一元二次方程VIP

1 第第 2222 章章 一元二次方程一元二次方程 教材内容教材内容 1 本单元教学的主要内容 概念 解一元二次方程的方法 一元二次方程应用题 2 本单元在教材中的地位与作用 一元二次方程是在学习 一元一次方程 二元一次方 程 分式方程等基础之上学习的 它也是一种数学建模的方法 学好一元二次方程是学好二次 函数不可或缺的 是学好高中数学的奠基工程 应该说 一元二次方程是本书的重点内容 教学目标教学目标 1 1 知识与技能 知识与技能 了解一元二次方程及有关概念 掌握通过配方法 公式法 因式分解法降次 解一元二 次方程 掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法 应用熟练掌握以上知识解决 问题 2 2 过程与方法 过程与方法 1 通过丰富的实例 让学生合作探讨 老师点评分析 建立数学模型 根据数学模型 恰如其分地给出一元二次方程的概念 2 结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念 如二次项等 3 通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法 直接开方法 导入用配方法解一元二 次方程 又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程 4 通过用已学的配方法解 ax2 bx c 0 a 0 导出解一元二次方程的求根公式 接着讨 论求根公式的条件 b2 4ac 0 b2 4ac 0 b2 4ac0 当 b2 4ac 0 时 2 2 4 4 bac a 0 解有些二次项系 数是具体数字的 方程不必写 配方时方程两边 同加上一次项系 数一半的平方 配方到这一步 两边要进行开平 方运算 被开方 数必须是非负数 所以 要对 16 x 2 b a 2 4 2 bac a 即 x 2 4 2 bbac a x1 2 4 2 bbac a x2 2 4 2 bbac a 由上可知 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根由方程的系数 a b c 而定 因此 1 解一元二次方程时 可以先将方程化为一般形式 ax2 bx c 0 当 b2 4ac 0 时 将 a b c 代入式子 x 2 4 2 bbac a b2 4ac 0 就可求出方程的根 2 这个式子叫做一元二次方程的求根公式 3 利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 4 由求根公式可知 一元二次方程最多有两个实数根 强调强调 用公式法解一元二次方程时 必须注意两点 将 a b c 的 值代入公式时 一定要注意符号不能出错 式子 b2 4ac 0 是公式的一部 分 2 2 4 4 bac a 进行分 析 通过解方程发现 归纳一元二次方 程的求根公式 三 自主应用 巩固新知 例例 用公式法解下列方程 1 2x2 x 1 0 2 x2 1 5 3x 3 x2 2x 1 2 0 4 4x2 3x 2 0 分析分析 用公式法解一元二次方程 需先确定 a b c 的值 再算出 b2 4ac 的值 最后代入求根公式求解 解解 说明说明 1 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根是由一元二次方程 的系数 a b c 确定的 2 在解一元二次方程时 可先把方程化为一般形式 然后在 b2 4ac 0 的前提下 把 a b c 的值代入 x 2 4 2 bbac a b2 4ac 0 中 可求得方程的两个根 3 由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根 练习练习 37 1 主体探究 探究 利用公式法解一 元二次方程的一 般方法 进一步 理解求根公式 四 自主总结 拓展新知 17 1 求根公式的推导过程 2 用公式法解一元二次方程的一般步骤 先确定 a b c 的值 再算出 b2 4ac 的值 最后 代入求根公式求解 五 课堂作业 教学反思 第 7 课时 解一元二次方程 公式法 2 学 习 目 标 使学生能用 b2 4ac 的值判定一元二次方程的根的情况 学习重点使学生能用的值判定一元二次方程的根的情况 学习难点 从具体题目来推出一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的 b2 4ac 的情况与 根的情况的关系 教 学 互 动 设 计设计意图 一 自主学习 感受新知 问题问题 用公式法解下列方程 根据方程根的情况你有什么结论 2x2 3x 0 3x2 23x 1 0 4x2 x 1 0 二 自主交流 探究新知 探究探究 根据问题填写下表 方程b2 4ac 的值b2 4ac 的符号 x1 x2的关系 填相等 不等或不存在 2x2 3x 09 0不相等 3x2 23x 1 0 0 0相等 4x2 x 1 0 150 0 时 根据平方根的意义 学生在思考的 基础上分组讨 论 利用一元 二次方程的知 识解决上述问 题 同时熟悉 一元二次方程 的两种解法 18 2 4bac 等于一个具体数 所以一元一次方程的 x1 2 4 2 bbac a x1 2 4 2 bbac a 即有两个不相等的实根 当 b2 4ac 0 时 根据平方根的意 义 2 4bac 0 所以 x1 x2 2 b a 即有两个相等的实根 当 b2 4ac0 时 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 有两个 不相等实数根即 x1 2 4 2 bbac a x2 2 4 2 bbac a 当 b2 4ac 0 时 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 有两个相等实数 根即 x1 x2 a b 2 当 b2 4ac0 的解集 用含 a 的式子表示 分析分析 要求 ax 3 0 的解集 就是求 ax 3 的解集 那么就转化为要判 定 a 的值是正 负或 0 因为一元二次方程 a 2 x2 2ax a 1 0 没有实数根 即 2a 2 4 a 2 a 1 0 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 有两个不相等的实根 b2 4ac 0 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 有两个相等的实根 b2 4ac 0 时 方程有两个不相 等的实数根 当 0 时 方程有两个相等的实数根 当 0 时 方程没有实数根 当 0 时 方程有实数根 5 一元二次方程的根与系数的关系 韦达定理 当 b2 4ac 0 时 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的求根公式为 x 2 4 2 bbac a 若一 38 元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的两根为 x1 x2 则 x1 x2 a b x1 x2 a c 若一元二次方程 2 x px q 0 的两根为 1 x 2 x 则 x1 x2 p x1 x2 q 6 一元二次方程的应用 二 基本知识训练 1 下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是 A 2 2 1 0 x x B 2 0axbxc C 1 2 1xx D 22 3250 xxyy 2 某学校准备修建一个面积为 200 平方米的矩形花圃 它的长比宽多 10 米 设花圃的宽 为 x 米 则可列方程为 化为一般形式为 3 已知 1 是关于 x 的一元二次方程 m 1 x2 x 1 0 的一个根 则 m 的值是 A 1B 1C 0D 无法确定 4 咸宁市 2009 年平均房价为每平方米 2000 元 连续两年增长后 2011 年平均房价达到每 平方米 2420 元 设这两年平均房价年平均增长率为 x 依题意可列方程为 此方程适宜用 法解 5 用配方法解关于 x 的一元二次方程 x2 2x 3 0 配方后的方程可以是 A x 1 2 4 B x 1 2 4 C x 1 2 16 D x 1 2 16 6 若一元二次方程02 2 mxx有实数解 则 m 的取值范围是 A 1 m B 1 m C 4 m D 2 1 m 7 下列一元二次方程两实数根和为 4 的是 A x2 2x 4 0 B x2 4x 4 0 C x2 4x 10 0 D x2 4x 5 0 8 已知 m 和 n 是方程 2x2 5x 3 0 的两根 则 nm 11 三 典型例题分析 例例 1 1 用适当的方法解下列方程 x2 4x 2 0 1 1 2 3 8xxx 122 2 xxx 解 解 39 例例 2 2 已知 x 是一元二次方程 x2 2x 8 0 的根 求代数式 2 5 2 63 3 2 x x xx x 的 值 解解 例例 3 3 关于 x 的一元二次方程 x2 3x m 1 0 的两个实数根分别为 x1 x2 1 求 m 的取值范围 2 若 2 x1 x2 x1x2 10 0 求 m 的值 例例 4 4 如果方程 x2 px q 0 的两个根是 x1 x2 那么 x1 x2 p x1 x2 q 请根据 以上结论 解决下列问题 1 已知关于 x 的方程 x2 mx n 0 n 0 求出一个一元二次方程 使它的两根别是已 知方程两根的倒数 2 已知 a b 满足 a2 15a 5 0 b2 15b 5 0 求 a b b a 的值 3 已知 a b c 均为实数 且 a b c 0 abc 16 求正数 c 的最小值 解解 40 例例 5 5 菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克 5