华东理工大学高等数学(下册)第9章作业答案

1 第第 9 章 之章 之 1 总第 总第 44 次 次 教学内容教学内容 9 1 微分方程基本概念 1 微分方程的阶数是 73 59 2xyyyy A 3 B 4 C 6 D 7 答案答案 A 解解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数 2 下列函数中的 及都是任意常数 这些函数中是微分方程的C k04 yy 通解的函数是 A B xCxCy2sin 2912 2cos3 2sin1 2cosxxCy C D xCkxkCy2sin12cos 22 2cos xCy 答案答案 D 解解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数 A 中的函数只有一个任意常数 C B 中的函数虽然有两个独立的任意常数 但经验算它不是方程的解 C 中的函数从表面上看来也有两个任意常数及 但当令时 函数就变成了CkkCC 实质上只有一个任意常数 xCxCy2sin12cos 2 D 中的函数确实有两个独立的任意常数 而且经验算它也确实是方程的解 3 在曲线族 中 求出与直线相切于坐标原点的曲线 xx ececy 21 xy 解解 根据题意条件可归结出条件 1 0 0 0 yy 由 可得 xx ececy 21 xx ececy 21 1 0 2121 cccc 故 这样就得到所求曲线为 即 2 1 2 1 21 cc 2 1 xx eey xysinh 4 证明 函数是初值问题的解 yex x 2 3 3 3 2 1 2 sin 1 d d 0 0 d d d d 00 2 2 xx x y y y x y x y 证明证明 yexex xx 3 3 3 2 3 2 1 2 1 2 sincos 2 yexex xx 3 3 3 2 3 2 1 2 1 2 sincos 代入方程得 此外 yyy0 1 0 0 0 yy 故是初始值问题的解 yex x 2 3 3 3 2 1 2 sin 5 验证 其中为任意常数 是方程的通解 yeetCe xt x x 2 0 dC yye x x2 证明证明 即 说明函数确实 yeeteeCe xt x xxx 22 0 d ye x x2 2 xx eyy 给定方程的解 另一方面函数含有一任意常数 所以它是方程的通解 yeetCe xtx x 2 0 dC 6 求以下列函数为通解的微分方程 1 3 1 Cxy 解解 将等式改写为 再在其两边同时对求导 得 3 1 Cxy1 3 CxyxCyy 2 3 代入上式 即可得到所求之微分方程为 13 32 yyxy 2 x C xCy 2 1 解解 因为给定通解的函数式中有两个独立的任意常数 所以所求方程一定是二阶方程 在 方程等式两边同时对求两次导数 得x 2 2 1 x C Cy 3 2 2 x C y 从以上三个式子中消去任意常数和 即可得到所求之微分方程为 1 C 2 C 0 2 yyxyx 7 建立共焦抛物线族 其中为任意常数 所满足的微分方程 这里 4 2 CxCy C 的共焦抛物线族是以轴为对称轴 坐标原点为焦点的抛物线 x 解解 在方程两边对求导有 从这两式中消去常数所求方 4 2 CxCy xCyy42 程为 2 yyxyy 3 8 求微分方程 使它的积分曲线族中的每一条曲线上任一点处的法线都经过 xyy 坐标原点 解解 任取上的点 曲线在该点处的切线斜率为 xyy yx y dx dy 所以过点的法线斜率为 法线方程为 yx y 1 yY y 1 xX 因为法线过原点 所以从而可得所求微分方程为 y0 y 1 0 x 0 yyx 第第 9 章 之章 之 2 总第 总第 45 次 次 教学内容 教学内容 9 2 1 可分离变量的方程 9 2 2 一阶线性方程 1 求下列微分方程的通解 1 2 1 1 x yx y 解解 分离变量 两边积分 2 1 d 1 d x xx y y 2 1 d 1 d x xx y y 得 即 Cxyln 1ln 2 1 1ln 2 2 1 1 x C y 2 2 2 2 yx e y x y 解解 分离变量 两边积分就得到了通解 xxeyye xy dd2 2 2 d 2 1 22 2 xexee xxy cexe xx 2 1 2 1 22 3 042 12 yy eyex 解解 12 d 42 d x x e ye y y Cxe y ln 2 1 12ln 2 1 2ln 2 1 即 exC y 2 21 4 2 试用两种不同的解法求微分方程的通解 xyyxy 1 解法一解法一 可分离变量方程的分离变量法 这是一个一阶可分离变量方程 同时也是一个 一阶线性非齐次方程 这时一般作为可分离变量方程求解较为容易 分离变量 并积分 1 1 yxy xx y y d 1 1 d xx y y d 1 1 d 得 所求通解为 cxxy 2 2 1 1ln xx cey 2 2 1 1 解法二解法二 线性方程的常数变易法 将原方程改写为 这是一个一阶xyxy 1 1 线性非齐次方程 对应的齐次方程为 其通解为 0 1 yxy 1 xx eCy 2 2 1 代入原非齐次方程得 解得 代入即可得xeC xx 1 2 2 1 2 CeC xx 2 2 1 2 1 原方程的通解 xx Cey 2 2 1 1 3 求解下列初值问题 1 2 1x y y 6 2 1 ey 解解 y 2 1x y 2 1 dd x x y y 0 y 2 1 dd x x y y Cxy arcsinln x Cey arcsin 6 2 1 ey 2 1 arcsin 6 Cee 1 C x ey arcsin 2 2 2 x exyy 1 0 y 解解 2 2 x exyy xxp2 2 x exq xy xx e d2 Cdxee xx x d22 2 x e Cdxee xx x d22 22 xx Cexe 1 0 y101 cc 2 1 x exy 5 3 x exyy cos cot 1 2 y 解解 x exyy cos cot xxPcot x exQ cos xCy xx x xx deee dcot cos dcot dee e sinlncossinln xC xxx dsine csc cos xxCx x xC x csc e cos 由 可确定 所以 1 2 y2 Cxy x csc e2 cos 4 0d 12 d 2 xxxyyx0 1 x y 解解 方程变形为 是一阶线性非齐次方程 其通解为 2 112 xx y x y dxe xx cey dx x dx x 2 2 2 11 dxx xx c x 2 22 11 1 xxc x 2 2 2 11 xx c1 2 1 2 由 得 所以特解为 0 1 y 2 1 c xx y 1 2 1 2 1 2 4 求微分方程 的通解 提示将看作是的函数 0d ln dln yyxxyyxy 解解 将看作是的函数 原方程可化为 这是一阶线性方程 将其中xy y x yydy dx1 ln 1 代入一阶线性方程求解公式 得通解 y yQ yy yP 1 ln 1 1 e 1 ln ln ln lnln 1 ln 1 dye y cdye y cex yy dy yy dy yy y y c dy y y c y ln 2 1 ln ln ln 1 6 5 求满足关系式的可导函数 d 2 2 xyxuuuy x xy 解解 这是一个积分方程 在方程等式两边同对求导 可得微分方程 xxy xx y x d d 2 即 分离变量得 积分得 d d y x xyx 2 d d y y xx 2 yCe x 2 2 2 在原方程两边以代入 可得初试条件 据此可得 所2 x2 2 x y 1 4 eC 以原方程的解为 24 1 2 2 x ey 6 设降落伞自塔顶自由下落 已知阻力与速度成正比 比例系数为 求降落伞的下k 落速度与时间的函数关系 解解 根据牛顿运动第二定理有 这是一个可分离变量方程 分离变量并kvmg t v m d d 积分得 1 k mgkv t m Cln 由初始条件 得 即得 0 0 v ln 1 mg k C v mg k e k mt 1 7 求一曲线 已知曲线过点 且其上任一点的法线在轴上的截距为 1 0 yxxkx 解解 曲线在点处的法线斜率为 所以法线方程为 x y y 1 Yy y Xx 1 只要令 就可以得到法线在轴上的截距为 0 YxyyxX 据题意可得微分方程 即 这是一个可分离变量方程 分xyykx xkyy 1 离变量并积分得所求曲线 由于曲线过点 所以 所以所Cxky 22 1 1 0 1 C 求曲线方程为 yk x 22 11 8 求与抛物线族 是常数 中任一抛物线都正交的曲线 族 的方程 2 Cxy C 解解 在给定曲线上任意一点处切线斜率为 从上面两式中消 2 cxy yxcxyk2 0 去得 这样就得到了给定曲线族所满足的微分方程 c x y yk 2 0 x y y 2 设所求曲线方程为 在同一点处切线斜率为 则根据正交 xyy yxyk 7 要求有 这样就得到了所求曲线族应该满足的微分方程 1 0 kk y x y 2 这是一个可分离变量方程 分离变量 积分得所求曲线族xdxydy 2 即椭圆族 cxy 22 2 1 cxy 22 2 1 9 作适当变换 求微分方程 的通解 12 2 4 x ey y 解解 原方程可化为 在换元下方程可化为 这4 12 2 yy e x ye y ez 4 12 2 x z z 是一个一阶线性方程 其通解为 xeCez x x x x d4 12 d2 12 d2 44 12 1 2 xxC x 10 作适当变换 求微分方程 的通解 d d tan y x y xy y x 2 1 2 2 解解 令 代入方程整理得 积分得 以 代uxy 2 x x u ud tan d Cxu sin x y u 2 入上式 即得原方程的通解 Cx x y 2 sin 第第 9 章章 之 之 3 总第 总第 46 次 次 教学内容 教学内容 9 2 3 齐次型方程 9 2 4 伯努利方程 1 求下列微分方程的通解 1 lnln1 d d xy x y x y 解解 1 这是一个一阶齐次型方程 lnln1 d d xy x y x y dx dy x y x y ln 令 则 即 于是原方程可化为 这是一个 x y u uxy uxuy uuuxln 可分离变量方程 分离变量 并积分 得 即 x dx uu du ln x dx uu du ln cxulnlnlnln cx eu 以 代入 得所求的通解为 x y u cx xey 8 2 arctanxyy y x x 解解 方程可化为 这是一个一阶齐次型方程 x y x y y arctan 1 令 则 即 于是原方程可化为 这是一个 x y u uxy uxuy ux u x arctan 1 d d 可分离变量方程 分离变量后积分得 xuCeu u 1 2 arctan 以 代入上式得原方程的通解 x y u xyCe y x y x 22 arctan 2 求解下列初值问题 1 满足初始条件 的特解 0d 2 d 22 yyxxxy1 2 y 解 令 0d 2 d 22 yyxxxy dy dx x y y x 2 y x u 则 u u dy du yu 1 2 u u du 1 y dy u u du 1 y dy 即 cyulnln 1ln 2 1 2 cyu 1 2222 1ycu 代回即得 1 因此 5 2 2 y x 22 yc1 2 y 5 2 c 22 yx 4 y 2 0 0d d 0 x y yyxxyx 解解 原方程可表为 令 1 1 d d x y x y xy yx x y x y u uxuy 代入方程 有 即 1 1 u u uxu 1 21 d d 2 u uu x u x 分离变量 积分得 x x u uu u d 1 d 21 1 2 Cxuulnln 21ln 2 1 2 通解 令 得 Cyxyx 22 20 0 yx0 C 9 所以初值问题的解为 02 22 yxyx 3 试证明 当时 总能找到适当的常数 使一阶微分方程 1221 baba hk 222 111 cybxa cybxa fy 在变换 之下 可化为一阶齐次型方程 kys hxt d d 22 11 sbta sbta f t s 并求方程 的解 0d 32 d 12 yyxxyx 证明证明 令 sbtacybxa sbtacybxa 22222 11111 1221 baba 可解得 因此可取 1221 1221 1221 2112 baba cbcb xt baba caca ys 1221 1221 1221 2112 baba cbcb h baba caca k 解解 令 0 32 12 dyyxdxyx 3 2 xt ys xt ys dd dd 0 2 3 3 21 2 23 dsstdtst 0 32 2 dsstdtst t s t s dt ds dt ds t s t s 3 2 2 1 0 3 2 2 1 令 dt du tu dt ds t s u 23 1 13 32 21 u uu dt du t u u dt du tu t dt du uut dt du uu u 13 2 3 1 2 1 1 13 23 ctuulnln 13 1ln 2 1 即 c t s t s tctuu 1 3 1 13 1 cxxyxyc x y x y x 243 3 63 1 3 2 1 3 22 10 4 求下列微分方程的通解 1 0ln 2 xyyyx 解 0ln 2 xyyxy x x y x yy ln1 12 令 x x t xdx dt yt ln1 1 ln Q 1 x x x x xP ln1 d ln d 1 d 1 xdx x x C x xe x x Cext x x x x 1lnC ln C 11 xxxxxxx x 11 1ln Cxxy 2 0dd 2 yxxxyy 解 0dd 2 yxxxyy x y d d y x 1 2 1 2 y x yy 2 1 2 1 1 y xx 2 2 1 yu x u d d x2 1 x u 1 x xP 2 1 x xQ 1 xe x Cexu x x x x d 1 d 2 1 d 2 1 2 1 x xx x Cd 1 2 1 xCx 2 1 xCxy 2 1 2 1 x C xy 3 y y xyx 3 22 2 解一 令 原方程化为 解此方程得 uy 2 d d u x u x u x 2 1 uCe u x 以代入上式 原方程通解为 uy 2 yCe y x 2 2 11 解二 原方程写成 d d x yy x y x 22 3 2 令 则方程化为 xz 1 3 22 d d y z yy z 则通解 zeC y ey y y y y 2 3 2 2 dd d ln2 1 2 yC y 故原方程通解 11 2 2 xy Cy ln 5 求下列伯努力方程满足初始条件的特解 y x yy 2 1 0 y 解 xyyy xyyy22 21 令 xt dx dt yt42 2 xxQxP4 2 12 010211 0 12 12 2 d4 d 4 2 0 22 2222 22 d2d2 xy CCey Cexy xCeexeCe xxeCexexCext x xxxx xx xx 6 作适当的变换求方程 的通解 122 222 1 2 xy yxye x sinsin 解 原方程化为 12 2 2 22 1 2 x y x xye x dsin d sin 令 得 zy sin2 d d z x x x zex x 2 1 1 2 2 12 2 故 xe x e Cez x x x xx x x d 1 d 1 2 2 12d 1 2 2 2 2 1ln 21212 22 xxeCe xx 原方程的通解为 sinln 22 12 12 22 1yCeexx xx 12 7 已知 求 2d 1 2 2 0 2 xyxyy x y x 解 两边关于求导得 x21 2 yyy 解得 yCe x2 1 由 求得 y x 0 0C 1 故原方程的解为 ye x2 1 8 曲线过点 其上任一点与原点的距离平方等于该点横坐标与该点的曲线的法线 11 在轴上的截距乘积的两倍 求曲线方程 x 解 xyx xyyy 22 211 2 1 2 yy x yx 令 解得 yz 2 zyx Cx 2 由 得 y 11 C 2 曲线方程为 xyx 22 2 9 根据托里斥利定律 液体从容器小孔中流出的速度为 其中 为重ghAv2 g 力加速度 为液面与底部孔口之间的距离 为孔口面积 为孔口收缩系数 实验确hA 定其取值为 现有一直径为 m 高为 2m 的直立圆柱形容器 其中盛满的水从62 0 1 底部直径为cm 的圆孔流出 要多长时间容器内的水才会完全流尽 1 d 解 设在时刻 t 时 容器中液面高度 则经过后液面高度为 于是有 tht tth ttghAtththr 2 2 即 2 2 r ghA t thtth 令 得0 t 200 0 2 d d 2 h gh r A t h 解得 2002 2 2 tg r A h 13 代入 得 秒 0 h980 g50 r 4 A62 0 10304 t 第第 9 章章 之 之 4 总第 总第 47 次 次 教学内容 教学内容 9 3 可降阶的高阶微分方程 1 解下列问题 1 微分方程满足条件的解是 yyxy yy 2121 A B yx 1 2 yx 1 2 21 4 2 C D yx 1 2 1 1 2 2 yx 1 2 5 4 2 解解 C 2 微分方程满足条件的解是 yyy20 3 yy 0101 A B y x 3 3 1 3 x y 3 3 1 C D y x 3 3 1 3 x y 3 3 1 解解 C 2 求下列微分方程的通解 1 0 yyx 解解 是一不显含因变量的二阶方程 0 yyxy 令 yp y x p d d 0 ppx p pd x xd x x p pdd 1 lnlnlnCxp x C p 1 x y d d x C1 x x C ydd 1 x x C ydd 1 21ln CxCy 2 121 2 xyxy 解解 y x x y x 2 1 1 1 22 y x xC 1 1 2 1 14 yxCxC 1 2 1 2 12 ln arctan 3 0 2 yyy 解解 令 则 代入方程有 0 2 yyyyp y p py d d 0 d d 2 p y p py0 d d p y p yp 因为求通解 所以 满足 p0 d d p y p y 由 y y p p y y p pdddd y C pCyp 1 1 lnlnln xCyyxCyy y C x y dddd d d 11 1 21 2 CxCy 通解 21 2 CxCy 4 12 22 yyyy 解解 令 得 yp yypp 12 22 yp pp y 即 得 d d p p y y y 2 1 2 pCy 1 2 1 所以 通解为 d d y y Cx 1 2 1 arctan yC xC 12 第第 9 章章 之 之 5 总第 总第 48 次 次 教学内容 教学内容 9 4 1 二阶线性方程和解的存在性 9 4 2 二阶线性方程解的结构 1 若是方程的两个解 试证 必是其对应齐 21 y y xRyxQyxPy 12 yy 次方程的解 0 yxQyxPy 证明证明 因为是方程的解 21 y y xRyxQyxPy 所以成立下式 15 2 1 222 111 xRyxQyxPy xRyxQyxPy 将 1 2 两式相减 得 3 0 212121 yyxQyyxPyy 3 式可写为 0 212121 yyxQyyxPyy 所以 是齐次方程 的解 21 yy 0 yxQyxPy 2 已知是方程的三个特解 问能 2 321 1 1 1xyxyy 22 222 x y x y x y 否求出该方程得通解 若能则求出通解来 解解 按 1 证明可知 分别是其对应齐次方程 2 1312 xyyxyy 的解 并且线性无关 所以 为齐次方程的通解 0 22 2 y x y x y 2 21 xCxC 所以原方程的通解可以表示为 1 2 21 xCxCy 3 验证 是微分方程的两个线性无关特解 并求此方程的 22 tt ee x t xt x 1 40 2 通解 证明证明 因为 222 2 4 1 ttt ete t e 042 1 42 2222 22 tttt ette t ete 222 2 4 1 ttt ete t e 24 1 240 2222 22 et e t tet e tttt 故是方程的解 且 常数 22 tt ee 2 2 2 2t t t e e e 于是是方程线性无关的解 构成基本解组 故方程的通解为 22 tt ee 22 21 tt eCeCx 其中为任意常数 21 C C 16 4 已知函数 是方程 的两解 试求该方程满足xyey x 21 0 1 yyxyx 初始条件 的特解 0 0 1 0 yy 解解 方程的通解为 将初始条件代入 有 xcecy x 21 0 0 1 0 2121 1 cccecy cy x 解得为 21 c c1 1 21 cc 所以特解为 xey x 5 设是非齐次线性方程x t 1 xta t x tat x tft 121 1 的解 是方程xt 2 xta t x tat x tft 122 2 的解 试证明xx txt 12 是方程 xta t x tat x tftft 1212 3 的解 解解 因为分别为方程 1 和方程 2 的解 所以 2 1 txtx 1 112111 tftxtatxtatx xta t xtat xtft 212222 2 得 12 2121221121 tftftxtxtatxtxtatxtx 即 是方程 3 的解 xx txt 12 第第 9 章章 之 之 6 总第 总第 49 次 次 17 教学内容 教学内容 9 4 3 二阶线性常系数方程的解法 1 解下列问题 1 方程的通解为 08 yy y 解解 xcxcy22sin22cos 21 2 方程的通解为 025 6 yyy y 解解 4sin4cos 21 3 xcxcey x 3 方程的通解为 0158 yyy y 解解 xx CCy 5 2 3 1 ee 4 方程的通解为 031525 yyy y 解解 21 5 15 CxCey x 3 方程的通解为 则 06 pyyy 2sin2cos e 21 xCxCy kx p k 解解 11 3 2 求解下列初值问题 1 0 1 1 0168 4 yeyyyy 解解 0 4 168 22 4 21 通解为 x exccy 4 21 将初始条件代入 有 44 21 1 eeccy 04 4 4 1 44 2 4 21 4 2 4 21 4 2 eececcecexccecy xx 得到 所以特解为 45 21 cc x exy 4 45 2 3 2 1 2 0294 yyyyy 18 解解 0294 2 i i 52 2 104 2 116164 通解为 5sin5cos 21 2 xcxcey x 代入初始条件有 eccey 22 1 0 2 5cos55sin5 5sin5cos 2 2 21 2 21 2 xcxcexcxcey xx 得 特解为 ec 1 5sin5cos 2 xxey x 3 10 0 6 0 034 yyyyy 解 034 2 0 3 1 所以通解为 xx ececy 3 21 代入初始条件有 6 0 21 ccy 1033 0 21 3 21 ccececy xx 特解为 xx eey 3 814 3 求解初值问题 yyyx y x x 21 01 00 d 解解 将原方程对求导得 x yyy201 且有 yy 01201 微分方程 1 的通解为 yeC xC x 12 代入初始条件 得 1 0 1 0 yy1 0 21 CC 故所求问题的解为 x ey 4 设函数二阶连续可微 且满足方程 求函 x x uuuxx 0 d 1 数 x 19 解解 原方程关于求导得x xx uuxxxxuux 00 d d 0 0 再求导得 且由原方程还有 xx 1 0 微分方程的通解为 xx eCeCx 21 代入条件 得 0 0 1 0 2 1 21 CC 故所求函数为 xeex xx ch 2 1 5 长为 100cm 的链条从桌面上由静止状态开始无摩擦地沿桌子边缘下滑 设运动开始 时 链条已有 20cm 垂于桌面下 试求链条全部从桌子边缘滑下需多少时间 解解 设链条单位长度的质量为 则链条的质量为 再设当时刻 时 链条的下 100t 端距桌面的距离为 则根据牛顿第二定律有 tx 即 gx dt xd 2 2 1000 100 2 2 x g dt xd 又据题意知 所以 满足下列初值问题 20 0 x0 0 x tx 0 0 20 0 0 100 2 2 xx x g dt xd 解得方程的通解为 t g t g ececx 10 2 10 1 又因为有初始条件 10 10 00 200 2 1 c c x x 所以 t g t g eex 1010 1010 又当链条全部从桌子边缘滑下时 求解 得 100 xt t g t g ee 1010 1010100 即 5 10 t g ch5 10 arch g t 6 设弹簧的上端固定 下端挂一个质量为 2 千克的物体 使弹簧伸长 2 厘米达到平衡 现将物体稍下拉 然后放手使弹簧由静止开始运动 试求由此所产生的振动的周期 解解 取物体的平衡位置为坐标原点 轴竖直向下 设时刻物体位于处 由牛xtmx t 20 顿第二定律 222 2 2 d d x t gg xgx 其中厘米 秒 2 其解为 g 980 xC g tC g t 12 22 cossin 振动周期为 T g 2 22 490 028 第第 9 9 章章 之 之 7 7 总第 总第 50 次 次 教学内容 教学内容 9 4 3 二阶线性常系数方程的解法 9 4 4 高阶线性常系数微分方程 1 微分方程的一个特解应具有形式 xxyysin A sinAxBx B x AxBxx CxDx sin cos C x AxBxx cossin D x AxB CxDx sincos 解 B 2 设是待定常数 则微分方程的一个特解应具有形式A B C D yyxxcos A AxBCx cos B AxBCxDx cossin C AxBx CxDx cossin D AxBCxx cos 答 C 3 求下列非齐次方程的一个解 1 122 xyyy 解 不是特征根 02 2 1 2 2 1 0 设 代入原方程 得 01 bxbyp 1222 011 xbxbb 有 特解为 1 0 10 bbxy 2 x eyyy 2 21 解 是二重特征根 1 设 0 2 bexy x p 0 2 0 2bexbxey xx p 0 2 00 2 0 22bexbxebexbey xxxx p 代入 解得 x eyyy 2 2 1 0 b 特解为 x exy 2 2 1 4 求微分方程满足条件的特解 yyyxe x 32yy 000 解 特征方程的根为 相应齐次方程的通解023 2 rr2 1 21 rr 为 xx h eCeCy 2 21 设特解为 代入方程得 x p eBAxxy 1 2 1 BA 故方程的通解为 xxx ex x eCeCy 2 2 2 21 代入条件 得 因此所求特解为0 0 0 yy1 1 21 CC xx ex x ey 1 2 2 2 5 求下列非齐次方程的通解 2xfyy xxfexfxxf x cos 3 2 14 1 2 解 特征方程 特征根 02 2 2 0 21 所以方程的通解为 0 2 yy x h eccy 2 21 1 对于方程 由于是特征方程的单根 故设其特解为 14 2 xyy0 xbxbyp 10 代入方程有 解得 14242 100 xbxbb 2 1 1 10 bb 22 所以特解为 xxyp 2 1 2 所以方程的通解为 xxeccyyy x ph 2 1 22 21 2 对于方程 由于不是特征方程的根 故设其特解为 x eyy 2 2 2 0 2 bey x p 代入方程有 8 1 0 b x p ey 2 8 1 所以方程的通解为 xx ph eeccyyy 22 21 8 1 3 对于方程 由于不是特征方程的根 故设其特解为 xyycos 2 i xbxbypsincos 10 代入方程有 xbxbypcossin 10 xbxbypsincos 10 xxbxbxbxbcoscossin2sincos 1010 得 5 2 5 1 20 bb xxypsin 5 2 cos 5 1 所以方程的通解为 xxeccyyy x ph sin 5 2 cos 5 1 2 21 6 求微分方程的通解 yyyex x 6925sin 解 特征方程的根为 相应齐次方程的通解为rr 2 690 r1 23 x h exCCy 3 21 设特解为 代入方程得 yeAxBx p x cossin AB 43 故方程的通解为 yCC x eexx xx cossin 12 3 43 7 已知曲线过原点 位于轴上方 且曲线上任一点yy x x 0 x 23 处切线斜率数值上等于此曲线与轴 直线所围成的面积与该点横坐 00 yxM xxx 0 标的和 求此曲线方程 解 由已知 且 将此方程关于求导得y 00 yyxx y x d 0 00 x yy1 其通解为 yC eC e xx 12 1 代入初始条件 得 yy 0000 CC 12 1 2 故所求曲线方程为 yeex xx 1 2 11 ch 8 设一物体质量为 以初速从一斜面滑下 若斜面与水平面成角 斜面摩擦系mv0 数为 试求物体滑下的距离与时间的关系 tan 0 解 设时刻物体滑过的距离为 由牛顿第二定律tS m S t mgmg d d sincos 2 2 且SSv 000 0 方程的通解为 SgtC tC 1 2 2 12 sincos 代入初始条件得 故物体滑下的距离与时间的关系为CvC 102 0 Sgtv t 1 2 2 0 sincos 9 设弹簧的上端固定 下端挂一质量为的物体 开始时用手托住重物 使弹簧既不m 伸长也不缩短 然后突然放手使物体开始运动 弹簧的弹性系数为 求物体的运动规k 律 解 取物体未发生运动时的位置为坐标原点 轴垂直向下 设时刻物体位于处 xtx t 由牛顿第二定律 且 m x t kxmg d d 2 2 0 0 0 0 xx 方程的通解为 xC k mt C k mt m k g 12 cossin 24 代入初始条件得 故物体的运动规律为C m k g C 12 0 x mg k k mt 1cos 10 求下列方程的通解 1 02 4 yyy 解 02 234 0 12 22 0 1 22 所以通解为 x exccxccy 4321 2 0365 4 yyy 解 0365 24 0 9 2 2 2 所以通解为 xcxcececy xx 3sin3cos 43 2 2 2 1 11 试证明 当以 为新的自变量时 变系数线性方程 其中 a b c 为常数 xtln 这是欧拉方程 可化为常系数线性方程 2 xfcybxyyax 并求下列方程通解 2 2 t efcy dt dy ab dt yd a 1 2 02 2 yyxxxyyxyxln2 2 证明 令 xtln t ex dt dy xdx dt dt dy dx dy1 dt dy dt yd xdt dy dx d xdt dy xdx yd 2 2 222 2 111 将代入方程有 yy t efcy dt dy ab dt yd acy dt dy b dt dy dt yd acyybxyax 2 2 2 2 2 得证 1 令 xtln t ex 25 原方程化为 02 2 2 y dt dy dt yd 其通解为 tt ececy 2 2 1 将代入 得 x x c xcy 22 1 2 令 xtln t ex 原方程化为 t tey dt dy dt yd 22 2 2 上述方程的相应其次方程的通解为 tctcey t h sincos 21 令上述方程一个特解为 10 btbey t p 代入方程得 即 0 1 10 bbtey t p 原方程得通解为 ttctcey t sincos 21 即 xxcxcxylnlnsinlncos 21 12 一质量为 m 的潜水艇在水面从静止状态开始下降 所受阻力与下降速度成正比 比例系数为 k 0 浮力为常数 B 求潜水艇下降深度 x 与时间 t 之间的函数关系 解 为加速度 maBFF 阻重 a 为下降速度 maBkvmg v 因为 所以 即 2 2 dt xd d