自动控制原理（第2版） 第4章根轨迹法(3)

自动控制原理 大连民族学院机电信息工程学院 四章 根轨迹法 连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 参量根轨迹的绘制 在绘制根轨迹时，如果可变参数不是根轨迹增益而是其他参数 (例如，某一校正元件的时间常数 )，则所得的根轨迹称为 参量根轨迹 。 绘制参数根轨迹的法则与绘制常规的根轨迹的法则完全相同。在绘制参数根轨迹之前，引入 等效单位反馈系统 和 等效传递函数 概念，则常规根轨迹的所有绘制法则，均适用于参数根轨迹的绘制。为此，需要对闭环特征方程 1 ( ) ( ) 0G s H s大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 进行等效变换，将其写成如下形式 () 1()其中 外，系统 任意的变化参数 ，而 和 为两个与 然 0)()(1)()( )()()()(11 )(等效”的含义仅在闭环极点相同这一点上成立，而闭环零点一般是不同的。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 例 4一双闭环控制系统的框图如图所示，试绘制以 为参变量的根轨迹。 解：系统的开环传递函数为 4()( 1 2 )04)21(2 04212 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 1 22()4 1 1 5 1 1 5 2 2s K 其中， 的极点为 ，零点为 0。，不难证明该系统根轨迹的复数部分为一圆弧，其方程为 。 )(2 1 1 1 5222 2 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 例 4一单位反馈控制系统如图所示，试绘制以 为参变量的根轨迹。 解：系统的闭环特征方程为 02 令 ，则上式变成 0a 02 01 2 201 )( 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 据此做出 对应的根轨迹。这是 时，以 2、其次考虑 ，把闭环特征方程改写成 )(01 a0 202 )(比较 ，可知 的开环极点就是 对应的闭环极点，因而 对应根轨迹的起点都在 的根轨迹曲线上。为了做出 对应的根轨迹，通常先令 后根据 零、极点的分布做出参变量 时 的根轨迹。 )()( 0201 )(02 01 (02 01 02 02 0由自动控制原理 如令 K=4，则 4)( 202 点为 0。不难证明，对应特征方程的根轨迹也为一圆弧，其方程为 222 2 ( a ) a = 0 , 0 K ( b ) 根轨迹簇 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 非最小相位系统的根轨迹 非最小相位系统： 在平面右半平面具有开环极点(或零点 )的反馈系统 最小相位系统： 若反馈系统的全部开环极点与零点均位于平面左半平面 在控制工程中出现非最小相位系统，通常有如下三种情况。 (1) 系统中存在局部的 正反馈 回路。 (2) 系统中含有 非最小相位元件 。 (3) 系统中含有 滞后 环节。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 正反馈回路的根轨迹 在某些控制系统中，其内环可能是一个正反馈内回路，如下图所示。当具有正反馈内回路的控制系统不稳定时，其传递函数中就有极点在 里仅讨论正反馈内回路部分根轨迹的绘制。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 图中所示内回路的闭环传递函数为 )()(1)()()(相应的特征方程为 0)()(1 1)()( 反馈回路根轨迹的幅值条件与负反馈回路完全相同，但其相角却变为 a r g ( ) ( ) 2 0 , 1 , 2 ,G s H s k k ，基于上式所示的相角的特点，因而称相应的根轨迹为 零度根轨迹 。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 在 绘制零度根轨迹 时，需要对 规则 3 实轴上线段成为根轨迹的充要条件 (K0)是该线段右方实轴上开环零点与极点之和为偶数。 规则 4 渐近线与实轴的夹角为 2 0 , 1 , 2 ,k ，规则 6 开环共轭极点的出射角与开环共轭零点的入射角为 112i j 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 系统中含有非最小相位元件 在绘制系统中含有非最小相位元件的根轨迹时，必须注意开环传递函数 (分母或分子 )中是否含有 有，则根轨迹的相角条件就变为由下式去表征，因而所绘制的将是零度根轨迹。 a r g ( ) ( ) 2 0 , 1 , 2 ,G s H s k k ，设一非最小相位系统如下图所示 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 00(1 ) ( 1 )a r g a r g( 1 ) ( 1 )( 2 1 ) 0 , 1 , 2 ,K s K ss s s ，即 0 ( 1 )a r g 2 0 , 1 , 2 ,( 1 )Ks ，不难证明，由上式做出的根轨迹的复数部分为一圆周，其方程为 222 )2()1( 计算求得根轨迹与虚轴的交点为 应地， 。这表明当 时，该系统为不稳定。 1由相角条件得 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 滞后系统的根轨迹 包含时间滞后环节的系统，称为滞后系统，它也属于非最小相位系统。由于滞后环节的存在，使相位系统的根轨迹具有明显的特点。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 ( ) ( ) e( ) 1 ( ) ( ) s K G sR s K G s H s 相应地，闭环特征方程式为 1 ( ) ( ) e 0 s H s 令 代入上式，据此，求得滞后系统根轨迹 1( ) ( ) eG s H a r g ( ) ( ) ( 2 1 ) 0 , 1 , 2 ,G s H s k k ，幅值条件 相角条件 闭环传递函数为 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 如果延迟时间 很小， 则 可近似地表示为 1 e s5443322154433221)()()()(21)()()