自动控制原理（第2版） 第5章频率响应法(2)

自动控制原理 大连民族学院机电信息工程学院 五章 频率响应法 连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 对 数 坐 标 图 对数频率特性曲线由对数幅频曲线和对数相频曲线两张图组成，是工程中广泛使用的一组曲线。它又称为伯德曲线或伯德图。 伯德图表示的频率特性的主要优点： 在研究频率范围很宽的频率特性时，缩小了比例尺，在一张图上，既画出了频率的中、高频频率段，有能清楚地画出其低频段； 它可以把幅频特性的乘除运算转换为加减运算，可以大大简化绘制系统频率特性的工作。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 对数幅频曲线 对数相频曲线 横坐标按 度，单位为弧度 /秒（ s），纵坐标是将幅频 A() 取常用对数并乘以 20，作为纵坐标，用L() 线性分度，单位是分贝 ( 对数相频曲线的纵坐标按() 线性分度，单位为度( ),横坐标按 度，单位为弧度 /秒（ s） ( ) 2 0 l g ( )横轴坐标原点不能为 0 十倍频程，用符号 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 典型因子的伯德图 采用对数坐标图的主要优点是绘制频率响应曲线比较容易。在一个任意的传递函数中，最常出现的基本因子是： (1) 比例 (子 K (2) 一阶因子 (or (3) 积分 (微分因子 (4) 二阶因子 (or (5) 滞后因子 (1(1 j )T j ) j ( j ) 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 ！串联 2()1()12()1()(比例环节 一阶微分环节 二阶微分环节 积分环节 惯性环节 振荡环节 延迟环节 纯微分环节 典型环节 ( 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 1. 比例因子 K 的水平线，它的相角为 0 。 改变开环频率特性表达式中 使开环对数幅频特性升高或降低一个常量，但不影响相角的大小。 显然，在以 数与它的倒数之间只差一个符 号，即 2 0 l g d 自动控制原理 2. 一阶因子 一阶因子 的对数幅频和相频表达式分别为 1(1 j )T r c t a n)( 其中 当 时，略去上式中的 项，则得L()20 21)(1(1 j )T 这表示 L()的低频渐近线为 0 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 当 时，略去式中的 1，则得 可见， L()高频部分的渐近线是一条斜率为 20dB/输入信号的频率每增加十倍频程时对应输出信号的幅值便下降 20 两条渐近线相交点的频率 称为转折频率 (转角频率 ) 。 低通滤波器 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 在高于转折频率 的一倍频程处即 最大的幅值误差产生在转折频率 处，它近似等于 3是因为 2 0 l g 1 1 2 0 l g 1 3 . 0 3 d B 又如在 处，其误差为 12 0 l g 1 2 0 l g 1 0 . 9 7 d 122 0 l g 1 2 2 0 l g 2 0 . 9 7 d B 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 由于 与 互为倒数，因而它们的对数幅频和相频特性只相差一个符号，即有 1(1 j )T 12 0 l g 1 j 2 0 l 1a r g ( 1 j ) a r g ( )1 (1 j )T大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 G(s)= 1 100 G(s)= s+5 10 1 () 00 40 20 20 100 惯性环节 L() 26o - 30o - 45o - 60o - 90o 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 G(s)= G(s)= (L()0 1 00 40 20 20 100 一阶微分环节 L() 0o +30o + 45o + 60o + 90o +20 +20 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 3. 积分、微分因子 的对数幅频和相频特性的表达式分别为 1( j ) j90)(2 0 l g 1 0 2 0 d B 2 0 l g 因而 是一条斜率为 的直线。 2 0 d B / d e c同理， 的对数幅值表达式为 j 是一条斜率为 的直线。 因子的相角恒为 90 。 2 0 /d B d e c j大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 ( a ) ( j )- 1的伯德图 ( b ) j 的伯德图 由图可见， 和 伯德图的差异是两者幅频特性的斜率和相角都相差一个符号。在 时它们的对数幅值都为 0 1/ j j1大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 且在 处， 如果传递函数中含有 的因子，则它的对数幅频表达式分别为 ( ( ) 2 0 l g 2 0 l g 2 0 l g( j ) 90)( 是一簇斜率为 的直线 1 KL d ec/v不同斜率的直线通过 01)(大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 积分环节 L() G(s)= 1 s G(s)= 10 s 1 G(s)= 5s 10 1 () 00 40 20 20 100 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 G(s)= s G(s)= 2s G(s)= 0 1 () 00 40 20 20 100 +20 +20 +20 纯微分环节 L() 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 4. 二阶因子 121 2 j ( j ) 221( j )1 j 2其中 。如果 ，那么该二阶因子可以用两个具有实数极点的一阶因子的乘积表示。 1 1如果 ，则该二阶因子可以用两个共轭复数因子的乘积表示。对于阻尼比 比较小的二阶因子，其频率响应曲线的渐近线近似表示是不精确的。这是因为二阶因子的幅值和相角不仅与转角频率有关，还于阻尼比 有关。 10 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 0在低频时，即 1n在高频时，即 1n 20)( 2 ( ) 2 0 l g 1 0 d 2222)2()1( 4 0 l g 4 0 l g 1 0 d 因为在 时 n 所以高频渐近线方程是一条斜率为 40dB/ 高频渐近线与低频渐近线在 处相交。这个频率就是上述二阶因子的转折频率。 n 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 上面导出的两条渐近线都是与 值无关的。然而当频率接近 时，将会产生谐振峰值。阻尼比 确定了谐振峰值的大小。显然，当用渐近直线来近似表示时，必然产生误差。误差的大小与 值有关。 n 值越小，对数幅频曲线的峰值就越大，它们渐近线之间的误差也就越大。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 221( j )1 j 2在什么条件下，其幅值会有峰值出现，这个峰值和相应的频率应如何计算。 22221( j )(1 ) ( 2 )2222)2()1()( 如果 在某一频率上具有峰值时，则该频率称为 谐振频率 。因为 的分子为常数，所以当 达到最小值时， 将达到峰值。 ( j )G ( j )G )(g( j )G 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 22 2 2222( 1 2 )( ) 4 ( 1 ) 2222)2()1()( 所以 的最小值发生在 处。因此，谐振频率为 )(g 212n 212 7 0 21 0 0 . 7 0 721 ，当 时，不产生谐波峰值。 当 趋近于零时， 。 自动控制原理 二阶因子的相频特性表达式为 相角 是 和 的函数。当 =0时，相角等于 0 ； 而 =管 值的大小相角总是等于 90 。 当 时，相角等于 180 。 由于因子 与上述振荡环节的频率特性互为倒数关系，因而它们的对数幅值和相角与上述的震荡环节都只差一个符号。 222/( ) a r c t a 21 2 ( j )大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 振荡环节 L() 10 1 () 00 40 20 20 100 2222大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 5. 滞后因子 j( j ) e 1G )(滞后因子的幅频和相频表达式分别为 由此可知，它的对数幅频特性为一条 0相角 与频率 呈线性关系。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 绘制开环系统伯德图的一般步骤 设系统的开环传递函数为 )()()()( 21 n则其对应的对数幅频和相频特性分别为 1212( ) 2 0 l g ( j ) 2 0 l g ( j ) 2 0 l g ( j )( ) a r g ( j ) a r g ( j ) a r g ( j ) G G 要作出 所含各因子的对数幅频和相频特性曲线，然后对它们分别进行代数相加，就能画出开环系统的伯德图。显然，这样做既不便捷又浪费时间。 ( j )G 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 为此，工程上常用下述方法，直接画出开环系统的伯德图，其步骤如下： (1)写出开环频率特性的表达式，把其所含各因子的转折频率由小到大依次标在频率轴上。 (2)绘制开环对数幅频曲线的渐近线。渐近线由若干条分段直线组成，其低频段的斜率为 ，其中 处， 。以低频段作为分段直线的起始段，从它开始，沿着频率增大的方向，每遇到一个转折频率就改变一次分段直线的斜率。 2 0 d B / d e KL 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 如遇到 因子的转折频率 ，当 时，分段直线斜率的变化量为 ；如遇到 因子的转折频率 ，当 时，分段直线斜率的变化量为 ，其他因子用类似的方法处理。分段直线最后一段是开环对数幅频曲线的高频渐近线，其斜率为 。 (3) 作出以分段直线表示的渐近线后，如果需要，再按照各典型因子的误差曲线对相应的分段直线进行修正，就可得到实际的对数幅频特性曲线。 (4) 作相频特性曲线。根据开环相频特性的表达式，在低频，中频及高频区域中各选择若干个频率进行计算，然后连成曲线。 11(1 j )T 1/1 d B / d e c11 T2(1 j )T 2/1 2 0 d B / d e c2 0 ( ) d B / d e 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 例 5已知一反馈控制系统的开环传递函数为 试绘制开环系统的伯德图 (幅频特性用分段直线表示 )。 )0)()(1 0 1 j )j 1 解： 系统的开环频率特性为 由此可知，该系统是由比例、积分、一阶比例微分和惯性环节所组成。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 它的对数幅频特性为 22101 10a r c t a r c t a 1 d B / d e c12 0 l g 1 0 2 0 d B22 0 d B / d e c 4 0 d B / d e c104 0 d B / d e c2 0 d B / d e c大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 )s(s)s(.)s(s / ( L 10 0 40 60 20 +20 60 20 60 连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 最小相位系统与非最小相位系统 凡在右半 为非最小相位系统。反之为最小相位系统。 定义 : 对于最小相位系统，根据系统的对数幅频特性就可以 唯一地 确定相应的相频特性和传递函数。因此，从系统建模与分析设计的角度看，只要绘出系统的幅频特性，就可以确定出系统的数学模型（传递函数）。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 通过一个例子说明这两种系统相频特性的差异。 设有 a和 们的传递函数分别为 11)(120 它们的零点一个在个在 ( a ) ( b ) 这两个系统的极点完全相同，且位于 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 它们的频率特性分别为 21211j( j )1j )1由于 ，所以两个系统的幅频特性完全相同。而它们的相频特性表达式分别为 221 j 1 1212a r c t a na r c t a n)(a r c t a na r c t a n)(大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 最小相位系统的相位变化量总是小于非最小相位系统的相位变化量，这就是“ 最小相位 ”名称的由来。从波德图上看，一个对数幅频特性所代表的环节，能给出最小可能相位移的，称为最小相位环节，不给出最小相位移的，称为非最小相位环节。 最小相位系统的 对数幅频 特性和 相频 特性曲线的 变化趋势 基本相一致，这表明它们之间有着一定的内在关系。对于最小相位环节（或系统） 当给出了环节（或系统）的幅频特性时，也就决定了相频特性；或者，给定了环节（或系统）的相频特性，也就决定了幅频特性。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 对于非最小相位系统，它的对数幅频和相频特性曲线的变化趋势并 不完全一致 ，两者之间不存在着唯一的对应关系。因此对于非最小相位系统，只有知道了它的对数幅频和相频特性曲线后，才能正确地估计出系统的传递函数。 当 时，虽然最小相位系统和非最小相位系统对数幅频特性的斜率都为 ，但前者的相位 ，而后者的相位为 。 这个特征一般可用于判别被测试的系统是否是最小相位系统 。 2 0 ( ) d B / d e )(90)( )(90 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 系统的类型与对数幅频特性曲线低频渐近线的对应关系 对数幅频特性的低频段是由因式 来表征的。我们知道，系统的类型是按照积分环节数的数值来划分的。对实际的控制系统，通常为 0、1或 2。下面用具体的例子说明系统的类型与对数幅频特性曲线低频渐近线斜率的对应关系及开环增益 ( j )K大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 设 0型系统的开环频率特性为 ( j )1则其对数幅频特性的表达式为 2)1(1 由图可见， 0型系统的对数幅频特性低频渐近线为一条 对应的增益 20101. 0型系统 大连民族学院