9几何图形的归纳、猜想问题(含答案)

P1 九 几何图形的归纳九 几何图形的归纳 猜想猜想 证明问题证明问题 前言 实行新课标以来 中考加大了对考生归纳 总结 猜想这方面能力的考察 但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察 所以大多放在填空压轴题来出 08 年的 中考填空压轴是一道代数归纳题 已经展现出了这种趋势 09 年的一模 二模也只是较少 的区县出了这种归纳题 然而中考的时候就出了一道几何方面的 n 等分点总结问题 于是 今年的一模二模 这种有关几何的归纳 猜想问题铺天盖地而来 这就是一个重要的风向 标 而且根据学生反映 这种问题一般较难 得分率很低 经常有同学选择 填空就只错了 这一道 对于这类归纳总结问题来说 思考的方法是最重要的 所以一下我们通过今年的 一二模真题来看看如何应对这种新题型 第一部分第一部分 真题精讲真题精讲 例例 1 2010 海淀 一模 海淀 一模 如图 1 个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一直线上 设的面积为 n 211 B DC 1 S 的面积为 的面积为 则 322 B D C 2 S 1nnn BD C n S 2 S n S 用含的式子表示 n D4D3D2D1 C5C4 C3 C2 C1 B5B4B3 B2 B1 A 思路分析思路分析 拿到这种题型 第一步就是认清所求的图形到底是什么样的 本题还好 将阴影部分标出 不至于看错 但是如果不标就会有同学误以为所求的面积是 22 B AC 这种的 第二步就是看这些图形之间有什么共性和联系 首先所代表的三角形的底 33 B AC 2 S 边是三角形的底边 而这个三角形和 是相似的 所以边长的比例就 2 C 2 D 2 AC 2 D 3 AC 3 B P2 是与的比值 于是 接下来通过总结 我们发现所求的三角形有 2 AC 3 AC 2 122 3 23 233 S A A A 一个最大的共性就是高相等 为 连接上面所有的 B 点 将阴影部分放在反过来的等边 3 三角形中看 那么既然是求面积 高相等 剩下的自然就是底边的问题了 我们发现所有 的 B C 点连线的边都是平行的 于是自然可以得出 自然是所在边上的 n 1 等分点 例如 n D 就是的一个三等分点 于是 n 1 1 是什么意思 为什么要减 1 2 D 2 B 2 C 1 1 2 1 nn n D C n 1 1123 33 2211 nnn BD Cnn nn SD C nn A 例例 2 2010 西城 一模 西城 一模 在平面直角坐标系中 我们称边长为 1 且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格 点 正方形 如图 菱形的四个顶点坐标分别是 ABCD 80 04 80 则菱形能覆盖的单位格点正方形的个数是 个 若菱形的 04 ABCD nnnn A B C D 四个顶点坐标分别为 为正整数 则菱形 20 n 0 n 20 n 0 nn 能覆盖的单位格点正方形的个数为 用含有的式子表示 nnnn A B C Dn 8 4 4 8 O D C B A y x 思路分析思路分析 此题方法比较多 例如第一空直接数格子都可以数出是 48 笑 这里 笔者提供一种方法 其他方法大家可以自己去想想看 因为求的是菱形包涵的正方形个数 所以只需求出被 X Y 轴所分的四个三角形包涵的个数 再乘以 4 即可 比如我们来看第二 P3 象限那个三角形 第二象限菱形那条边过 2n 0 0 n 自然可以写出直线解析式为 斜率意味着什么 看上图 注意箭头标注的那些空白三角形 这些 RT 三角形一 1 2 yxn 1 2 共有 2n 2 n 个 他们的纵直角边与横直角边的比是不是就是 而且这些直角三角形都是全 1 2 等的 面积均为两个单位格点正方形的一半 那么整个的 AOB 的面积自然就是 所 1 2 2 n n 有 n 个空白小三角形的面积之和为 相减之后自然就是所有格点正方形的面积 1 2 1 2 n 也就是数量了 所以整个菱形的正方形格点就是 2 nn 2 44nn 例例 3 2010 平谷 一模 平谷 一模 如图 过上到点的距离分别为的点作的垂线45AOB OAO1 3 5 7 9 11 OA 与相交 得到并标出一组黑色梯形 它们的面积分别为 1234 SSSS 则第一个OB 黑色梯形的面积 观察图中的规律 第 为正整数 个黑色梯形的面 1 S n n 积 n S B A 1311975310 S4 S3 S2 S1 思路分析思路分析 本题方法也比较多样 所有阴影部分都是一个直角梯形 而因为 所以梯形的上下底长度分别都对应了垂足到 0 点的距离 而高则是固定的 2 45AOB 第一个梯形上底是 1 下底是 3 所以 第二个梯形面积 1 1 1324 2 S 第三个是 至此 我们发现本题中梯形面积数值上 2 1 57212 2 S 3 1 911220 2 S 其实就是上下底的和 而且各个梯形的上底都是前一个梯形上底加上 4 于是第 n 个梯形的 上底就是 1 4 n 1 4n 3 第一个梯形的上底第一个梯形的上底 1 加上加上 n 1 个个 4 下底自然就是 4n 1 于是就 n S 是 8n 4 P4 例 4 2010 丰台 一模 在平面直角坐标系中 横坐标 纵坐标都为整数的点称为整点 请你观察图中正方形 A1B1C1D1 A2B2C2D2 A3B3C3D3 每个正方形四条边上的整点的个数 按此规律推算出正 方形 A10B10C10D10四条边上的整点共有 个 y xO D1 D2 D3 C1 C2 C3 B1 B2 B3 A3 A2 A1 1 2 3 1 2 3 3 2 1 321 思路分析 此题看似麻烦 但是只要把握住 正方形 这个关键就可以了 对于 来说 每条边的长度是 2n 那么自然整点个数就是 2n 1 所以四条边上整点一共 nnnn A B C D 有 2n 1 x4 4 8n 个 要减去四个被重复算的顶点要减去四个被重复算的顶点 于是就是 80 个 10101010 A B C D 例例 5 2010 宣武 一模 宣武 一模 如图 ABC 中 ACB 90 AC BC 1 取斜边的中点 向斜边做垂线 画出一个 新的等腰直角三角形 如此继续下去 直到所画直角三角形的斜边与 ABC 的 BC 边重叠 为止 此时这个三角形的斜边长为 思路分析思路分析 本题依然要找出每个三角形和上一个三角形之 间的规律联系 关键词 中点 垂线 等腰直角 这就意味着每个三角形的锐角都是 45 度 并且直角边都是上一个三角形直角边的一半 绕一圈是 360 度 包涵了 8 个 45 于是绕到第八次就可以和 BC 重叠了 此时边长为 ABC 的 故而得解 8 1 P5 例例 6 2010 门头沟 一模 门头沟 一模 如图 以等腰三角形的斜边为直角边向外作第个等腰直角三角形 再以等AOB2 1 ABA 腰直角三角形的斜边为直角边向外作第 个等腰直角三角形 如此作下 1 ABA3 11 ABB 去 若 则第个等腰直角三角形的面积 n 为正整数 1OAOB n n S B2 B1 A1 B O A 思路分析 和上题很类似的几何图形外延拓展问题 还是一样慢慢找小三角形面积 的规律 由题可得 分子就是 1 2 4 8 16 这样的数列 于是 123 124 222 SSS 2 2 n n S 总结总结 几何图形的归纳总结问题其实就包括了代数方面的数列问题 只不过需要考 生自己找出图形与图形之间的联系而已 对于这类问题 首先就是要仔细读题 看清楚题 目所求的未知量是什么 然后找出各个未知量之间的联系 这其中就包括了寻找未知量的 拓展过程中 哪些变了 哪些没有变 最后根据这些联系列出通项去求解 在遇到具体关 系很难找的问题时 不妨先写出第一项 第二项 第三项然后去找数式上的规律 如上面 例 6 就是一例 如果纠结于几何图形当中等腰三角形直角边的平方 反而会使问题复杂化 直接列出前几项的面积就可以大胆的猜测出来结果了 这类题目计算量往往不大 重在思 考和分析的方法 还请考生细心掌握 第二部分第二部分 发散思考发散思考 思考 1 2009 西城 二模 P6 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 1 B 0 1 2 B 0 3 3 B 0 6 以为对角线作第一个正方形 以 4 B 0 10 12 B B 1112 ABC B 为对角线作第二个正方形 以为对角线作第 23 B B 2223 A B C B 34 B B 三个正方形 如果所作正方形的对角线都在 3334 A B C B 1nn B B y 轴上 且的长度依次增加 1 个单位 顶点都在第一象 1nn B B n A 限内 n 1 且 n 为整数 那么的纵坐标为 用 n 1 A 的代数式表示的纵坐标 n A 思考 2 2009 朝阳 二模 如图 在平面直角坐标系中 一颗棋子从点处开始跳动 第一P 次跳到点关于 x 轴的对称点处 接着跳到点关于 y 轴P 1 P 1 P 的对称点 处 第三次再跳到点关于原点的对称点处 2 P 2 P 如此循环下去 当跳动第 2009 次时 棋子落点处的坐标是 思考 3 2009 昌平 一模 对于大于或等于 2 的自然数 n 的平方进行如下 分裂 分裂成 n 个连续奇数的和 则 自然数 72的分裂数中最大的数是 自然数 n 的分裂数中最大的数是 2 思考 4 2009 延庆 一模 一个质点在第一象限及轴 轴上运动 在第一秒钟 它从原点运动到 然后xy 01 接着按图中箭头所示方向运动 即 且每秒移动一个单 0 0 01 11 10 位 那么第 35 秒时质点所在位置的坐标是 1 3 1 3 5 01 23x y 1 2 3 P7 思考 5 2009 海淀 二模 如图 将边长为的正方形纸片从左到右顺次摆放 其对应的 321 2 1