用坐标系解立体几何常见方法

温新堂一对一个性化教学温新堂一对一个性化教学 为了孩子的未来为了孩子的未来 温新堂教育温新堂教育 1 建立空间直角坐标系 解立体几何高考题建立空间直角坐标系 解立体几何高考题 立体几何重点 热点 求线段的长度 求点到平面的距离 求直线与平面所成的夹角 求两异面直线的夹角 求二 面角 证明平行关系和垂直关系等 常用公式 1 求线段的长度 222 zyxABAB 2 12 2 12 2 12 zzyyxx 2 求 P 点到平面的距离 N 为垂足 M 为斜足 为平面的法向量 n nPM PN n 3 求直线 l 与平面所成的角 为的法向量 sin nPM nPM lPM Mn 4 求两异面直线 AB 与 CD 的夹角 cos CDAB CDAB 5 求二面角的平面角 为二面角的两个面的法向量 cos 21 21 nn nn 1 n 2 n 6 求二面角的平面角 射影面积法 S S射影 cos 7 求法向量 找 求 设 为平面内的任意两个向量 为的法向量 ba 1 yxn 则由方程组 可求得法向量 0 0 nb na n 温新堂一对一个性化教学温新堂一对一个性化教学 为了孩子的未来为了孩子的未来 温新堂教育温新堂教育 2 高中新教材 9 B 引入了空间向量坐标运算这一内容 使得空间立体几何的平行 垂直 角 距离等问题避免了传统方法中进行大量繁琐的定性分析 只需建立空 间直角坐标系进行定量分析 使问题得到了大大的简化 而用向量坐标运算的关键 是建立一个适当的空间直角坐标系 一一 直接建系直接建系 当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时 可以利用这三条直线直接建 系 例例 1 2002 年全国高考题 如图 正方形 ABCD ABEF 的边长都是 1 而且平 面 ABCD ABEF 互相垂直 点 M 在 AC 上移动 点 N 在 BF 上移动 若 CM BN a 1 求 MN 的长 2 当 a 为何值时 MN 的长最小 20 a 3 当 MN 最小时 求面 MNA 与面 MNB 所成二面角 的大小 解 解 1 以 B 为坐标原点 分别以 BA BE BC 为 x y z 轴建立如图所示 的空间直角坐标系 B xyz 由 CM BN a M 0 a 2 2 a 2 2 1 N 0 a 2 2 a 2 2 0 MNa 2 2 1 2 2 a MN 22 2 2 1 2 2 a a 2 1 2 2 2 a20 a 2 由 1 MN 2 1 2 2 2 a 所以 当 a 时 2 2 min MN 2 2 即 M N 分别移动到 AC BF 的中点时 MN 的长最小 最小值为 2 2 3 取 MN 的中点 P 连结 AP BP 因为 AM AN BM BN z z x x y y F F E E B B A A D D C C N N M M P P 温新堂一对一个性化教学温新堂一对一个性化教学 为了孩子的未来为了孩子的未来 温新堂教育温新堂教育 3 所以 AP MN BP MN APB 即为二面角 的平面角 MN 的长最小时 M 0 N 0 2 1 2 1 2 1 2 1 由中点坐标公式 P 又 A 1 0 0 B 0 0 0 2 1 4 1 4 1 PA 2 1 4 1 4 1 PB 2 1 4 1 4 1 cos APB PBPA PBPA 8 3 8 3 16 1 16 1 4 1 3 1 面 MNA 与面 MNB 所成二面角 的大小为 arccos 3 1 例例 2 1991 年全国高考题 如图 已知 ABCD 是边长为 4 的正方形 E F 分别是 AB AD 的中点 GC 面 ABCD 且 GC 2 求点 B 到平面 EFG 的距离 解 解 建立如图所示的空间直角坐标系 C xyz 由题意 C 0 0 0 G 0 0 2 E 2 4 0 F 4 2 0 B 0 4 0 2 4 2 4 2 2 2 0 0 GEGFBE 设平面 EFG 的法向量为 x y z 则 nnGEnGF 得 0242 0224 zyx zyx 令 z 1 得 x y 3 1 3 1 即 1 n 3 1 3 1 在方向上的射影的长度为GCn d nBE nBE BE n nBE 1 9 1 9 1 3 2 11 112 例例 3 2000 年二省一市高考题 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 CA CB 1 BCA 900 棱 A A1 2 M N 分别是 A1B1 A1 A 的中点 x x y y z z D D C C B B A A G G F F E E 温新堂一对一个性化教学温新堂一对一个性化教学 为了孩子的未来为了孩子的未来 温新堂教育温新堂教育 4 1 求的长 2 求 cos 3 求证 A1B C1MBN 11 CB BA 解 解 建立如图所示的空间直角坐标系 C xyz 则 C 0 0 0 B 0 1 0 N 1 0 1 A1 1 0 2 B1 0 1 2 C1 0 0 2 M 2 1 2 2 1 1 1 1 1 故 BNBN3 2 0 1 2 1 1 2 1 CB 1 BA cos 11 CB BA 11 11 CBBA CBBA 56 41 10 30 3 1 1 2 BA1 0 MC1 2 1 2 1 1 1 2 0 0BA1MC1 2 1 2 1 A1B C1M 二 利用图形中的对称关系建系利用图形中的对称关系建系 有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线 但是图形中有一定的对 称关系 如 正三棱锥 正四棱锥 正六棱锥等 我们可以利用图形的对称性建立 空间直角坐标系来解题 例例 4 2001 年二省一市高考题 如图 以底面边长为 2a 的正四棱锥 V ABCD 底 面中心 O 为坐标原点建立空间直角坐标系 O xyz 其中 Ox BC Oy AB E 为 VC 的 中点 高 OV 为 h 1 求 cos 2 记面 BCV 为 面 DVC 为 若 BED 是二面 DEBE 角 VC 的平面角 求 BED 解 解 1 由题意 B a a 0 x x y y z z A AB B C CD D V V O O E E z z y y x x A A1 1 B B1 1C C1 1 A A B B C C M M N N 温新堂一对一个性化教学温新堂一对一个性化教学 为了孩子的未来为了孩子的未来 温新堂教育温新堂教育 5 D a a 0 E 2 a 2 a 2 h BE 2 3a 2 a 2 h DE 2 a 2 3a 2 h cos DEBE DEBE DEBE 42 5 42 5 44 3 4 3 2222 222 haha haa 22 22 10 6 ha ha 2 V 0 0 h C a a 0 a a h VC 又 BED 是二面角 VC 的平面角 BEVCDEVC 即 a2 0 a2 BEVC 2 3 2 a 2 2 a 2 2 h 2 2 h 2 2 h 代入 cos DEBE 22 22 10 6 ha ha 3 1 即 BED arccos 3 1 三 利用面面垂直的性质建系 利用面面垂直的性质建系 有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线 但是有两个互相垂直的平面 我们可以利用面面垂直的性质定理 作出互相垂直且相交于一点的三条直线 建立 空间直角坐标系 例例 5 2000 年全国高考题 如图 正三棱柱 ABC A1B1C1的底面边长为 a 侧棱 温新堂一对一个性化教学温新堂一对一个性化教学 为了孩子的未来为了孩子的未来 温新堂教育温新堂教育 6 长为a 2 1 建立适当的坐标系 并写出 A B A1 C1的坐标 2 求 AC1与侧面 AB B1A1所成的角 解 解 1 如图 以点 A 为坐标原点 以 AB 所在直线为 y 轴 以 AA1所在直 线为 z 轴 以经过原点且与 ABB1A1垂直的直线为 x 轴 建立如图所示的空间直角 坐标系 由已知得 A 0 0 0 B 0 a 0 A1 0 0 a C1 2a 2 3 2 a a 2 2 取 A1B1的中点 M 于是有 M 0 a 连 AM MC1有 2 a 2 0 0 且 0 a 0 0 0 a 1 MCa 2 3 AB 1 AA2 由于 0 0 故 MC1 平面 AB B1A1 1 MCAB 1 MC 1 AA A C1与 AM 所成的角就是 AC1与侧面 AB B1A1所成的角 a 0 a 1 ACa 2 3 2 a 2AM 2 a 2 0 2a2 1 ACAM 4 2 a 4 9 2 a a 1 AC 2 22 2 44 3 a aa 3 AM 2 2 2 4 a a 2 3a cos AMAC 1 aa a 2 3 3 4 9 2 2 3 y y x x z z A A B B C C A A1 1 B B1 1 C C1 1 M M 温新堂一对一个性化教学温新堂一对一个性化教学 为了孩子的未来为了孩子的未来 温新堂教育温新堂教育 7 与所成的角 即 AC1与侧面 AB B1A1所成的角为 30o 1 ACAM 例例 6 2002 年上海高考题 如图 三棱柱 OAB O1A1B1 平面 OBB1O1 平面 OAB O1OB 600 AOB 900 且 OB OO1 2 OA 3 求 1 二面角 O1 AB O 的大小 2 异面直线 A1B 与 A O1所成角的大小 结果用反三角函数值表示 解 解 1 如图 取 OB 的中点 D 连接 O1D 则 O1D OB 平面 OBB1O1 平面 OAB O1D 面 OAB 过 D 作 AB 的垂线 垂足为 E 连结 O1E 则 O1E OB DEO1为二面角 O1 AB O 的平面角 由题设得 O1D 3 sin OBA 22 OBOA OA 7 21 DE DBsin OBA 7 21 在 Rt O1DE 中 tan DE O1 7 DE O1 arctan 即二面角 O1 AB O 的大小为 arctan 77 2 以 O 为原点 分别以 OA OB 所在直线为 x y 轴 过点 O 且与平面 AOB 垂直的直线为 z 轴 建立空间直角坐标系 则 O 0 0 0 O