概率统计常见题型及方法总结

常见大题 1 全概率公式和贝叶斯公式问题 B 看做 结果 有多个 原因或者条件 可以导 i A 致 B 这个 结果 发生 考虑结果 B 发生的概率 或者求在 B 发生的条件下 源于某个原因 的概率 i A 问题 全概率公式 1 B n ii i P BP A PA 贝叶斯公式 1 n iiijj j P A BP A P B AP A P B A 一 12 分 今有四个口袋 它们是甲 乙 丙 丁 每个口袋中都装有只红球和只白ab 球 先从甲口袋中任取一只球放入乙口袋 再从乙口袋中任取一只球放入丙口袋 然后再 从丙口袋中任取一只球放入丁口袋 最后从丁口袋中任取一球 问取到红球的概率为多少 解 表示从第 个口袋放入第个口袋红球 i Bi1 i4 3 2 1 i 表示从第 个口袋中任取一个球为红球 2 分 i Ai 则 2 分 ba a BP 1 1111111 BAPBPBAPBPAP 2 分 11 1 ba a ba b ba a ba a ba a 依次类推 2 分 ba a AP i 二 10 分 袋中装有只正品硬币 只次品硬币 次品硬币的两面均印有国徽 在袋mn 中任取一只 将它投掷次 已知每次都出现国徽 问这只硬币是次品的概率为多少 r 解 记 取到次品 取到正品 将硬币投掷次每次都出现国徽 BBAr 则 分 nm P BP B mnmn 1P A B 1 2r P A B 1 2 1 2 1 2 r r r n P B P A Bn mn P B A nm nmP B P A BP B P A B mnmn 三 三 三 101010 分 分 分 一批产品共一批产品共一批产品共一批产品共 100100100100 件 其中有件 其中有件 其中有件 其中有 4 4 4 4 件次品 其余皆为正品 现在每次从中任件次品 其余皆为正品 现在每次从中任件次品 其余皆为正品 现在每次从中任件次品 其余皆为正品 现在每次从中任 取一件产品进行检验 检验后放回 连续检验取一件产品进行检验 检验后放回 连续检验取一件产品进行检验 检验后放回 连续检验取一件产品进行检验 检验后放回 连续检验 3 3 3 3 次 如果发现有次品 则认为这批产品不次 如果发现有次品 则认为这批产品不次 如果发现有次品 则认为这批产品不次 如果发现有次品 则认为这批产品不 合格 在检验时 一件正品被误判为次品的概率为合格 在检验时 一件正品被误判为次品的概率为合格 在检验时 一件正品被误判为次品的概率为合格 在检验时 一件正品被误判为次品的概率为 0 050 050 050 05 而一件次品被误判为正品的概率 而一件次品被误判为正品的概率 而一件次品被误判为正品的概率 而一件次品被误判为正品的概率 为为为为 0 010 010 010 01 1 1 1 1 求任取一件产品被检验为正品的概率 求任取一件产品被检验为正品的概率 求任取一件产品被检验为正品的概率 求任取一件产品被检验为正品的概率 2 2 2 2 求这批产品被检验为合格品的 求这批产品被检验为合格品的 求这批产品被检验为合格品的 求这批产品被检验为合格品的 概率 概率 概率 概率 解解解 设设设设 表示表示表示表示 任取一件产品被检验为正品任取一件产品被检验为正品任取一件产品被检验为正品任取一件产品被检验为正品 表示表示表示表示 任取一件产品是正品任取一件产品是正品任取一件产品是正品任取一件产品是正品 则 则 则 则AB 96 100 P B 4 100 P B 0 95P A B 0 01P A B 1 1 1 1 由全概率公式得 由全概率公式得 由全概率公式得 由全概率公式得 0 9124P AP B P A BP B P A B 2 2 2 2 这批产品被检验为合格品的概率为 这批产品被检验为合格品的概率为 这批产品被检验为合格品的概率为 这批产品被检验为合格品的概率为 3 3 0 91240 7596pP A 四 在电报通讯中不断发出信号 0 和 1 统计资料表明 发出 0 和 1 的概 率分别为 0 6 和 0 4 由于存在干扰 发出 0 时 分别以概率 0 7 和 0 1 接收到 0 和 1 以 0 2 的概率收为模糊信号 发出 1 时 分别以概率 0 85 和 0 05 收到x 1 和 0 以概率 0 1 收到模糊信号 x 1 求收到模糊信号 的概率 x 2 当收到模糊信号 时 以译成哪个信号为好 为什么 x 解解 设 发出信号 收到信号 由题意知 i Ai 1 0 i i Bi 1 0 xi 6 0 0 AP4 0 1 AP2 0 0 ABP x 1 0 1 ABP x 1 由全概率公式得 4 分 1100 APABPAPABPBP xxx 2 分16 0 4 01 06 02 0 2 由贝叶斯公式得 3 分75 0 16 0 6 02 0 00 0 x x x BP APABP BAP 3 分 25 0 75 0 1 1 01 xx BAPBAP 2 随机变量函数的分布及其边缘密度及其独立性的判断随机变量函数的分布及其边缘密度及其独立性的判断 记住如下知识点 记住如下知识点 常见分布律和概率密度 常见分布律和概率密度 一般正态分布的计算转化为标准正态分布去做 连续随机变量连续随机变量 X 二维随机变量的分布函数 联合密度 掌握如下解决随机变量函数分布的解题方法 对于二维随机变量函数的概率密度 注意 除了求随机变对于二维随机变量函数的概率密度 注意 除了求随机变 量量 Z X Y 的密度函数用公式 的密度函数用公式 Z fzf x zx dxf zy y dy 注意 注意 先写出联合密度先写出联合密度 根据联合密度写出 根据联合密度写出 y f x 或者或者 f x zx f zy y 在平面在平面 x0z 或者或者 y0z 上画出被积函数上画出被积函数不为零的区不为零的区 f x zx 域 然后穿线通过区域确定域 然后穿线通过区域确定 x 的上下限 的上下限 他的函数他的函数 Z g X Y 的概率密度 只能使用分布函数法的概率密度 只能使用分布函数法 其步骤如下 其步骤如下 第一步第一步 求联合密度求联合密度 根据联合密度写出 根据联合密度写出 y f x 或者或者 f x zx f zy y 第二步第二步 求求 z 的分布函数 的分布函数 Z Fz P Zz 2 PXYz g x yz f x y dxdy 难点是画出二重积分的积分区域 然后把二重积分化为二次积分定难点是画出二重积分的积分区域 然后把二重积分化为二次积分定 上下限 上下限 画图 画图 先画出被积函数也就是联合密度非零的区域 再确定区域先画出被积函数也就是联合密度非零的区域 再确定区域 与密度非零区域的重合区域就是二重积分的积分区域 与密度非零区域的重合区域就是二重积分的积分区域 g x yz 穿线定积分限 穿线定积分限 然后左右穿或者上下穿个积分区域定内限 求出分然后左右穿或者上下穿个积分区域定内限 求出分 布函数布函数 第三步第三步 求密度函数 求密度函数 ZZ fzFz 分析 分析 一 设总体服从上的均匀分布 是来自总体的一个样本 最大X 0 1 12 n XXX X 顺序统计量 max 21 nn XXXX 1 求随机变量的概率密度 n X 解 其分布函数为 似似 0 10 1 x xfX 1 1 10 0 0 x xx x xF 而的分布函数为 max 21 nn XXXX max 21 zXXXPzXPzF nnX n 21 zXzXzXP n n zF zFzf nn XX zfzFn n 1 1 n nz 10 z 二 二 二 101010 分 分 分 设二维随机变量设二维随机变量设二维随机变量设二维随机变量的概率密度为的概率密度为的概率密度为的概率密度为 X Y 0 0 y Aexy f x y 其它 1 1 1 1 求常数 求常数 求常数 求常数的值 的值 的值 的值 2 2 2 2 求 求 求 求与与与与的协方差的协方差的协方差的协方差 AXY Cov X Y 解解解 1 1 1 1 由 由 由 由 得 得 得 得 00 1 y y f x y dxdydyAe dxA 1A 2 2 2 2 2 000 1 1 2 y yy E Xxf x y dxdydyxe dxy e dy 3 000 1 3 2 y yy E XYxyf x y dxdydyxye dxy e dy 2 000 2 y yy E Yyf x y dxdydyye dxy e dy 321Cov X YE X E Y 三 16 分 设二维随机变量的概率密度为 YX 其它 0 0 0 yxe yxf yx 1 求边缘密度函数 xfX yfY 2 求边缘分布函数 xFX yFY 3 判断与是否相互独立 XY 4 求 1 YXP 1 X fxf x y dy 当 0 时 0 于是 0 x f x y X fx 当 0 时 x X fx yx x e dye 所以的边缘概率密度为 X X fx 0 0 0 x xe x 的边缘概率密度 Y Y fyf x y dx 当 0 时 0 y Y fy 当 0 时 4 分y Y fy 0 0 0 y ye y 2 其他 0 0 1 ye yF y 4 分 其他 0 0 1 xe xF x 3 独立 4 分 3 4 分 1 2 X1 x y PYf x y dxdy e 四 分 设随机变量的概率密度为 YX 其他 0 0 0 2 2 yxe yxf yx 求随机变量的分布函数 YXZ2 zyx Z dxdyyxfzYXPzF 2 2 当时 0 z0 zFZ 当时 0 z zz z xz yx Z zeedyedxzF 12 0 2 0 2 所以的分布函数为YXZ2 0 1 0 0 zzee z zF zz Z 3 中心极限定理的问题 用正态分布近似计算 共两类 一类是二项分布的近似计算问题 即 Xb n p 1 N np npp 似似 0 1 1 Xnp N npp P aXb bnpanp npqnpq 这个公式给出了这个公式给出了 n 较大时二项分布的概率计算方法 较大时二项分布的概率计算方法 另一类是除二项分布之外的其他分布的独立变量连加 和的计算问题 设 独立同分布 12 n XXX 2 01 2 kk E XD Xkn 近似有连加和服从正态分布 2 1 n i i XN nn 一 14 分 设粮仓内老鼠的数目是一个服从泊松分布的随机变量 且仓内无鼠的概率为 2 e 1 写出随机变量的分布律 2 试用中心极限定理计算 在 200 个同类粮仓内老鼠总数超过 350 只的概率 解 1 5 分 2 X 2 表示任意老鼠个数 由中心极限定理 X 3 分 3 分 2200 2200350 2200 2200 350 X PXP 3 分 2200 2200350 1 二 分 某保险公司多年的统计资料表明 在索赔户中被盗索赔户占 20 以表X 示在随意抽查的 100 个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的数 1 写出的概率分布 X 2 求被盗索赔户不少于 14 户且不多于 30 户的概率的近似值 解 1 2 0 100 bX kkk CkXP 100 100 8 02 0 100 2 1 0 k 2 202 0100 XE16 2 01 2 0100 XD 根据棣莫佛 拉普拉斯中心极限定理 4 2030 4 2014 3014 XD XEX PXP 5 1 5 2 5 2 5 1 XD XEX P 927 01933 0 994 0 1 5 1 5 2 三 10 分 某银行的柜台替每一位顾客的服务时间 单位 分钟 服从参数的指数 1 2 分布 且各位顾客的服务时间是相互独立的 试用中心极限定理计算 对 100 位顾客的总 服务时间不超过 240 分钟的概率 解 设分别表示每一位顾客的服务时间 则它们相互独立相同分布 且 1100 XX 5 分 2 4 ii E XD X 100 100 1 1 100 2 240 100 2 240 2 0 9772 100 4100 4 i i i i X PXP 点估计的问题 矩估计和似然估计点估计的问题 矩估计和似然估计 似然函数的构造 例题分析 一 设总体的概率密度为X 0 似似 xe xf x 是未知参数 是来自的样本 n XXX 21 X 1 求的矩估计量 1 矩估计法 令 1 x EXxedx XEX 1 1 1 X 2 求的最大似然估计量 2 3 判断 是否为无偏估计 1 2 解 最大似然估计法 设为样本的观察值 则 n xxx 21 似然函数为 n i i i xn x n i eeL 1 1 i ni i xnix 1 min 1 似 按似然估计的思想 当 似然函数关于 是增函数 故 i xmin 2 的最大似然估计量为 i Xmin 2似 二 10 分 设为样本 总体的概率密度为 n XXX 21 X 2 ln 2 1 0 2 0 0 x ex f x x x 求参数的最大似然估计量 问它是否为的无偏估计量 解设是相应的样本值 则似然函数为 n xxx 21 n XXX 21 2 1 1 2 ln 2 n i x i i e x L n i x i n n i i ex 1 2 ln 1 21 2 2 n i i n i i x x n L 1 2 1 2 ln ln 2ln 2 ln 令 0 ln d Ld n i i x n 1 ln 1 为无偏估计量 dye y xE n E y n i i 2 1 2 2 ln 1 三 设是总体的样本 的概率密度为 n XXX 21 XX 0 1 x xe xf x 其中 求和的最大似然估计量 0 设是的样本值 则似然函数 n xxx 21 n XXX 21 n i i xfL 1 nixe i x n n i i 2 1 1 1 当 时 令 i xni 2 1 n i i xnL 1 1 lnln 0 ln 0 1ln 1 2 nL n x L n i i 显然 第二个等式是矛盾等式 所以由上述似然方程求不出和 由于 0 ln nL 这表明是的严格递增函数 注意到 因此当L i x ni 2 1 时最大 于是和的最大似然估计值 min 21n xxx L min 21n xxx min 1 21 1 n n i i xxxxx n 于是和的最大似然估计量为 min 21n XXX min 21n XXXX 四 四 四 101010 分 分 分 设总体设总体设总体设总体 X X X 的概率密度为的概率密度为的概率密度为的概率密度为 1 2 x f xex 其中其中其中其中是未知参数 设是未知参数 设是未知参数 设是未知参数 设为总体为总体为总体为总体的样本 的样本 的样本 的样本 0 12 n XXX X 1 1 1 求参数 求参数 求参数 求参数的最大似然估计量的最大似然估计量的最大似然估计量的最大似然估计量 2 2 2 判断 判断 判断 判断是否为是否为是否为是否为的无偏估计量 的无偏估计量 的无偏估计量 的无偏估计量 解解解解 1 1 1 设 设 设 设是是是是的观测值的观测值的观测值的观测值 则似然函数为则似然函数为则似然函数为则似然函数为 12 n x xx 12 n XXX 1 1 1 11 22 n i i nx nx i Lee 1 1 lnln2ln n i i Lnnx 令令令令 得 得 得 得 解得 解得 解得 解得 ln 0 dL d 2 1 1 0 n i i n x 1 1 n i i x n 的最大似然估计量为的最大似然估计量为的最大似然估计量为的最大似然估计量为 1 1 n i i X n 2 2 2 由于 由于 由于 由于 是是是是的无偏估计量 的无偏估计量 的无偏估计量 的无偏估计量 1 1 n i i EEX n 五 10 分 设电池的寿命服从指数分布 其概率密度为 00 0 1 x xe xf x 其中为未知参数 今随机抽取 5 只 测得寿命如下 0 1150 1190 1310 1380 1420 求电池的平均寿命的最大似然估计值 解 似然函数 3 分 n i i x n eL 1 1 1 3 分 n i i xnL 1 1 ln ln 令得 2 分0 1 ln 1 2 n i i x n L dx d 2 分1290 14201380131011901150 5 1 x 六 设总体 X 的概率密度为 1 01 0 xx f x 其它 其中是未知参数 设为总体的样本 求参数的矩估计量1 n XXX 21 X 和最大似然估计量 解解 矩估计 1 1 0 1 E Xxx dx 1 1 0 1 1 2 xdx 且 令 n i i AXX n 1 1 1 则 11 A 1 2 X 从而的矩估计量 21 1 X X 最大似然估计 设是的样本观测值 则似然函数为 n xxx 21 n XXX 21 11 11 nn n ii ii Lxx 取对数得 1 lnln1ln n i i Lnx 令 得 解得 ln 0 dL d 1 ln0 1 n i i n x 1 1 ln n i i n x 所以 的最大似然估计量为 1 1 ln n i i n X 七 七 七 设总体设总体设总体设总体的分布律为的分布律为的分布律为的分布律为X 2 1P X 221P X 2 31P X 其中其中其中其中为未知参数 现抽得一个样本 为未知参数 现抽得一个样本 为未知参数 现抽得一个样本 为未知参数 现抽得一个样本 求参数 求参数 求参数 求参数的矩估计值和的矩估计值和的矩估计值和的矩估计值和 1 1x 2 2x 3 1x 极大似然估计值 极大似然估计值 极大似然估计值 极大似然估计值 解 2 2 413 132E X 4 3 x 由 即 得参数的矩估计值为 E Xx 4 32 3 5 6 统计量的分布判断问题 统计量的分布判断问题 主要利用性质 主要利用性质 独立正态分布的线性组合还是正态分布独立正态分布的线性组合还是正态分布 三大分布的定义 三大分布的定义 例题分析 一 设是正态总体的样本 12 n XXX 2 XN 1 试问服从什么分布 指明自由度 2 2 1 1 n i i X 且独立 1 0 N Xi 1 2 1 2 1 2 2 n X X n i i n i i 2 假定 求的分布 0 2 12 2 12 XX XX 2 0 2 21 NXX 2 0 2 21 NXX 1 0 2 21 N XX 1 0 2 21 N XX 1 2 221 XX 1 2 221 XX 又和相互独立 故 221 2 XX 221 2 XX 2 12 2 12 XX XX 1 1 1 2 1 2 221 221 F XX XX 二 二 二 设设设设是来自正态总体是来自正态总体是来自正态总体是来自正态总体的样本 分别记的样本 分别记的样本 分别记的样本 分别记为为为为 121 nn XXXX 2 N 2 X S 的样本均值和样本方差 求的样本均值和样本方差 求的样本均值和样本方差 求的样本均值和样本方差 求的分布 的分布 的分布 的分布 12 n XXX 1 1 n XXn Y Sn 解解解解 且 且 且 且与与与与相互独立 所以相互独立 所以相互独立 所以相互独立 所以 2 1 n XN 2 XN n 1n X X 2 1 1 0 n n XXN n 1 0 1 1 n XX N nn 由于由于由于由于 且 且 且 且与与与与相互独立 因此由相互独立 因此由相互独立 因此由相互独立 因此由 分布的定义得分布的定义得分布的定义得分布的定义得 2 2 2 1 1 nS n 1n XX 2 St 1 1 2 2 1 1 1 1 1 n n XX nn XXn Yt n Sn nS n 三 22 1 1 1 n i i SX n n i i XX n S 1 22 2 1 1 1 证明都是的无偏估计量 2 判断中哪一个估计量更有效 2 2 2 1 S S 2 2 2 2 1 S S 利用卡方分布 四设是来自正态总体的样本 记 129 XXX 2 N 116 1 6 YXX 求统计量的分布 2789 1 3 YXXX 9 22 2 7 1 2 i i SXY 12 2 YY Z S 5 设为 X 的样本 求统计量的分布 2 0 XN 12 n XXX 3 2 1 2 4 1 3 i i n i i X n X 六 设总体 是 X 的样本 统计量 2 0 XN 12345 XXXXX 22 12345 Ya XXb XXX 0ab 服从分布 求参数的值和的分布的自由度 2 a bY 解解 由 得 2 0 XN 22 12345 0 2 0 3XXNXXXN 且相互独立 即 34512 0 1 0 1 23 XXXXX NN 且相互独立 于是 22 1234522 22 1 1 23 XXXXX 且相互独立 所以当时 22 11 23 ab 22 2 12345 2Ya XXb XXX 该分布的自由度为 2 假设检验和区间估计的题目类型 假设检验和区间估计的题目类型 记住正态总体的抽样分布定理 弄懂上分位数的含义 在记住正态总体的抽样分布定理 弄懂上分位数的含义 在 密度曲线图上用分位数给出各个分布的大概率密度曲线图上用分位数给出各个分布的大概率区域和区域和1 小概率小概率 区域区域 能够从图上用分位数标出各种分布的双侧小概率区域和单侧小概率能够从图上用分位数标出各种分布的双侧小概率区域和单侧小概率 区域区域 1 10 分 某工厂生产铜线 根据长期积累的数据知 铜线的折断力服从正态分布 方差 为 今从某天生产的铜线中随机抽取根 测得折断力如下 16 2 10 292298286285285286284285286289 问该天生产的铜线折断力与以往比较 其波动性有无显著变化 05 0 检验假设 16 16 2 1 2 0 HH 统计量 则当为真时 2 0 2 2 1 Sn 0 H 1 22 n 拒绝域为或 1 2 2 1 2 n 1 2 2 2 n 现在 65 10 16 4 170 1 2 0 2 2 Sn 05 0 7 2 9 1 023 19 9 1 2 975 0 2 2 2 025 0 2 2 nn 由于 0 023 1965 107 2H故接受 即该天生产的铜线折断力与以往比较 其波动性无显著变化 2 8 分 在某砖厂生产的一批砖中 随机地抽取 6 块 测量其抗断强度 单位 MPa 分别为 3 366 3 106 3 264 3 287 3 122 3 205 设砖的抗断强度服从正态分布 问能否认为这批砖的平均抗断强度是X 11 0 2 N 3 250MPa 显著性水平 01 0 解 3 分 0100 HH 检验统计量 拒绝域 3 分 n x t 0 1 2 nut 算得 2 分575 2 005 0 zu 接受 0 H 3 10 分 某化工厂一天中生产的化学制品产量 单位 吨 服从正态分布 今测得 5 天 的产量分别为 785 805 790 790 802 问是否可以认为日产量的均值显著小于 800 取 05 0 解 假设 01 800 800HH 检验统计量 5 分 800 x t sn 拒绝域 0 05 4 tt 接受 794 4800 1 45272 1318 8 6179 5 t 0 H 4 是来自正态总体的样本 其中参数和均未知 对于参数 12 n XXX 2 N 2 的置信度为的置信区间 试问当减少时该置信区间的长度如何变化 1 答 则 的置信度为 1 的置信区间 1 2 nt n S X 置信区间的长度 当样本容量给定时 减小的值会增大的 1 2 2 nt n S L 1 2 nt 值 相应地变长 1 2 2 nt n S L 5 5 5 101010 分 分 分 某灯泡生产车间为考察灯泡的寿命 从生产的一批灯泡中随机抽取某灯泡生产车间为考察灯泡的寿命 从生产的一批灯泡中随机抽取某灯泡生产车间为考察灯泡的寿命 从生产的一批灯泡中随机抽取某灯泡生产车间为考察灯泡的寿命 从生产的一批灯泡中随机抽取 25252525 只 只 只 只 测得平均寿命测得平均寿命测得平均寿命测得平均寿命小时 标准方差小时 标准方差小时 标准方差小时 标准方差小时 假设灯泡的寿命小时 假设灯泡的寿命小时 假设灯泡的寿命小时 假设灯泡的寿命服从正态分服从正态分服从正态分服从正态分1980 x 2 3600S X 布布布布 1 1 1 1 求总体方差 求总体方差 求总体方差 求总体方差的置信水平为的置信水平为的置信水平为的置信水平为 95 95 95 95 的置信区间 的置信区间 的置信区间 的置信区间 2 2 2 2 在显著性水平 在显著性水平 在显著性水平 在显著性水平 2 N 2 条件下能否认为这批灯泡的平均寿命为条件下能否认为这批灯泡的平均寿命为条件下能否认为这批灯泡的平均寿命为条件下能否认为这批灯泡的平均寿命为 2000200020002000 小时 小时 小时 小时 0 05 解解解解 1 1 1 1 0 05 25n 2 1 2 112 401n 2 2 139 364n 的置信水平为的置信水平为的置信水平为的置信水平为 95 95 95 95 的置信区间为的置信区间为的置信区间为的置信区间为 2 22 22 21 2 1125 360025 3600 1139 36412 401 nSnS nn 2194 8989 6967 1801 2 2 2 2 在检验水平为 在检验水平为 在检验水平为 在检验水平为 5 5 5 5 的条件下检验假设的条件下检验假设的条件下检验假设的条件下检验假设 0 2000H 1 2000H 选取检验统计量选取检验统计量选取检验统计量选取检验统计量 当原假设 当原假设 当原假设 当原假设时 时 时 时 该假设检 该假设检 该假设检 该假设检 2000 X t Sn 0 H 2000 1 X tt n Sn 验问题的拒绝域为验问题的拒绝域为验问题的拒绝域为验问题的拒绝域为 2 2000 1 X ttn Sn 由条件得由条件得由条件得由条件得 20 025 1242 0639tnt 2000198020005 1 6667 3 60 25 X t Sn 由于由于由于由于 因此接受原假设