自动控制原理（第2版） 第3章控制系统的时域分析法(3)

大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第 3章 控制系统的时域分析法 第三章线性系统的时域分析 of 连民族学院机电信息工程学院 连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第 3章 控制系统的时域分析法 性系统的稳定性分析 of 1 系统稳定的充要条件 2 系统稳定的必要条件 3 劳斯稳定判据 4 赫尔维茨判据 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第 3章 控制系统的时域分析法 线性控制系统稳定性的定义为： 线性控制系统在初始扰动影响下，若其动态过程随时间推移逐渐衰减 (趋于零 (或原平衡工作点 )，则称系统是 渐进稳定 ，简称稳定； 若在初始扰动下，其动态过程随时间推移而发散，则称系统 不稳定 ； 若在初始扰动下，其动态过程随时间的推移虽不能回到原平衡点，但可以保持在原工作点附近的某一有限区域内运动，则称系统 临界稳定 。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第 3章 控制系统的时域分析法 线性系统的 稳定性 取决于系统的 固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。稳定性是系统的 固有 特性，是扰动消失后系统自身的恢复能力。 常用的稳定判据： 代数判据（ 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第 3章 控制系统的时域分析法 统稳定的充要条件 （ 如果脉冲响应函数是收敛的，即有 表示系统能回到原来的平衡状态，因而系统是稳定的。由此可见，系统的稳定与其脉冲响应函数收敛是一致的。 如果 则系统是不稳定的。 如果 则系统是临界稳定的。 0)( )( 自动控制原理 第 3章 控制系统的时域分析法 由于单位理想脉冲函数的拉氏变换等于 1，所以系统的 复域脉冲响应函数 C(s)就是系统的闭环传递函数。 令系统的闭环传递函数含有 其传递函数可写为 ()()()(式中， 2大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第 3章 控制系统的时域分析法 上式用部分分式展开，得 系统的 时域脉冲响应 为 2211( ) e ( e c o s 1 e s i n 1 )j k n k k n kq k n k k k n k t A B t C t rk 1)()(若系统的特征根全部为负实部根，则 成立，系统稳定； 若系统有一个或一个以上的正实根或实部为正的共轭复根，式 成立，系统不稳定； 若系统有一个或一个以上的零实部根，其余的特征根具有负实部， 成立，系统临界稳定。 工程上，将临界稳定也视为不稳定。 0)( )( 自动控制原理 第 3章 控制系统的时域分析法 线性系统稳定的充分必要条件 是： 闭环系统特征方程的所有根均具有负实部。或者说，闭环传递函数的极点均严格位于 注意： 对于稳定的线性系统，当输入信号有界时，系统输出必为有界函数。 对于不稳定的线性系统而言，在有界输入信号作用下，系统的输出信号将随时间的推移而发散。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第 3章 控制系统的时域分析法 系统稳定的必要条件 定理：若系统的特征方程为 则系统稳定的必要条件是 （ 依系数判稳） ： 特征方程式无零系数，且各项系数均为正值。 01110 00 自动控制原理 第 3章 控制系统的时域分析法 证明： 设 为实数根。 、 、 为复数根。其中， 和 、 、 都为正值 (符合充要条件），则式 (3写为 即 11 j 22 j1 20 1 2 1 1 1 12 2 2 2 ( ) ( ) ( j ) ( j ) ( j ) ( j ) 0a s p s p s 0)2()2()(222222212112210自动控制原理 第 3章 控制系统的时域分析法 因为上式等号左方所有因式的系数都为正值，所以它们相乘后 必然仍为正值且不会有系数为零项。 反之，若方程式中有一个根为正实根，或一对实部为正的复数根，则由式 (3知，对于方程式 的系数不会全为正值，即一定会有负系数项或缺项出现。 然而， 这一条件是不充分的 ，因为各项系数为正数的系统特征方程，完全有可能拥有正实部的根。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第 3章 控制系统的时域分析法 不难证明，对于一阶和二阶线性定常系统，其特征方程式的各项系数全为正值是系统稳定的充分和必要条件。 但是对三阶以上的系统，特征方程式的各项系数均为正值仅是系统稳定的必要条件，而非充分条件。 04045 23 6 6 4 3 j 0 5 4 5 7 0 9 ,- 2 , 31 自动控制原理 第 3章 控制系统的时域分析法 劳斯稳定判据 (s 由于控制系统稳定的充要条件是其特征根均需具有负实部，因而对系统稳定性的判别就变成求解特征方程式的根，并检验所求的根是否都具有负实部的问题。 由于求解高阶系统根的工作量很大，所以我们希望有一种不用求解特征方程的根，而是 根椐特征方程式的根与其系数间的关系去判别特征根实部的符号 （间接的方法）。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第 3章 控制系统的时域分析法 设系统的特征方程式为 将上式中的各项系数，按下面的格式排成劳斯表 0122110 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第 3章 控制系统的时域分析法 由劳斯表的结构可知，劳斯表有 行，第一、二行各元素是特征方程的系数，以后各元素按劳斯表的规律求取。 列表规律： )1( 母总是上一行第一个元素 4 一行可同乘以或同除以某正数 2 次对角线减主对角线 1 右移一位降两阶 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第 3章 控制系统的时域分析法 劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化，去判别特征方程式的根在 结论是： (1) 如果劳斯表中第一列系数严格为正，则其特征方程式的根都在 应的系统是稳定的。 (2) 如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，则系统不稳定，且符号变化的次数等于该特征方程式的根在右半 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第 3章 控制系统的时域分析法 例 3已知三阶系统特征方程为 判断系统稳定的充要条件。 解： 列劳斯表为 根据劳斯判据，系统稳定要求劳斯表第一列系数均为正值，所以系统稳定的充要条件是各系数大于零，且 bc 023 连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第 3章 控制系统的时域分析法 例 3设系统特征方程为 使用劳斯判据判断系统的稳定性，如果不稳定求出该特征方程的正实部根的数目。 解： 列劳斯表如下 因劳斯列表第一列元素符号变化两次，所以该系统不稳定，有两个正实部根。 05432 234 j 0 . 8 5 7 9 + - 1 . 2 8 7 84 1 6 1 , j+ 0 7 8 3 , 42,1 自动控制原理 第 3章 控制系统的时域分析法 两种特殊情况： (1)劳斯表中 某行第一项元素等于零 ，而该行的其余各项不等于零或没有余项，这种情况的出现会使计算下一行第一元素时出现无穷现象。 解决的办法是： 以一个很小的正数 代替为零的该项，继续劳斯表的列写。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第 3章 控制系统的时域分析法 若劳斯表 第一列 的系数符号有变化，其变化的次数就等于该方程在 应的系统为不稳定。 如果第一列 上面的系数与其下面的系数符号相同，则表示该方程有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。 022 23 自动控制原理 第 3章 控制系统的时域分析法 例 3设系统的特征方程为 试用劳斯判据确定该方程的根在平面上的 具体分布 。 解： 基于方程中 稳定的必要条件可知，该方程至少有一个根位于 应的系统为 不稳定 。为了确定该方程的根在 据方程排出下列的劳斯表 0233 00310123大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第 3章 控制系统的时域分析法 由上表可见，其第一列 项上面与下面的符号变化了两次。根据劳斯判据，可知该方程有两个根在 若用因式分解的方法，把原方程改写为 由上式解得 =1， 2，从而验证了上式用劳斯判据所得的结论的正确性。 0)2()1(23 23 自动控制原理 第 3章 控制系统的时域分析法 (2) 如果劳斯表中 出现全零行 ，则 表示相应的方程中含有一些大小相等、符号相反的实根 ( (或 )共轭虚根。 解决的办法是： 可利用系数全零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并将这个辅助多项式求导，用导数的系数来代替表中系数为全零的行。 如此，继续计算其余的项，完成劳斯表的排列。 辅助多项式的次数通常为偶数，它表明大小相等、符号相反的根数，而且这些根可利用辅助多项式求出。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第 3章 控制系统的时域分析法 例 3系统的特征方程为 试判稳。 解： 劳斯表如下： 044732 23456 06400043)(431431472101233324456自动控制原理 第 3章 控制系统的时域分析法 用系数为 4和 6代替 元素，并继续往下计算其他行的元素，完成劳斯表的排列。由劳斯列表第一列元素符号变化一次，可知有一个正实部根， 系统不稳定 。 由 P(s)=0得 求得两对大小相等、符号相反的根为 ，显然，这个系统是处于 不稳定状态 。 043 24 s 3 , 4 2j、大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第 3章 控制系统的时域分析法 补 1 系统特征方程 s+7=0 劳 斯 表 s6 s5 s0 s1 s2 s3 2 4 6 3 5 7 (6 4)/2=1 1 (102=2 2 7 0 (61= 8 1 2 劳斯表特点 系统不稳定 7 7 7 - 2 +8 +8) - 7 劳斯判据的补充习题 劳斯表出现零元素 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第 3章 控制系统的时域分析法 劳斯表出现零行补 2 设系统特征方程为： s+6=0 劳 斯 表 s0 s1 s2 s3 1 7 5 6 1 16 6 0 1 劳斯表何时会出现零行 ? 2 出现零行怎么办 ? 3 如何求对称的根 ? 由零行的上一行构成 辅助方程 : 有大小相等符号相反的 特征根时会出现零行 =0 对其求导得零行系数 : 2 1 1 继续计算劳斯表 1 第一列全大于零 ,所以系统稳定 错啦 ! 由综合除法可得另两个根为 = 3 解辅助方程得对称根 : = j 劳斯表出现零行系统 一定 不稳定 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第 3章 控制系统的时域分析法 劳斯判据还可以用来判别代数方程式中位于平面上给定垂线 的右侧根的数目。 只要令 并代入原方程中，得到以 为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂直线 的右侧。 用此法可以估计一个稳定系统的各个根中最靠近右侧的根距虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”。 1 s相对稳定性和稳定裕度（劳斯判据的应用） 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第 3章 控制系统的时域分析法 例 3用劳斯判据检验下列特征方程 是否有根在 检验有几个根在垂直线 s=1的右方。 解： 列劳斯表 由于劳斯表的第一列系数全为正值，因而该特征方程式的根全部位于 应的系统是稳定的。 0413102 23 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第 3章 控制系统的时域分析法 令 s = z1代入特征方程，经化简后得 因为上式中的系数有负号，所以方程必然有根位于直线 s=1的右方。列出以 由上表可见，第一列的符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直线 s=1的右方。 0142 23 自动控制原理 第 3章 控制系统的时域分析法 劳斯判据的应用 单位反馈系统开环传递函数如下，确定使系统稳定的 )4)(1()(自动控制原理 第 3章 控制系统的时域分析法 赫尔维兹判据 该判据也是根据特征方程的系数来判别系统的稳定性。设系统的特征方程为 以特征方程式的各项系数组成如下行列式 0122110 234567012345012301000000大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第 3章 控制系统的时域分析法 赫尔维兹判据： 系统稳定的 充分必要条件 是 在 的情况下，上述行列式的各阶主子式 均大于零，即 00 000034512301330212301211234567012345012301000000大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理