浙江省2018届中考数学：第28讲《图形的相似(1)相似形》名师讲练(含答案)

第第 28 讲讲 图形的相似图形的相似 第 1 课时 相似形 1 比例线段 考试内容 考试 要求 定义 在四条线段中 如果其中两条线段的比等于另外两条线段 的比 那么这四条线段叫做成比例线段 比例 线段 基本 性质 若 则 ad bc 当 b c 时 b2 ad 那么 b 是 a d 的 a b c d 比例中项 黄金 分割 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC AC BC 如果 AC 是线段 AB 和 BC 的比例中项 且 0 618 那么点 C 叫做线段 AB 的黄金 AC AB BC AC 5 1 2 分割点 a 2 平行线分线段成比例 考试内容 考试 要求 基本 事实 两条直线被一组平行线所截 所得的对应线段 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的对应线 段成比例 c 3 相似图形的有关概念 考试内容 考试 要求 相似图 形 相同的图形称为相似图形 两个边数相同的多边形 如果它们的角分别 边 那么这两 个多边形叫做相似多边形 相似多边形对应 的比叫做相似比 相似多 边形 1 相似多边形周长的比等于相似比 2 相似多边形面积的比等于相似比的平方 相似三 角形 两个三角形的三个角分别 三条边 则这两个三角形相似 当 相似比等于 1 时 这两个三角形 a 4 相似三角形的判定 考试内容 考试 要求 判定 1 于三角形一边的直线和其他两边相交 所构成 的三角形与原三角形相似 判定 2三边 的两个三角形相似 判定 3两边 且夹角 的两个三角形相似 判定 4两角分别 的两个三角形相似 判定 5满足斜边和一条直角边 的两个直角三角形相似 拓展 直角三角形中被斜边上的高分成的 两个三角形都与原三角形相似 a 5 相似三角形的性质 考试内容 考试 要求 性质1 相似三角形的对应角 对应边 a 2 相似三角形对应高的比 对应中线的比 对应角平分线的比和周长 的比都等于 3 相似三角形面积的比等于相似比的 三角形三条中线的交点叫做重心 三角形 的重心三角形的重心分每一条中线成 1 2 的两条线段 拓展 如图 ABC 中 ACB 90 CD 是斜边 AB 上的高 则有下列结 论 AC2 AD AB BC2 BD AB CD2 AD BD AB CD AC BC 考试内容 考试 要求 基本 思想 转化思想 证角相等 证比例线段往往转化为证相似三角形 测量问 题 往往构建相似三角形 即实际问题转化为相似三角形问题来解 决 b 1 2017 杭州 如图 在 ABC 中 点 D E 分别在边 AB AC 上 DE BC 若 BD 2AD 则 A B C D AD AB 1 2 AE EC 1 2 AD EC 1 2 DE BC 1 2 2 2015 嘉兴 如图 直线 l1 l2 l3 直线 AC 分别交 l1 l2 l3于点 A B C 直线 DF 分别交 l1 l2 l3于点 D E F AC 与 DF 相交于点 H 且 AH 2 HB 1 BC 5 则 的值为 DE EF A B 2 C D 1 2 2 5 3 5 3 2015 嘉兴 如图是百度地图的一部分 比例尺 1 4000000 按图可估测杭州在嘉兴 的南偏西 度方向上 杭州到嘉兴的图上距离约 2cm 则杭州到嘉兴 的实际距离约为 问题 如图 点 D 在 ABC 的边 AC 上 1 要判断 ADB 与 ABC 相似 添加一个条件是 2 若 ADB ABC AB 4 AD 2 则 AC 3 通过 1 2 解答 你能说出相似三角形哪些知识 归纳 通过开放式问题 归纳 疏理比例 相似多边形有关概念 相似三角形性质 判定 类型一类型一 比例性质 黄金分割等相关概念比例性质 黄金分割等相关概念 1 2016 山西 宽与长的比是 约 0 618 的矩形叫做黄金矩形 黄金矩形蕴藏 例1 5 1 2 着丰富的美学价值 给我们以协调和匀称的美感 我们可以用这样的方法画出黄金矩形 作正方形 ABCD 分别取 AD BC 的中点 E F 连结 EF 以点 F 为圆心 以 FD 为半径 画弧 交 BC 的延长线于点 G 作 GH AD 交 AD 的延长线于点 H 则图中下列矩形是 黄金矩形的是 A 矩形 ABFE B 矩形 EFCD C 矩形 EFGH D 矩形 DCGH 解后感悟 先根据正方形的性质以及勾股定理 求得 DF 的长 再根据 DF GF 求 得 CG 的长 最后根据 CG 与 CD 的比值为黄金比 判断矩形 DCGH 为黄金矩形 2 已知 0 求的值 x 3 y 4 z 6 x y z x y z 解后感悟 这类题我们一般是设辅助未知数 k 即比值为 k 把所有字母都用含有 k 的式子表示出来 从而达到计算或化简的目的 1 在中华经典美文阅读中 小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比 已知 这本书的长为 20cm 则它的宽约为 A 12 36cm B 13 6cm C 32 36cm D 7 64cm 2 2015 扬州 如图 练习本中的横格线都平行 且相邻两条横格线间的距离都相等 同一条直线上的三个点 A B C 都在横格线上 若线段 AB 4cm 则线段 BC cm 类型二类型二 相似多边形相似多边形 已知矩形 ABCD 中 AB 1 在 BC 上取一点 E 沿 AE 将 ABE 向上折叠 例2 使 B 点落在 AD 上的 F 点 若四边形 EFDC 与矩形 ADCB 相似 则 AD A B C D 2 5 1 2 5 1 23 解后感悟 解题关键是根据相似多边形的性质 对应边的比等于相似比 3 2015 葫芦岛 如图 在矩形 ABCD 中 AD 2 CD 1 连结 AC 以对角线 AC 为边 按逆时针方向作矩形 ABCD 的相似矩形 AB1C1C 再连结 AC1 以对角线 AC1为边 作矩形 AB1C1C 的相似矩形 AB2C2C1 按此规律继续下去 则矩形 ABnCnCn 1的面积 为 类型三类型三 相似三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质 2016 南充 已知正方形 ABCD 的边长为 1 点 P 为正方形内一动点 若点 M 在 例3 AB 上 且满足 PBC PAM 延长 BP 交 AD 于点 N 连结 CM 1 如图 1 若点 M 在线段 AB 上 求证 AP BN AM AN 2 如图 2 在点 P 运动过程中 满足 PBC PAM 的点 M 在 AB 的延长线上时 AP BN 和 AM AN 是否成立 不需说明理由 是否存在满足条件的点 P 使得 PC 请说明理由 1 2 解后感悟 本题考查相似三角形的性质 正方形的性质 圆的有关知识 解题的关 键是熟练应用相似三角形性质解决问题 最后一个问题利用圆的位置关系解决问题 4 1 如图 在 ABC 中 点 D E 分别在边 AB AC 上 且 则 S AE AB AD AC 1 2 ADE S四边形 BCED的值为 A 1 B 1 2 C 1 3 D 1 4 3 2 2016 河北 如图 ABC 中 A 78 AB 4 AC 6 将 ABC 沿图示中的 虚线剪开 剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 5 1 2015 自贡 将一副三角板按图叠放 则 AOB 与 DOC 的面积之比等于 2 2015 无锡市南长区模拟 如图 ABC 中 AB 5 BC 3 CA 4 D 为 AB 的中点 过点 D 的直线与 BC 所在直线交于点 E 若直 线 DE 截 ABC 所得的三角形与 ABC 相似 则 DE 类型四类型四 与相似三角形相关的问题与相似三角形相关的问题 如图 点 A B C D 为 O 上的四个点 AC 平分 BAD AC 交 BD 于点 例4 E CE 4 CD 6 则 AE 的长为 A 4 B 5 C 6 D 7 解后感悟 本题运用圆周角定理 相似三角形的判定与性质 解答本题的关键是得 出 CAD CDB 证明 ACD DCE 6 1 已知 在 ABC 中 BC 10 BC 边上的高 h 5 点 E 在边 AB 上 过点 E 作 EF BC 交 AC 边于点 F 点 D 为 BC 上一点 连结 DE DF 设点 E 到 BC 的距离为 x 则 DEF 的面积 S 关于 x 的函数图象大致为 2 2015 杭州模拟 在研究相似问题时 甲 乙同学的观点如下 甲 将边长为 3 4 5 的三角形按图 的方式向外扩张 得到新的三角形 它们的对 应边间距为 1 则新三角形与原三角形相似 乙 将邻边为 3 和 5 的矩形按图 的方式向外扩张 得到新矩形 它们的对应边间距 均为 1 则新矩形与原矩形不相似 对于两人的观点 下列说法正确的是 A 两人都对 B 两人都不对 C 甲对 乙不对 D 甲不对 乙对 3 2015 滨州 如图 在 x 轴的上方 直角 BOA 绕原点 O 按顺时针方向旋转 若 BOA 的两边分别与函数 y y 的图象交于 B A 两点 则 OAB 的大小的变化 1 x 2 x 趋势为 A 逐渐变小 B 逐渐变大 C 时大时小 D 保持不变 7 2016 龙东 已知 在平行四边形 ABCD 中 点 E 在直线 AD 上 AE AD 连结 1 3 CE 交 BD 于点 F 则 EF FC 的值是 课本改变题 教材母题 浙教版教材九上第 149 页第 5 题 课本中有一道作业题 有一块三角形余料 ABC 它的边 BC 120mm 高 AD 80mm 要把它加工成正方形零 件 使正方形的一边在 BC 上 其余两个顶点分别在 AB AC 上 问加工成的正方形零件 的边长是多少 mm 小颖解得此题的答案为 48mm 小颖善于反思 她又提出了如下的问题 1 如果原题中要加工的零件是一个矩形 且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成 如图 1 此时 这个矩形零件的两条边长又分别为多少 mm 请你计算 2 如果原题中所要加工的零件只是一个矩形 如图 2 这样 此矩形零件的两条边长 就不能确定 但这个矩形面积有最大值 求达到这个最大值时矩形零件的两条边长 方法与对策 本题是课本改变题 试题设置上主要是三角形和矩形的组合 通过基 本图形是相似三角形 揭示对应边成比例的关系式来解决问题 再深入探究 规律性较强 这种题型是中考常用的命题方式 找不准相似三角形中的对应边 如图 ABC 中 点 D 在线段 BC 上 且 ABC DBA 则下列结论一定正确的是 A AB2 BC BD B AB2 AC BD C AB AD BD BC D AB AD AD CD 参考答案参考答案 第第 28 讲讲 图形的相似图形的相似 第第 1 课时课时 相似形相似形 考点概要 2 成比例 3 形状 相等 成比例 边 相等 成比例 全等 4 平行 成比例 成 比例 相等 相等 成比例 5 相等 成比例 相似比 平方 考题体验 1 B 2 D 3 45 80km 知识引擎 解析 1 添加条件是 ABD C 或 ADB ABC 或者 2 由 AD AB A AB B A AC C ADB ABC 得 得 AC 8 3 相似三角形知识 性质 判定等 AD AB A AB B A AC C 例题精析 例 1 1 设正方形的边长为 2 则 CD 2 CF 1 在直角三角形 DCF 中 DF FG CG 1 矩形 DCGH 为黄金矩形 故 12 22555 CG CD 5 1 2 选 D 2 设 k k 0 根据题意 得 x 3k y 4k z 6k 所以 x 3 y 4 z 6 x y z x y z 3k 4k 6k 3k 4k 6k k 5k 1 5 例 2 B 例 3 1 如图 1 中 四边形 ABCD 是正方形 AB BC CD AD DAB ABC BCD D 90 PBC PAM PAM PBC PBC PBA 90 PM PC AM BC PA PB PAM PBA 90 APB 90 AP BN ABP ABN APB BAN 90 BAP BNA AB BC AN AM 2 仍然成立 AP BN 和 PA PB AN AB AN AB AM BC AM AN 理由如图 2 中 四边形 ABCD 是正方形 AB BC CD AD DAB ABC BCD D 90 PBC PAM PAM PBC PBC PBA 90 PM PC AM BC PA PB PAM PBA 90 APB 90 AP BN ABP ABN APB BAN 90 BAP BNA AB BC AN AM 这样的点 P 不存在 理由 假 PA PB AN AB AN AB AM BC 设 PC 如图 3 中 以点 C 为圆心 为半径画圆 以 AB 为直径画圆 1 2 1 2 CO 两个圆外离 APB 90 这与 AP PB 矛盾 假 BC2 BO2 5 2 1 2 1 2 设不可能成立 满足 PC 的点 P 不存在 1 2 例 4 设 AE x 则 AC x 4 AC 平分 BAD BAC CAD CDB BAC 圆周角定理 CAD CDB ACD DCE ACD DCE 即 解 CD CE AC DC 6 4 x 4 6 得 x 5 故选 B 变式拓展 1 A 2 12 3 4 1 C 2 C 5 1 1 3 2 2 或 6 1 D 2 A 3 D 7 5n 22n 1 10 3 或 2 3 4 3 热点题型 分析与解 1 设矩形的边长 PN 2ymm 则 PQ ymm 由条件可得 APN ABC