262用函数的观点看一元二次方程（1）教案

W 1 26 226 2 用函数的观点看一元二次方程 用函数的观点看一元二次方程 1 1 教学内容教学内容 本节课主要学习二次函数与一元二次方程的关系 教学目标教学目标 知识技能 理解二次函数与一元二次方程的关系 会判断抛物线与 x 轴的交点个数 掌握方 程与函数间的转化 数学思考 建立一元二次方程与二次函数的关系 通过图象 体会数与形的完美结合 解决问题 通过实际问题 体会一元二次方程解的实际意义 发展数学思维 情感态度 在求解过程中 体会解决问题的方法 培养学生的合作交流意识和探索精神 重难点 关键重难点 关键 重点 探索一次函数图象与一元二次方程的关系 理解抛物线与 x 轴交点情况 难点 函数 方程 x 轴交点 三者之间的关系的理解与运用 关键 理解二次函数与一元二次方程的关系 会判断抛物线与 x 轴的交点个数 掌握 方程与函数间的转化 教学准备教学准备 教师准备 制作课件 精选习题 学生准备 复习有关知识 预习本节课内容 教学过程教学过程 一 一 复习引入复习引入 二次函数的图象如图所示 根据图象回答 1 x 为何值时 y 0 2 你能根据图象 求方程 x2 2x 3 0 的根吗 3 函数 y x2 2x 3 与方程 x2 2x 3 0 之间有何关系 呢 活动方略 教师提出问题 学生独立思考回答 设计意图 创设问题情境 导入新课 二 二 探索新知探索新知 探究探究 1 教材 P20 问题 如图 以 40m s 的速度将小球沿与地面成 30 角的方向击 出时 球的飞行路线将是一条抛物线 如果不考虑空气阻力 球的飞行高度 h 单位 m 与飞行时间 t 单位 s 之间具有关系 h 20t 5t2 W 2 考虑以下问题 1 球的飞行高度能否达到 15m 如能 需要多少飞行时间 2 球的飞行高度能否达到 20m 如能 需要多少飞行时间 3 球的飞行高度能否达到 20 5m 为什么 4 球从飞出到落地需要多少时间 学生交流各自愿 求解方法与结论 归纳归纳 二次函数与一元二次方程有如下关系 1 函数 y ax2 bx c 当函数值 y 为某一确定值 m 时 对应自变量 x 的值就是方程 ax2 bx c m 的根 2 特别是 y 0 时 对应的自变量 x 的值就是方程 ax2 bx c 0 的根 以上关系 反过来也成立 议一议议一议 利用以上关系 可以解决什么问题 解 利用以上关系 可以解决两个方面问题 其一 当 y 为某一确定值时 可通过解方程 来求出相应的自变量 x 值 其二 可以利用函数图象来找出相应方程的根 2 二次函数的图象与 x 轴的交点情况同一元二次方程的根的情况之间的关系 议一议议一议 观察图中的抛物线与 x 轴的交点情况 你能得出相应方程的根吗 1 方程 x2 x 2 0 的根是 x1 2 x2 1 2 方程 x2 6x 9 0 的根是 x1 x2 3 3 方程 x2 x 1 0 无实数根 归纳归纳 一般地 从二次函数 y ax2 bx c 的图象可知 1 如果抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴有公共点 x0 0 那么 x0就是方程 ax2 bx c 0 的一个根 抛物线与 x 轴的三种位置关系 没有公共点 有一个公共点 有两个公共点 这对应着一元 二次方程根的三种情况 没有实数根 有两个相等的实数根 有两个不等的实数根 三 三 反馈练习反馈练习 1 已知 抛物线 y x2 2x 1 它与 x 轴的交点坐标为 0 21 0 21 解析解析 解方程 x2 2x 1 0 得 x 21 W 3 2 已知方程 2x2 3x 5 0 的两根是 2 5 1 则二次函数 y 2x2 3x 5 的图象与 x 轴的两个交 点间的距离为 2 7 解析解析 根据题意知抛物线 y 2x2 3x 5 与 x 轴的两个交点坐标为 2 5 0 1 0 这两个交点间的距离为 2 5 1 2 7 3 抛物线 y x2 2kx 2 与 x 轴交点的个数为 C A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 以上都 不对 解析解析 2k 2 4 1 2 4k2 8 0 抛物线与 x 轴有两个不同的交点 4 如图是二次函数 y ax2 bx c 的图象 根据图象知 方 程 ax2 bx c 1 0 根的情况是有两个相等的实数根 解析解析 方程 ax2 bx c 1 的两实根相等 5 抛物线 y ax2 2ax a2 2 的一部分图象如图所示 那么 该抛物线在 y 轴右侧与 x 轴交点的坐标为 B A 2 1 0 B 1 0 C 2 0 D 3 0 解析解析 1 2 2 a a 此抛物线的对称轴为 x 1 又 两交点关于对称轴 x 1 对称 另一交点坐标必为 1 0 活动方略 学生独立思考 独立解题 教师巡视 指导 并选取两名学生上台书写解答过程 或用投影仪展示学生的解答过 程 设计意图 检查学生对所学知识的掌握情况 四 四 应用拓展应用拓展 例例 1 已知二次函数 y 2x2 4 4k 1 x 2k2 1 的图象与 x 轴交于两点 求 k 的取值范围 解析解析 此函数的图象与 x 轴交于两点 方程 2x2 4 4k 1 x 2k2 1 0 有两个不同的 根 一定大于 0 故可求 k 的取值范围 W 4 解 根据题意知 0 即 4k 1 2 4 2 2k2 1 0 解得 k 8 9 点评点评 根据交点的个数来确定 的正 负是解题关键 故要熟悉它们之间的对应关系 类型之三 根据一元二次方程根的情况来判断抛物线与 x 轴的交点情况 例例 2 已知抛物线 y x2 2k 1 x k2 k 1 求证 此抛物线与 x 轴有两个不同的交点 2 当 k 0 求此抛物线与坐标轴的交点坐标 解析解析 1 证明方程 x2 2k 1 x k2 k 0 有两个不相等的实数根即可 2 通过解方程 求值即可 解 1 2k 1 2 4 k2 k 8k2 1 0 方程 x2 2k 1 x k2 k 0 有两个不相等的实数根 抛物线与 x 轴总有两个不同的交点 2 当 k 0 时 原抛物线 y x2 x 由 x 0 得 y 02 0 由 x2 x 0 得 x1 0 x2 1 此抛物线与 y 轴的交点坐标为 0 0 与 x 轴的交点坐标为 0 0 1 0 点评点评 1 注意利用 值 判断二次方程 ax2 bx c 0 的根的情况 判断y ax2 bx c 与 x 轴交点的个数 2 了解抛物线与坐标轴交点的求法 活动方略 教师活动 操作投影 将例题显示 组织学生讨论 学生活动 合作交流 讨论解答 设计意图 使学生进一步理解二次函数在日常生活中的应用 五 五 小结作业小结作业 1 问题 本节课你学到了什么知识 本节课所学知识 1 二次函数 y ax2 bx c a 0 与二次方程之间的关系 当 y 为某一确定值 m 时 相应的自变量 x 的值就是方程 ax2 bx c m 的根 2 若抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴的交点为 x0 0 则 x0是方程 ax2 bx c 0 的根 W 5 2 作业 课本 P17 习题 26 2 第 1 4 6 题 活动方略 教师引导学生归纳小结 学生反思学习和解决问题的过程 学生独立完成作业 教师批改 总结 设计意图 加深