一证券与其它各证券的相关系数 可以选择得最低风险的证券组合 现代投资理论的框架 控制资产组合风险最直接的方法是 部分资产投资于短期国库券和其他安全的货币市场证券 部分投资于有风险的资产上 这一资本配置决策是资产配置选择的一个例子 这种选择面向广泛的投资类型 而不是只在某类资产中选择特定的证券 绝大多数投资专家认为 资产配置是资产组合构架中最重要的部分 风险资产与无风险资产组合的资本配置AllocatingCapitalBetweenRisky RiskFreeAssets 资本配置线 它表示投资者的所有可行的风险收益组合 它的斜率S 等于选择的资产组合每增加一单位标准差上升的期望收益 换句话说 就是每单位额外风险的额外收益的测度 基于这一原因 该斜率也可称为报酬与波动性比率 资本配置线CAL CapitalAllocationLine 资本配置线CAL CapitalAllocationLine E r E rp 15 rf 7 p 22 0 P F S 8 22 E rp rf 8 资本配置线 高借款率资本配置线CALwithHigherBorrowingRate E r 9 7 S 36 S 27 P p 22 非政府投资者不能以无风险利率借入资金 借款者的违约风险使得贷款者要求更高的贷款利率 因此 非政府投资者的借款成本将超过贷出利率rf 7 假设借入利率rfB 9 则在借入资金的条件下 酬报与波动性比率 也就是资本配置线的B斜率将为 E rP rBf P 6 22 0 27 因此 资本配置线将在点P处被 弯曲 如上图所示 在P点左边 投资者以7 借出 CAL的斜率为0 36 在P点右边 这里y 1 投资者以9 借入额外资金 投资于风险资产 斜率为0 27 高借款率资本配置线CALwithHigherBorrowingRate 风险厌恶水平越高会导致选择较少风险的资产风险厌恶水平越低会导致选择较高风险的资产接受高风险高收益的意愿将导致杠杆面对资本配置线的投资者现在必须从可行的选择集合中选出一个最优组合 这个选择需要风险与收益之间的一种替代关系 个人投资者风险厌恶的不同意味着在给定一个相等的机会集合 无风险收益率和酬报与波动性比率 下 不同投资者将选择不同的风险资产头寸 特别地讲 投资者越厌恶风险 越将选择较少风险的资产 并持有较多无风险的资产 风险厌恶和配置RiskAversionandAllocation 风险厌恶和配置RiskAversionandAllocation 一个投资者面对无风险利率为和期望收益为 标准差为 P的风险资产组合 他将发现 对于y的任何选择 整个资产组合期望收益 全部资产组合的方差为 c y2 P2 风险厌恶和配置RiskAversionandAllocation 回忆效用函数U E r 0 005As2投资者试图通过选择风险资产的最优配置y来使他的效用最大化 我们将问题一般写成下列形式 教材P117 风险厌恶和配置RiskAversionandAllocation 学过微积分的学生将记得 最大化问题的解决是利用了一阶导数为零 对U求一阶导 令其为零 解出厌恶风险投资者的最优风险资产头寸y 具体的公式如下 y E rP rf 0 01A 2p举例见教材 风险偏好的资本市场线CALwithRiskPreferences E r 7 P 贷款者Lender 借款者Borrower p 22 贷款者与借款者相比有更大的 风险厌恶系数 ThelenderhasalargerAwhencomparedtotheborrower 最优风险资产组合 从分散化如何降低资产组合投资回报的风险开始 在建立这一基点之后 我们将从资产配置和证券选择的两方面考察有效分散化策略 我们将首先考察一个不包含无风险资产的资产配置 我们将运用两个有风险的共同基金 一个是长期债券基金 一个是股票基金 然后我们将加上一个无风险资产来决定一个最优资产组合 分散化与风险RiskReductionwithDiversification 股票数量NumberofSecurities 标准方差St Deviation 市场风险 系统风险 MarketRisk 独特风险 非系统风险 UniqueRisk 我们将考察一个包括两个共同基金的资产组合 一个是专门投资于长期债券的债券资产组合D 一个是专门投资于股权证券的股票基金E 表8 1列出了影响这些基金收益率的参数 这些参数可以从真实的基金中估计得出 两种股票组合 收益Two SecurityPortfolio Return 组合收益率rp WDrD WErEWD 投资与债券中的部分基金rD 投资债券的收益W ProportionoffundsinSecurity 股票 r ExpectedreturnonSecurity 股票 两种股票组合 收益Two SecurityPortfolio Return 资产组合的期望收益是资产组合中各种证券的期望收益的加权平均值E rp WDE rD WEE rE 两种股票组合 收益 sp2 w 2s 2 w 2sE2 2wDwECov rD rE 两种股票组合 风险Two SecurityPortfolio Risk 协方差 Covariance 是用来衡量两种资产的收益率同动程度的指标 如果两种资产的收益率趋向于同增或同减 那么它们间的协方差便为正值 反之便为负值 协方差不能直接用来比较两变量间相关性的强弱 但是 相关系数则可以解决上述因难 相关系数记为 协方差除以 A B 实际上是对A B两种证券各自平均数的离差 分别用各自的标准差进行标准化 其计算公式为 协方差与相关系数 协方差Covariance DE 收益的相关系数 Cov r rE DEsDsECov r rD D2 sD 证券D收益的标准方差sE 证券E收益的标准方差 sp2 w 2s 2 w 2sE2 2wDwE DE D E 衡量组合风险大小就不再是组合中单个证券的方差 而是证券的方差的函数 而且还是单个资产与组合中其他资产同动程度的函数 同动程度和相关性是有区别的 虽然均可用相关系数 来衡量 当相关系数 的绝对值 越接近1时 那么 两资产的相关性就越强 当 越接近0时 两资产相互独立 而对同动程度而言 当 越接近 1两资产的同动程度则越强 当 越接近 1时 两资产的同动程度则越弱 同动程度与相关性 不同相关系数 相关系数 取值范围 如果r 1 0 证券组合将是正相关如果r 1 0 证券组合将是负相关 rD E取值范围 1 0 r 1 0 相关系数 取值范围CorrelationCoefficients PossibleValues 如果r 1 0Ifr 1 0 sp2 w 2s 2 w 2sE2 2wDwE D E sp w s w sE sp2 w s w sE 2 相关系数 取值范围CorrelationCoefficients PossibleValues 如果r 1 0 sp2 w 2s 2 w 2sE2 2wDwE D E sp w s w sE sp2 w s w sE 2 w s w sE 0w E D E wE D D E 1 WD 不同相关系数下的风险 s2p W12s12 W22s22 2W1W2 rp W1r1 W2r2 W3r3 Cov r1r2 W32s32 Cov r1r3 2W1W3 Cov r2r3 2W2W3 三种证券组合Three SecurityPortfolio 证券组合预期收益率等于组合内各资产期望收益率的加权平均 公式如下 每一证券对组合的预期回报率的贡献依赖于它的预期收益率 以及它在组合初始价值中所占份额 而与其他一切无关 组合的收益率 组合的风险一般用标准差或方差表示 公式如下 由两种证券构成的证券组合的方差 由n个证券组成的证券组合的方差为 投资组合的标准差依赖与各基本证券的标准差 投资比例以及同其他基本证券间的协方差 组合的风险 当证券的种类越来越多时 证券组合回报率的方差的大小越来越依赖于证券之间的协方差而不是证券的方差 E rp W1r1 W2r2 两种股票组合Two SecurityPortfolio sp2 w12s12 w22s22 2W1W2Cov r1r2 sp w12s12 w22s22 2W1W2Cov r1r2 1 2 r 0 不同相关系数的两种股票组合 组合风险 收益两种股票组合 相关有效性 相关性取决于相关系数 1 0 r 1 0相关性愈小 降低风险的可能性就大如果r 1 0 降低风险是不可能的 1 1 2 Cov r1r2 W1 2Cov r1r2 2 W2 1 W1 最小方差组合 s2 s2 s2 W1 0 2 2 0 2 0 15 0 2 0 15 2 0 2 2 2 0 2 0 15 0 2 W1 0 6733 W2 1 0 6733 0 3267 最小方差组合r 0 2 rp 0 6733 0 10 0 3267 0 14 0 1131 p 0 6733 2 0 15 2 0 3267 2 0 2 2 2 0 6733 0 3267 0 2 0 15 0 2 1 2 p 0 0171 1 2 0 1308 最小方差 在r 0 2时的收益和风险 s s 如果仅持有一种资产 那么单个资产自身的方差便是风险的衡量指标 且方差越大 风险越大 投资者所要求的风险报酬也就越高 如果持有多种资产 即持有证券组合时 组合的风险不仅是各单个资产方差的函数 同时还是各资产间同动程度的函数 如果证券组合中两资产同动程度越弱 那么组合的风险也就越小 证券组合的方差越大 其风险也就越大 投资者对组合的要求的风险报酬也就越高 风险小结 7 2 3组合的可行集和有效集 可行集与有效集可行集 资产组合的机会集合 Portfolioopportunityset 即资产可构造出的所有组合的期望收益和方差 有效组合 Efficientportfolio 给定风险水平下的具有最高收益的组合或者给定收益水平下具有最小风险的组合 每一个组合代表一个点 有效集 Efficientset 又称为有效边界 Efficientfrontier 它是有效组合的集合 点的连线 可行集 FeasibleSet 是指N种证券所组成的所有组合的集合 所有可能的组合位于可行集的内部或边界上 如图 可行集的形状呈伞形的曲面 有效集 EfficientSet 对理性投资者 满足 1 同样风险水平 选择收益最高组合 2 同样收益水平 选择风险最低组合 同时满足这两个条件的组合的集合就是有效集 或称有效边界 如图 可行集与有效集 N个证券的组合的可行集 最小方差曲线就是有效边界 它只有右上方的那一段才有实际意义 理性的投资者都会选择有效边界上的点进行投资组合 两种风险资产构成的组合的风险与收益 若已知两种资产的期望收益 方差和它们之间的相关系数 则由上一章的结论可知两种资产构成的组合之期望收益和方差为 由此就构成了资产在给定条件下的可行集 注意到两种资产的相关系数为1 12 1因此 分别在 12 1和 12 1时 可以得到资产组合的可行集的顶部边界和底部边界 其他所有的可能情况 在这两个边界之中 组合的风险 收益二维表示 7 2 4两种完全正相关资产的可行集 两种资产完全正相关 即 12 1 则有 命题7 1 完全正相关的两种资产构成的可行集是一条直线 证明 由资产组合的计算公式可得 两种资产组合 完全正相关 当权重w1从1减少到0时可以得到一条直线 该直线就构成了两种资产完全正相关的可行集 假定不允许买空卖空 7 2 5两种完全负相关资产的可行集 两种资产完全负相关 即 12 1 则有 命题7 2 完全负相关的两种资产构成的可行集是两条直线 其截距相同 斜率异号 证明 两种证券完全负相关的图示 收益rp 风险 p 7 2 6两种不完全相关的风险资产的组合的可行集 总结 在各种相关系数下 两种风险资产构成的可行集 3种风险资产的组合二维表示 一般地 当资产数量增加时 要保证资产之间两两完全正 负 相关是不可能的 因此 一般假设两种资产之间是不完全相关 一般形态 类似于3种资产构成组合的算法 我们可以得到一个月牙型的区域为n种资产构成的组合的可行集 n种风险资产的组合二维表示 总结 可行集的两个性质 在n种资产中 如果至少存在三项资产彼此不完全相关 则可行集合将是一个二维的实体区域可行区域是向左侧凸出的因为任意两项资产构成的投资组合都位于两项资产连线的左侧 为什么 收益rp 风险 p 不可能的可行集 A B 7 2 7风险资产组合的有效集 在可行集中 有一部分投资组合从风险水平和收益水平这两个角度来评价 会明显地优于另外一些投资组合 其特点是在同种风险水平的情况下 提供最大预期收益率 在同种收益水平的情况下 提供最小风险 我们把满足这两个条件 均方准则 的资产组合 称之为有效资产组合 由所有有效资产组合构成的集合 称之为有效集或有效边界 投资者的最优资产组合将从有效集中产生 而对所有不在有效集内的其它投资组合则无须考虑 整个可行集中 G点为最左边的点 具有最小标准差 从G点沿可行