线段的垂直平分线的性质和判定定理

线段的垂直平分线 教材分析 教材分析 线段的垂直平分线的概念前面已学过 本课是进一步理解线段 垂直平分线的性质 学会线段的垂直平分线的做法 会做轴对称图 形的对称轴 线段的垂直平分线的性质 在计算 证明 作图中有着广泛的 应用 可以简化证明 方便计算 在本课的学习中 应注重联系线段的垂直平分线性质 提高综合 运用知识的能力 学情分析 学情分析 由于本课的难点是线段的垂直平分线定理和逆定理的联系 因 此 需注重对定理和逆定理的题设与结论的分析 使同学们能正确 理解这两个定理的关系 能根据命题的条件准确地选择定理 选择 方法 从而提高解决问题的能力 学习目标 学习目标 1 证明线段垂直平分线的性质定理 探索并证明线段的垂直平分线 的判定定理 2 能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题 学习重点 学习重点 线段的垂直平分线性质与逆定理及其的应用 学习难点 学习难点 线段的垂直平分线的逆定理的理解和证明 教学方法 教学方法 观察实践法 讲练结合法 自主探究法 合作探究法 教学手段 教学手段 多媒体课件 教学过程 教学过程 1 情景引入 请每位同学仔细观察老师的操作活动 纸上有一条线段 AB 现在进行对折 使得点 A 与点 B 重合 在折痕上任取点 C 并连接 CA CB 大家观察 CA 与 CB 的数量 关系 在折痕上任取一点 连接 大家观察的数量关系 C BCAC BCAC 又如何 设计意图 设计意图 通过让学生观察教师的折纸过程 归纳得到线段垂直平 分线上的点到线段两端点的距离相等 激发学生的学习兴趣 吸引 学生的有意注意 2 2 新课讲解新课讲解 一 初步探究 通过刚才的折纸活动我们得到 命题 命题 线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 1 如何判断其为真命题呢 2 这个命题的条件和结论分别是什么 设计意图 设计意图 问题 1 的设计让学生明确证明的必要性 实验 观察 归纳得到的结论可能正确 也可能不正确 因此 要判断一个数学 结论是否正确 仅仅依靠实验 观察 归纳是不够的 必须进行有 理有据的证明 问题 2 的提出为了下一步的证明做准备 让学生会 找文字命题的条件和结论 二 自主探究 1 请根据条件和结论画出图形 写出已知和求证 PBPA MNPBCAC CABMN 求求证证 上上任任意意一一点点是是且且 垂垂足足为为已已知知 直直线线 设计意图 设计意图 帮助学生熟悉文字证明题的步骤 画出几何图形 写出已知和求证 写出证明过程 主要培养学生的符号意识 分析 文字命题并用几何语言进行表述已知条件和求证 充分发挥了学生 的主体性 增强了分析问题和解决问题的能力 学生自主思考并完成证明过程 待 A 学生依据图 1 1 讲解完 证明思路给予鼓励 进一步提示学生 对已知条件的解读是否完整 从而激发学生的思考 对 C 与 P 重合的情况 1 2 进行证明 更加 深了学生对几何证明题已知条件解读的重要性 而且在无形中强化 了该命题中 P 为 MN 上任意一点 CAB M N P 1 1 C P A B M N 1 2 经过严密的数学推理 我们证明了其为真命题 那么我们可以 称其为 定理 定理 线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 教师 既然证明了这个定理 在几何问题中又该如何使用呢 学生 P 在线段 AB 的垂直平分线上 PA PB 线段垂直平分线上的点到 这条线段两个端点的距离相等 设计意图 设计意图 学生经过严密的数学推理得到了这个定理 顺理成章的 想到在什么样的情况下使用呢 此问题的回答可以达到提高学生对 定理的几何运用能力 三三 勇攀高峰勇攀高峰 你能写出上面这个定理的逆命题吗 它是真命题吗 如果是 请 加以证明 设计意图 设计意图 初中生的好奇心强烈 既然我们得到了线段垂直平分线 的性质定理 那么它的逆命题会是真命题吗 能否证明得到判定定 理呢 这一问题的设置看似突兀却又在情理之中 使得学生的学尽 在教师的掌握之中 学生 如果有一个点到线段两个端点的距离相等 那么这个 点在这条线段的垂直平分线上 CAB M N P 接下来教师引导学生类比刚才命题的证明 先根据条件画出图 形 并写出已知和求证 设计意图 设计意图 由于刚才的铺垫 学生在此处可谓游刃有余 既强化了 文字证明题的三个步骤 又使得学生能运用到其他的文字证明题 4 合作探究 已知 如图 线段 AB PA PB 求证 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 学生小组合作完成 力求多种证明方法 小组讨论完毕 书写 到展示卡上 学生举手上台把学习成果展示到黑板上并进行分析讲 解 教师请不同证法的三个小组代表上台讲解 待讲解完毕进行集 体打分 并关注其余小组的证明情况 便于对学情的及时了解和反 馈 经过同学们自己的努力 我们证明了这个命题 那么现在我们 可以称其为 定理 定理 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 那么如何用呢 进一步使学生明确证明定理就是为了运用 5 例题讲解 已知 如图 在 ABC 中 AB AC O 是 ABC 内一点 且 OB OC 求证 直线 AO 垂直平分线段 BC A B P B C A O 这一环节由学生自主完成证明过程 并反馈证明思路和每一步的理 由 达到学生教会学生的目的 教师可以静静的做一个学生 6 拓展应用 1 如图 是一个三角形测平架 已知 AB AC 在 BC 的中点 D 挂一个重锤 自 然下垂 调整架身 使点 A 恰好在重锤线上 AD 和 BC 的关系为 2 2 如图 ABC 中 AB AC AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D 若 AB 5 BC 4 则 DBC 的周长为 设计意图 设计意图 本环节的设置为了使学生能较好的运用线段垂直平分线 的性质定理和判定定理 完成本节课的第二个学习目标 7 课堂小结 这节课 感受最深的是 学会了什么 1 证明了线段垂直平分线的性质定理和判定定理 并能运用这两个 定理 2 判断一个数学结论是否正确 必须进行有根有据的证明 3 文字证明题的三个步骤 画出几何图形 写出已知和求证 写出证明过程 此环节由学生自主完成 有难度的教师进行提示 八 当堂检测 1 如图 已知 AB 是线段 CD 的垂直平分线 E 是 AB 上的一点 如 果 EC 7cm 那么 ED cm 2 如图 直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线 P 为直线 CD 上的一 点 已知 PAB 的周长为 14 PA 4 则线段 AB 的长度为 3 如图 M N 是线段 AB 的垂直平分线 CD 上的两点 那么 MAN MBN 4 如图 在 ABC 中 AC 的垂直平分线 DE 交 AB 于 E A 30 ACB 70 则 BCE C A D BE 5 如图 D 为 BC 边上一点 且 BC BD AD 则 AD DC 点 D 在 的垂直平分线上 9 作业布置 习题 1 7 1 3 4 题 10 板书设计 教学反思 教学反思 本节课的设计流畅 从本班学生的学情出发 由简单的 折纸引入 使学生直观感知定理 并体会证明的必要性 教学环节 设计恰当 环环相扣 学生通过自主探究和合作探究证明了线段垂 PPT 线段的垂直平分线 1 定理 线段垂直平分线 上的点到线段两端点的 距离相等 已知 AC BC PC AB P 为 MN 上任意一点 求证 PA PB 几何语言 定理 到线段两端点距离相 等的点在这条线段的垂直平 分线上 已知 PA PB 求证 点 P 在 AB 的垂直平 分线上 几何语言 CAB M N P A B P 学生 成果 展示 直平分线的性质定理和判定定理 教师通过学习过程的设置和板书 让学生对文字证明题的三个步骤的使用做到游刃有余 充分体现了 新课改理念下教师的引导性和学生的主体性 整个教学过程 体现以学生发展为本的精神 本节课我设计的 教学模式以学生主体性学习为主 提出