2017-2018学年度圆锥曲线测试题

试卷第 1 页 总 4 页 外 装 订 线 学校 姓名 班级 考号 内 装 订 线 绝密绝密 启用前启用前 2017 2018 学年度圆锥曲线测试题学年度圆锥曲线测试题 理科理科 考试范围 xxx 考试时间 100 分钟 命题人 xxx 注意事项 1 答题前填写好自己的姓名 班级 考号等信息 2 请将答案正确填写在答题卡上 第第 I I 卷 选择题 卷 选择题 请点击修改第 I 卷的文字说明 一 单选题一 单选题 1 已知抛物线的焦点 直线 与交于两点 且 2 4C yx FlCAB 2BFFA 则直线 的斜率可能为 l A B C 1 D 2 22 2 4 2 已知椭圆的左右焦点分别为 过右焦点作轴的垂线 交 22 22 1 xy E ab 12 F F 2 Fx 椭圆于两点 若等边的周长为 则椭圆的方程为 A B 1 ABF 4 3 A B C D 22 1 32 xy 22 1 36 xy 22 1 23 xy 22 1 94 xy 3 设双曲线的离心率为 且一个焦点与抛物线的焦点 22 1 xy mn 2 3 3 2 8xy 相同 则此双曲线的方程是 A B C D 2 2 1 3 y x 22 1 412 xy 2 2 1 3 x y 22 1 124 xy 4 若中心在原点 焦点在轴上的双曲线离心率为 则此双曲线的渐近线y3 方程为 A B C D yx 2 2 yx 2yx 1 2 yx 5 设点分别是双曲线的左 右焦点 过点且与轴垂 12 F F 22 2 10 2 xy Ca a 1 Fx 直的直线 l 与双曲线 C 交于 A B 两点 若的面积为 则该双曲线的渐近 2 ABF 2 6 线方程为 试卷第 2 页 总 4 页 外 装 订 线 请 不 要 在 装 订 线 内 答 题 内 装 订 线 A B C D 3yx 3 3 yx 2yx 2 2 yx 6 若点到点的距离比它到直线的距离小于 1 则点的轨迹方程P 4 0F50 x P 是 A B C D 2 16yx 2 32yx 2 16yx 2 32yx 7 一个椭圆中心在原点 焦点在轴上 是椭圆上一点 且 12 F Fx 2 3P 成等差数列 则椭圆方程为 1122 PFFFPF A B C D 22 1 86 xy 22 1 166 xy 22 1 84 xy 22 1 164 xy 8 设是椭圆的两个焦点 是椭圆上的一点 且到两焦点的距 12 F F 22 1 1612 xy PP 离之差为 2 则是 12 PFF A 直角三角形 B 锐角三角形 C 斜三角形 D 钝角三角形 9 双曲线的焦点到其渐近线的距离为 22 1xy A B C D 122 2 2 10 如果椭圆的弦被点平分 则这条弦所在的直线方程是 22 1 42 xy 1 1 A B C D 230 xy 230 xy 230 xy 230 xy 试卷第 3 页 总 4 页 外 装 订 线 学校 姓名 班级 考号 内 装 订 线 第第 IIII 卷 非选择题 卷 非选择题 请点击修改第 II 卷的文字说明 二 填空题二 填空题 11 过点的直线与椭圆交于两点 且点平分弦 1 1M 22 1 43 xy A BMAB 则直线的方程为 AB 12 已知圆及点 为圆周上一点 的垂直平分 2 2 34Cxy 3 0AQAQ 线交直线于点 则动点的轨迹方程为 CQMM 13 若椭圆两焦点为 点在椭圆上 且的面积的最 1 4 0F 2 4 0FP 12 PFF 大值为 12 则此椭圆的方程是 三 解答题三 解答题 14 已知抛物线的标准方程是 2 6yx 1 求它的焦点坐标和准线方程 2 直线 过已知抛物线的焦点且倾斜角为 45 且与抛物线的交点为 求lAB 的长度 AB 15 已知椭圆的一个焦点为 离心率为 点 22 22 1 0 xy Cab ab 5 0 5 3 为圆上任意一点 为坐标原点 P 22 13Mxy O 求椭圆的标准方程 C 设直线 经过点且与椭圆相切 与圆相交于另一点 点关于原lPClMAA 点的对称点为 证明 直线与椭圆相切 OBPBC 16 设为抛物线的焦点 是抛物线上的两个动点 F 2 2Cyx A BC 若直线经过焦点 且斜率为 2 求 ABFAB 若直线 求点到直线 的距离的最小值 40lxy Al 17 本小题满分 14 分 已知椭圆过点 且离心率为 22 22 1 0 xy Cab ab 2 0A 3 2 求椭圆的方程 C 设直线与椭圆交于两点 若直线上存在点 使得3ykx C M N3x P 四边形是平行四边形 求的值 PAMNk 18 已知椭圆的左右焦点分别为 若椭圆上一点 22 22 10 xy Cab ab 12 F F 试卷第 4 页 总 4 页 外 装 订 线 请 不 要 在 装 订 线 内 答 题 内 装 订 线 满足 且椭圆过点 过点的直线 与椭圆P 12 4PFPF C 3 1 2 4 0Rl 交于两点 C E F 1 求椭圆的方程 C 2 若点是点在轴上的垂足 延长交椭圆于 求证 三 E Ex EE CN 2 N F F 点共线 19 如图 是椭圆长轴的两个端点 是椭圆上都不与 A B 2 2 1 4 x Cy P QC 重合的两点 记直线的斜率分别是 A B BQ AQ AP BQAQAP kkk 1 求证 1 4 BQAQ kk 2 若 求证 直线恒过定点 并求出定点坐标 4 APBQ kk PQ 20 设分别是双曲线的左 右焦点 若点 在双曲线上 且 F1 F2 x2 y2 9 1 P PF1 PF 2 0 求的值 PF1 PF2 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 1 页 总 12 页 参考答案参考答案 1 A 解析 设 A B 两点坐标分别为 1122 A x y B xy 2BFFA 2211 2 1 1 xyxy 1212 12 1 2xxyy 由题意 设直线 AB 的方程为 代入抛物线方程得 1yk x 2 440kyyk 因为直线与抛物线有两个交点 所以 0k 2 16 160k 把代入即可解得 故选 A 1212 4 4yyy y k 12 2yy 2 2k 2 A 解析 由题意可得等边的边长为 则 1 ABF 4 3 3 4 3 3 AB 由椭圆的定义可得 即 12 4 32 3 22 3 33 aAFAF 3a 由 即有 则 12 34 3 22 23 FFc 1c 22 2bac 则椭圆的方程为 故选 A 22 1 32 xy 3 A 解析 由已知得抛物线的焦点为 所以 所以 双 0 20 0nm 2 2 3 c c a 曲线的方程是 故选 A 2 2 1 3 y x 4 B 解析 因为离心率 所以 又焦点在轴上 所以渐近线方程为3 c e a 2 2 2 b a y 故选 B 2 2 yx 5 D 解析 设 则 10 0 FcAc y 22 0 2 1 2 yc a 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 2 页 总 12 页 22222 0 2222 2 1 2 yccab aaaa 2 0 2 4 y a 0 4 2ABy a 又 2 2 6 ABF S 1144 222 6 22 c cABc aa 6 2 c a 2 2 2 1 2 bc aa 该双曲线的渐近线方程为 选 D 2 2 yx 点睛 双曲线的渐进线是双曲线的重要性质之一 也是高考的常考点 题型一般以选择题或填空 题为主 求双曲线的渐近线方程时 可利用转化为关于的方程或不等式 222 cab a b 其中常用到双曲线渐近线的斜率与离心率的关系 即 22 bca k aa 2 2 2 11 c e a 6 C 解析 因为点到点的距离比它到直线的距离少 1 P 4 050 x 所以将直线右移 1 个单位 得到直线 即 50 x 40 x 4x 可得点到直线的距离等于它到点的距离 P4x 4 0 根据抛物线的定义 可得点的估计是以点为焦点 以直线为准线的抛物P 4 04x 线 设抛物线方程为 可得 得 2 2ypx 4 2 p 216p 所以抛物线的方程为 即为点的轨迹方程 故选 C 2 16yx P 7 A 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 3 页 总 12 页 解析 因为成等差数列 是椭圆上的一点 1122 PFFFPFP 所以 所以 1212 22FFPFPFa 2ac 设椭圆的方程为 则 22 22 1 0 xy ab ab 222 22 2 43 1 ac abc ab 解得 故椭圆的方程为 故选 A 2 2 2 2 6acb 22 1 86 xy 点睛 本题考查了椭圆的标准方程的求解及其几何性质的应用 对于求椭圆的标准方程的 基本方法是待定系数法 具体过程是先定形 再定量 即先确定双曲线标准方程的形式 然 后再根据的关系 求出的值 同时解答中注意椭圆定义的应用 其中利用待定 a b c a b 系数求解圆锥曲线的方程是常见的一种求解轨迹方程的重要方法 8 A 解析 由椭圆的方程 可得 所以 22 16 12ab 222 16 124cab 则 12 2 0 2 0FF 由椭圆的定义得 又到两焦点的距离之差为 12 28PFPFa P2 不妨设 则 解得 12 PFPF 12 2PFPF 12 5 3PFPF 又 所以 12 24FFc 222 1221 FFPFPF 所以是直角三角形 故选 A 12 PFF 点睛 本题主要考查了椭圆定义及标准方程的应用 三角形形状的判断问题 解答的关键 在于运用椭圆的定义列出方程组 得到三角形三边的长度 即可确定三角形的形状 9 A 解析 根据双曲线的方程得到焦点为 渐近线为 根据点到直线的距 2 0yx 离得到焦点到渐近线的距离为 2 1 2 d 故答案为 A 10 A 解析 设过点的直线与椭圆相交于两点 1 1A 1122 E x yF xy 由中点坐标公式可得 1212 1 1 22 xxyy 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 4 页 总 12 页 则 两式相减得 22 11 22 22 1 42 1 42 xy xy 12121212 0 44 xxxxyyyy 所以 所以直线的斜率 12 12 1 2 yy xx EF 12 12 1 2 yy k xx 所以直线的方程为 整理得 故选 A EF 1 11 2 yx 230 xy 11 3470 xy 解析 设 根据中点坐标公式 且 11 A x y 22 B xy 12 2xx 12 2yy 两式相减 化简可得 所以 22 11 1 43 xy 22 22 1 43 xy 1212 1212 3 4 yyyy xxxx 即直线的斜率为 根据点斜式 得到直线的方程为 12 12 3 4 yy xx 3 4 AB 3470 xy 点睛 过点的直线与椭圆交于两点 且点平分弦 求 00 M xy 22 22 1 xy ab A BMAB 直线方程 常用的方法是点差法 分别设出交点的坐标 带入椭 11 A x y 22 B xy 圆方程得到一个方程组 作差得到直线斜率和中点的关系 22 11 22 22 22 22 1 1 xy ab xy ab 即 进而求出直线方程 2 021 2 210 b xyy xxa y 2 0 2 0 AB b x k a y 12 2 2 1 8 y x 解析 由的垂直平分线交直线于点 得 圆的半径为 AQCQMMAMQ 2 所以 故点的轨迹是以为焦点的双曲线 26MCMAAC M C A 所以由题意的 所以 22 26ac 222 1 38acbca 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 5 页 总 12 页 焦点在轴上 故所求方程为 x 2 2 1 8 y x 点睛 本题考查了定义法求解双曲线的标准方程 要注意挖掘所给条件的几何性质进行分 析 对于轨迹方程的求解 直线过定点问题 常用方法有 1 直接法 直接利用条件建立 之间的关系 2 待定系数法 已知所求曲线的类型 求曲线方程 3 定 x y 0F x y 义法 先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线 再由曲线的定义直接写出动点的轨迹 方程 4 代入 相关点 法 动点依赖于另一动点的变化而运动 常利用 P x y 00 Q xy 代入法求动点的轨迹方程 P x y 13 22 1 259 xy 解析 设点的坐标为 则 P x y 1 2 12 1 4 2 PF F SFFyy 显然取最大时 三角形面积最大 因为点在椭圆上 所以在轴上 此时最大 yPPyy 所以点的坐标为 所以 因为 所以 P 0 3 3b 222 abc 5a 所以椭圆的方程为 22 1 259 xy 14 1 焦点为 准线方程 2 12 3 0 2 F 3 2 x 解析 试题分析 1 抛物线的标准方程为 焦点在轴上 开口向右 即可求出抛物 2 6yx x26p 线的焦点坐标和准线方程 2 现根据题意给出直线 的方程 代入抛物线 求出两交点的横坐标的和 然后利用焦l 半径公式求解即可 试题解析 1 抛物线的标准方程是 y2 6x 焦点在 x 轴上 开口向右 2p 6 焦点为 F 0 准线方程 x 2 直线 L 过已知抛物线的焦点且倾斜角为 45 直线 L 的方程为 y x 代入抛物线 y2 6x 化简得 x2 9x 0 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 6 页 总 12 页 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 9 所以 AB x1 x2 p 9 3 12 故所求的弦长为 12 点睛 本题考查了直线与怕西安的位置关系中的弦长公式的应用 本题的解答中根据直线 过抛物线的焦点 根据抛物线的定义 抛物线的定义是解决抛物线问题的基础 它能将两 种距离 抛物线上的点到焦点的距离 抛物线上的点到准线的距离 进行等量转化 同时如果 问题中涉及抛物线的焦点和准线 又能与距离联系起来 那么用抛物线定义就能解决问 题 因此 涉及抛物线的焦半径 焦点弦问题 可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点 到准线的距离 这样就可以使问题简单化 15 见解析 22 1 94 xy 解析 试题分析 1 根据椭圆的几何性质得到 进而求得方程 5c 5 3 c a 2 由点 P 的坐标写出直线 PA 由相切关系得到 同理 由直线与椭圆也得到 222 10000 1449240 xkx y ky PBC 再由 可化简得到 22 20000 2 11 144924xx yy kk 22 00 13yx 2 0 解析 解 由题意 知 5c 5 3 c a 所以 3a 22 2bac 所以椭圆的标准方程为 C 22 1 94 xy 证明 由题意 点在圆上 且线段为圆的直径 BMABM 所以 PAPB 当直线轴时 易得直线的方程为 PAx PA3x 由题意 得直线的方程为 PB2y 显然直线与椭圆相切 PBC 同理当直线轴时 直线也与椭圆相切 PAxPBC 当直线与轴既不平行也不垂直时 PAx 设点 直线的斜率为 则 直线的斜率 00 P xyPAk0k PB 1 k 所以直线 直线 PA 00 yyk xx PB 00 1 yyxx k 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 7 页 总 12 页 由 消去 00 22 1 94 yyk xx xy y 得 2 22 0000 94189360kxykxkxykx 因为直线与椭圆相切 PAC 所以 2 2 2 10000 184 949360ykxkkykx 整理 得 1 222 10000 1449240 xkx y ky 同理 由直线与椭圆的方程联立 PBC 得 2 22 20000 2 11 144924xx yy kk 因为点为圆上任意一点 P 22 13Mxy 所以 即 22 00 13xy 22 00 13yx 代入 1 式 得 222 0000 9290 xkx y kx 代入 2 式 得 222 20000 2 144 924xx y kyk k 222 0000 2 144 929xx y kxk k 222 0000 2 144 929xkx y kx k 0 所以此时直线与椭圆相切 PBC 综上 直线与椭圆相切 PBC 点睛 这个题目考查的是直线和圆锥曲线和圆的位置关系 一般直线和圆的题很多情况下 是利用数形结合来解决的 联立的时候较少 还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距 离时 一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离 再加减半径 分别得到最大值和 最小值 16 5 2 AB 7 2 4 解析 试题分析 1 联立直线和曲线得到二次方程 由弦长公式得到 AB 长度 2 用点线距离公式得到 是抛物线上的动点 得 二 00 4 2 xy d AC 2 00 2yx 元化一元 求值域即可 解析 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 8 页 总 12 页 由题意 得 则直线的方程为 1 0 2 F AB 1 2 2 yx 由 消去 得 2 1 2 2 2 yx yx y 2 4610 xx 设点 11 A x y 22 B xy 则 且 0 12 3 2 xx 12 1 4 x x 所以 2 121212 5 554 2 ABxxxxx x 设 00 A xy 则点到直线 距离 Al 00 4 2 xy d 由是抛物线上的动点 得 AC 2 00 2yx 所以 2 2 000 2 12 417 224 dyyy 所以当时 0 1y min 7 2 4 d 即点到直线 的距离的最小值 Al 7 2 4 点睛 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系 所使用方法为韦达定理法 因直线的方程 是一次的 圆锥曲线的方程是二次的 故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题 最终转化为一元二次方程问题 故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之 一 尤其是弦中点问题 弦长问题 可用韦达定理直接解决 但应注意不要忽视判别式的 作用 17 1 2 或 2 2 1 4 x y 3 2 k 11 2 k 解析 试题分析 由椭圆过点 可得 再由离心率 22 22 1 xy C ab 2 0A2a 为结合 可求得 从而可得椭圆的方程 设直线的方 3 2 222 abc 1b CPA 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 9 页 总 12 页 程为 则 由 得 2yk x 3 Pk 2 1PAk 22 3 44 ykx xy 由韦达定理 弦长公式结合 可得 22 418 380kxkx PAMN 解方程即可求得的值 42 1656330kk 试题解析 由题意得 所以 2a 3 2 c e a 3c 因为 222 abc 所以 1b 所以 椭圆的方程为 C 2 2 1 4 x y 若四边形是平行四边形 PAMN 则 且 PA MNPAMN 所以 直线的方程为 PA 2yk x 所以 3 Pk 2 1PAk 设 11 M x y 22 N xy 由 得 22 3 44 ykx xy 22 418 380kxkx 由 得 0 2 1 2 k 且 12 2 8 3 41 k xx k 12 2 8 41 x x k 所以 2 2 1212 14MNkxxx x 2 2 2 2 6432 1 41 k k k 因为 所以 PAMN 2 22 2 2 6432 11 41 k kk k 整理得 42 1656330kk 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 10 页 总 12 页 解得 或 3 2 k 11 2 k 经检验均符合 但时不满足是平行四边形 舍去 0 3 2 k PAMN 所以 或 3 2 k 11 2 k 18 1 2 见解析 22 1 43 xy C 解析 试题分析 1 由椭圆定义可得 再通过点在椭圆上求得 12 24PFPFa 进而得椭圆方程 2 3b 2 由题知直线 的斜率必存在 设 的方程为 点ll 4yk x 直线与椭圆联立得 112211 E x yF xyN xy 由题可得直线方程为 2222 343264120kxk xk FN 21 11 21 yy yyxx xx 由化简直线方程为 1122 4 4yk xyk x FN 令 可得直线过点 进而 21 11 21 44 4 k xk x yk xxx xx 0y FN 1 0 得证 试题解析 1 依题意 故 将代入中 12 24PFPFa 2a 3 1 2 22 2 1 4 xy b 解得 故椭圆 2 3b 22 1 43 xy C 2 由题知直线 的斜率必存在 设 的方程为 ll 4yk x 点 联立得 112211 E x yF xyN xy 22 4 3412 yk x xy 2 22 34412xkx 即 22 2222 1212 22 326412 343264120 0 3434 kk kxk xkxxx x kk 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 11 页 总 12 页 由题可得直线方程为 FN 21 11 21 yy yyxx xx 又 1122 4 4yk xyk x 直线方程为 FN 21 11 21 44 4 k xk x yk xxx xx 令 整理得0y 2 1212 12211 1 1212 2444 88 x xxxx xxxx xx xxxx 即直线过点 22 222 222 22 64123224 24 343434 1 32322432 8 3434 kk kkk kkk kk FN 1 0 又 椭圆的右焦点坐标为 三点在同一条直线上 C 2 1 0F 2 N F F 19 1 见解析 2 直线 PQ 恒过定点 6 5 xty 6 0 5 解析 试题分析 1 用坐标表示 利用点在椭圆上易得结果 2 由 BQ