竞赛5：物系相关速度.ppt

物系相关速度 物系相关速度共性 研究对象 刚体 不发生形变的理想物体 实际物体在外力作用下发生的形变效应不显著可被忽略时 即可将其视作刚体 基本特征 具有刚体的力学性质 刚体上任意两点之间的相对距离是恒定不变的 刚体运动的速度法则 角速度 刚体上每一点的速度都是与基点 可任意选择 速度相同的平动速度和相对于该基点的转动速度的矢量和 转动速度 v r r是对基点的转动半径 是刚体转动角速度 任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合而成的 刚体各质点自身转动角速度总相同且与基点的选择无关 v2 v2d v1 v1d O 在同一时刻必具有相同的沿杆 绳方向的分速度 沿接触面法向的分速度必定相同 沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同 相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和 物系相关速度特征 杆或绳约束物系各点速度的相关特征是 接触物系接触点速度的相关特征是 线状相交物系交叉点的速度是 如图所示 AB杆的A端以匀速v运动 在运动时杆恒与一半圆周相切 半圆周的半径为R 当杆与水平线的交角为 时 求杆的角速度 及杆上与半圆相切点C的速度 专题5 例1 这是杆约束相关速度问题 考察杆切点C 由于半圆静止 C点速度必沿杆 v C v1 v2 vc 杆A点速度必沿水平 以C为基点分解v 由杆约束相关关系 v2是A点对C点的转动速度 故 如图所示 合页构件由三个菱形组成 其边长之比为3 2 1 顶点A3以速度v沿水平方向向右运动 求当构件所有角都为直角时 顶点 2的速度vB2 专题5 例2 这是杆约束相关速度问题 A0 A1 A2 A3 B1 B2 B3 v vA2 vA1 v2 v1 分析顶点A2 A1的速度 顶点B2 既是A1B2杆上的点 又是A2B2杆上的点 分别以A1 A2为基点 分析B2点速度 v1 v2 vB2 由图示知 由几何关系 D C vBA 这是绳约束相关速度问题 绳BD段上各点有与绳端D相同的沿绳BD段方向的分速度v 设A右移速度为vx 即相对于A 绳上B点是以速度vx从动滑轮中抽出的 即 引入中介参照系 物A 在沿绳BD方向上 绳上B点速度v是其相对于参照系A的速度vx与参照系A对静止参照系速度vxcos 的合成 即 由上 vxcos 如图所示 物体A置于水平面上 物A前固定有动滑轮B D为定滑轮 一根轻绳绕过D B后固定在C点 BC段水平 当以速度v拉绳头时 物体A沿水平面运动 若绳与水平面夹角为 物体A运动的速度是多大 专题5 例3 如图所示 半径为R的半圆凸轮以等速v0沿水平面向右运动 带动从动杆AB沿竖直方向上升 O为凸轮圆心 P为其顶点 求当 AOP 时 AB杆的速度 专题5 例4 这是接触物系接触点相关速度问题 P A O B v0 vA v0 根据接触物系触点速度相关特征 两者沿接触面法向的分速度相同 即 如图所示 缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光滑钉子A上 以恒定的速度v拉绳 当绳与竖直方向成 角时 求线轴中心O的运动速度v0 线轴的外径为R 内径为r 线轴沿水平面做无滑动的滚动 专题5 例5 R r O v A 考察绳 轴接触的切点B速度 轴上B点具有与轴心相同的平动速度v0与对轴心的转动速度r v0 r 绳上B点沿绳方向速度v和与轴B点相同的法向速度vn vn 由于绳 轴点点相切 有 线轴沿水平面做纯滚动 v0 若线轴逆时针滚动 则 如图所示 线轴沿水平面做无滑动的滚动 并且线端A点速度为v 方向水平 以铰链固定于B点的木板靠在线轴上 线轴的内 外径分别为r和R 试确定木板的角速度 与角 的关系 专题5 例6 考察板 轴接触的切点C速度 板上C点与线轴上C点有相同的法向速度vn 且板上vn正是C点关于B轴的转动速度 C A B C vn vn 线轴上C点的速度 它应是C点对轴心O的转动速度vCn和与轴心相同的平动速度vO的矢量和 而vCn是沿C点切向的 则C点法向速度vn应是 v0 v vCn v0 线轴为刚体且做纯滚动 故以线轴与水平面切点为基点 应有 R r 如图所示 水平直杆AB在圆心为O 半径为r的固定圆圈上以匀速u竖直下落 试求套在该直杆和圆圈的交点处一小滑环M的速度 设OM与竖直方向的夹角为 专题5 例7 这是线状交叉物系交叉点相关速度问题 B O M 将杆的速度u沿杆方向与圆圈切线方向分解 滑环速度即交叉点速度 方向沿圆圈切向 根据交叉点速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和 滑环速度即为杆沿圆圈切向分速度 如图所示 直角曲杆OBC绕O轴在图示平面内转动 使套在其上的光滑小环沿固定直杆OA滑动 已知OB 10cm 曲杆的角速度 0 5rad s 求 60 时 小环M的速度 专题5 例8 这是线状交叉物系交叉点相关速度问题 由于刚性曲杆OBC以O为轴转动 故BC上与OA直杆交叉点M的速度方向垂直于转动半径OM 大小是 根据交叉点速度相关特征 该速度沿OA方向的分量即为小环速度 故将vBCM沿MA MB方向分解成两个分速度 vBCM 小环M的速度即为vMA vMA vMB 30 O A 如图所示 一个半径为R的轴环O1立在水平面上 另一个同样的轴环O2以速度v从这个轴环旁通过 试求两轴环上部交叉点A的速度vA与两环中心之距离d之间的关系 轴环很薄且第二个轴环紧傍第一个轴环 专题5 例9 d O1 A O2 本题求线状交叉物系交叉点A速度 A v1 v2 轴环O2速度为v 将此速度沿轴环O1 O2的交叉点A处的切线方向分解成v1 v2两个分量 O2 由线状相交物系交叉点相关速度规律可知 交叉点A的速度即为沿对方速度分量v1 由图示几何关系可得 顶杆AB可在竖直滑槽K内滑动 其下端由凸轮M推动 凸轮绕O轴以匀角速 转动 在图示时刻 OA r 凸轮轮缘与A接触处法线n与OA之间的夹角为 试求顶杆的速度 小试身手题1 M n K B 杆与凸轮接触点有相同的法向速度 v杆 r r 根据接触物系触点速度相关特征 两者沿接触面法向的分速度相同 即 一人身高h 在灯下以匀速率vA沿水平直线行走 如图所示 设灯距地面高度为H 求人影的顶端 点沿地面移动的速度 小试身手题2 H 借用绳杆约束模型 设人影端点M移动速度为v影 以光源为基点 将vA和v影分解为沿光线方向 伸长速度 和对基点的 转动速度 由几何关系 由一条光线上各点转动角速度相同 如图所示 缠在线轴A上的线被绕过滑轮B以恒定速率v0拉出 这时线轴沿水平面无滑动地滚动 求线轴中心O点的速度随线与水平方向的夹角 的变化关系 线轴的内 外半径分别为R与r 小试身手题3 A B O V 考察绳 轴接触的切点A速度 轴上A点具有对轴心的转动速度V R 和与轴心相同的平动速度V0 绳上A点具有沿绳方向速度v0和与轴A点相同的法向速度vn vn 由于绳 轴点点相切 有 由于纯滚动 有 图中的AC BD两杆以匀角速度 分别绕相距为l的A 两固定轴在同一竖直面上转动 转动方向已在图上示出 小环M套在两杆上 t 0时图中 60 试求而后任意时刻t M未落地 M运动的速度大小 小试身手题4 A B 因两杆角速度相同 AMB 60 不变 本题属线状交叉物系交叉点速度问题 套在两杆交点的环M所在圆周半径为 l R 杆D转过 圆周角 M点转过同弧上2 的圆心角 环M的角速度为2 环M的线速度为 如图 一个球以速度v沿直角斜槽ACB的棱角做无滑动的滚动 AB等效于球的瞬时转轴 试问球上哪些点的速度最大 这最大速度为多少 小试身手题5 本题属刚体各点速度问题 A C B 球心速度为v 则对瞬时转轴AB 则球角速度 球表面与瞬时转轴距离最大的点有最大速度 根据刚体运动的速度法则 如图 由两个圆环所组成的滚珠轴承 其内环半径为R2 外环半径为R1 在二环之间分布的小圆球 滚珠 半径为r 外环以线速度v1顺时针方向转动 而内环则以线速度v2顺时针方向转动 试求小球中心围绕圆环的中心顺时针转动的线速度v和小球自转的角速度 设小球与圆环之间无滑动发生 小试身手题6 R1 R2 v 已知滚珠球心速度为v 角速度为 v1 v2 r 根据刚体运动的速度法则 滚珠与内环接触处A速度 滚珠与外环接触处B速度 r 滚珠与两环无滑动 两环与珠接触处A B切向速度相同 本题属刚体各点速度及接触点速度问题 一片胶合板从空中下落 发现在某个时刻板上a点速度和b点速度相同 va vb v 且方向均沿板面 同时还发现板上c点速度大小比速度v大一倍 c点到a b两点距离等于a b两点之间距离 试问板上哪些点的速度等于3v 小试身手题7 本题属刚体各点速度问题 板上a b两点速度相同 故a b连线即为板瞬时转动轴 v v l 根据刚体运动的速度法则 C点速度为 vc 2v v vcn l 矢量图示 同理 速度为3v的点满足 V 3v vn x 如图 A B C三位芭蕾演员同时从边长为l的三角形顶点A B C出发 以相同的速率v运动 运动中始终保持A朝着B B朝着C C朝着A 试问经多少时间三人相聚 每个演员跑了多少路程 小试身手题8 由三位舞者运动的对称性可知 他们会合点在三角形ABC的中心O vn 每人的运动均可视做绕O转动的同时向O运动 vt 考虑A处舞者沿AO方向分运动考虑 到达O点历时 由于舞者匀速率运动 则 如图所示 一个圆台 上底半径为r 下底半径为R 其母线AB长为L 放置在水平地面上 推动它以后 它自身以角速度 旋转 整体绕 点做匀速圆周运动 若接触部分不打滑 求旋转半径OA及旋转一周所需时间T 小试身手题9 A B L O r R 设旋转半径为x 则由几何关系 接触处不打滑 则A点 即接触点 移动速度即为 vA 则 如图所示 绳的一端固定 另一端缠在圆筒上 圆筒半径为R 放在与水平面成 角的光滑斜面上 当绳变为竖直方向时 圆筒转动角速度为 此时绳未松驰 试求此刻圆筒与绳分离处A的速度以及圆筒与斜面切点C的速度 小试身手题10 O 绳竖直时设圆筒中心速度为v0 vO 以A为基点 由刚体速度法则 O点速度是 vA vn 圆筒与绳分离处A速度vA如图 vA 考察圆筒与斜面切点C速度 vO vn 以O为基点 由刚体速度法则 C点速度是 如图所示 长度l 10cm的棒在光滑水平面上转动 同时 以速度v 10cm s滑动 离棒的中心距离L 50cm处有竖直的墙 要使棒平着与墙相撞 试问棒的角速度 应为多少 小试身手题11 L v 棒要平着与竖墙相撞应满足 棒中心完成L位移时 棒与墙平行 相撞时无沿棒法向向右的离开墙的速度 即棒上所有点速度方向均向墙 满足 应有 棒在向墙移动时每半周与墙平行一次 满足 应有 一块坯料夹在两导板之间 导板水平运动 上板向右 速度为v1 下板向左 速度为v2 若v1 2v2 某时刻切点 和 在同一条竖直线上 如图所示 请作图指出该时刻坯料上速度大小分别为v1和v2的点的集合 1 A 2 B 小试身手题12 以1 2截分AB得瞬时转动中心O 刚体上与瞬时转动中心距离相同的点对中心的转动速度相同 O v1 V绳对环 v1 vO对 v1 v2 V绳对环 设环O的速度为v2 以O 为参照绳抽出速度大小为v1 方向如示 v2 则环O对环O 的速度大小为v1 v2 方向如示 这个速度是O对O 沿绳 抽出 速度和对O 转动速度的合成 由绳约束特征 在同一时刻必具有相同的沿绳方向的分速度 如图所示 有两条位于同一竖直平面内的水平轨道 相距为h 轨道上有两个物体 和 它们通过一根绕过定滑轮 的不可伸长的轻绳相连接 物体 在下面的轨道上以匀速率v运动 在轨道间的绳子与轨道成30 角的瞬间 绳子BO段的中点处有一与绳相对静止的小水滴 与绳子分离 设绳长BO远大于滑轮直径 求 小水滴 恰脱离绳子落地时速度的大小 小试身手题14 O A B P v h 30 小水滴P刚与绳分离时应具有与OB绳中点相同的速度 这个速度是沿绳速度与绕O转动速度的合成 v vPn vB vBn 小水滴沿绳方向速度即为v 整个OB段绳有相同绕O转动角速度 故 则 以此速度斜抛落地 vP 如图所示 AB杆以角速度 绕A点转动 并带动套在水平杆OC上的小环M运动 运动开始时 AB杆在铅垂位置 设OA h 求 小环M沿OC杆滑动的速度 小环M相对于AB杆运动的速度 小试身手题15 O C A h 经时间t 杆转过角 t 杆AB上M点速度 由线状交叉物系交叉点相关