无穷积分的收敛与被积函数极限为零的条件探讨

目录 摘要 1 关键词 1 Abstract 1 Key words 1 引言 1 1 1 无穷积分收敛时 时 不趋于零的情形 a dxxf x f x 2 1 2 无穷积分收敛时 时 趋于零的情形 2 a dxxf x f x 1 2 1 函数一致连续时 对时 趋于零的探讨 2 x f x 1 2 2 函数为单调函数时 对时 趋于零的探讨 5 x f x 1 2 3 函数的导数的反常积分收敛时 对时 趋于零的探讨 5 x f x 1 2 4 极限存在时的情形 7 1 2 5 函数导数有界时 对时 趋于零的探 x f x 讨 8 1 3 当 趋于零与无穷积分收敛的关系 9 x f x 1 3 1 当 趋于零时与敛散性的关系 9 x f x 2 a fx dx 1 3 2 当 趋于零时与的敛散性与敛散性的关 x f x a f x dx a fx dx 系 9 1 4 推广形式 10 总结 10 致谢 11 参考文献 11 1 无穷积分的收敛与被积函数极限为零的条件探讨 数学与应用数学 李昆 指导老师 王顶国 摘要 目的 讨论无穷积分的被积函数当 时的极限情况 方法 利用函数 a f x dx f xx 在 上一致连续的一些性质和结论和一些新颖的实例 结果 给出了无穷积分 f xa 的被积函数极限 0 的一些条件及其证明 结论 若无穷积分收敛 a f x dx lim x f x a f x dx 时被积函数极限为零 必须附加一定的条件才能成立 关键词 无穷积分 收敛 被积函数 一致收敛 极限 Discussion on the Limit Becoming Zero of Integrand When the Infinite Integral converges Student majoring in Mathematics and Applied Mathematics Li Kun Tutor Wang Dingguo Abstract Objective To discuss the limit case of integrand f x of infinite integral from n a to f x DX when x Method use the consistent continuous nature and conclusions and some novel instances of function f x on a Results Given some conditions and its proof when the limit of integrand f x of infinite integral from n a to f x DX is zero when x Conclusion the limit of integrand f x is zero when infinite integral from n a to f x DX is convergent when x must be attached to certain conditions Key words infinite integral convergence integrand uniformly continuous limit 引言 定积分的积分区间是有界区间 但是许多实际问题和理论问题 b a f x dx a b 涉及到无限积分区间 因此 对无穷限反常积分的研究是具有实际意义的 在无穷限反常 积分中 我们主要研究其敛散性的判别以及在收敛时所具有的性质 对于收敛时 其被 积函数在无穷远处的极限是我们主要讨论的问题 即讨论的收敛性与被积函 a f x dx 数 f x 在无穷远处极限的关系 我们知道 无穷限反常积分和数项级数两者之间有很多 2 结论是相似的 在数项级数里面 当数项级数收敛时 其通项是收敛于零的 那么在无穷 限反常积分里是不是也有相似的结论呢 首先我们看看无穷限反常积分在收敛时的几何 意义 收敛时的几何意义 若是 上的非负连续函数 则 a f x dx f xa 是介于曲线 直线以及轴之间那一块向右无限延伸的阴影区 a f x dx yf x xa x 域的面积 J 从而可知 实际上是表示曲线与坐标轴所围成的面积 a f x dx yf x 的代数和 而当收敛时 是否在无穷远处的极限一定为零 如果回答否 a f x dx f x 定 那么在哪些情况下 被积函数的极限是趋于零的 以及他们的关系又是什么样的 1 1 无穷积分收敛时 时 不趋于零的情形 a dxxf x f x 若无穷积分收敛 则有当时是否成立 反之 a dxxf x0 xf 是否成立都是不一定的 例如 由狄利克雷判别法知收敛 但不dxx a 2 sin 2 sinlimx x 存在 若收敛 且 0 则当时不一定趋于 0 a dxxf f x x f x 例如 当属于整数时 1 当不属于整数时 f x 2 1 1x x f xx 1 当 n n 0 当为其它数时 f x2nxn x 1 2n 1 2n f xx 所以收敛 0 并且连续 但当时 不趋 0 1 1 2 11 2 2n n f x dx f x x f x 于零 若将 中0 改为大于 0 当 x 趋于正无穷时仍可能不趋于 f x f x f x 零 例如 令 f x 其中为 中的函数 2 1 x g x g x 1 2 无穷积分收敛时 时 趋于零的情形 a dxxf x f x 3 1 2 1 函数一致连续时 对时 趋于零的探讨 x f x 定义 1 若定义在区间 A 注意区间 A 可以是闭区间 亦可以是开区间甚至是 无穷区间 上的 连续函数 如果对于任意给定的正数 存在一个只与 f x0 有关与无关的实数 0 使得对任意 A 上的 只要 满足 x 1 x 2 x 1 x 2 x 就有 则称在区间 A 上是一致连续的 12 xx 12 f xf x f x 定义 2 为 上的连续函数 对任意的实数 在上都可 f xa b f x a b 积 若极限存在 则称在 上可积 极限值称为为 lim b ab f x dx f xa f x 上无穷限反常积分 简称无穷积分 a 引理 1 若函数在连续 且 xf abxf x lim 则函数在上一致连续 xf a 证明 已知 即 有bxf x lim0 aM 21 Mxx 21 xfxf 已知在上连续 根据一致连续性定理 则在一致连续 即 xf 1 Ma xf 1 Ma 有 1 100 0 2121 xxMaxx 21 xfxf 于是 都有 2121 xxaxx且 21 xfxf 故函数在上一致连续 xf a 引理 2 若函数在区间满足李普希茨条件 即 有 xfIIyx 其中是常数 yxkyfxf 则在上一致连续 xfI 证明 解不等式 0 Iyx 4 yxkyfxf 得 k yx 取 于是 则 有 0 k 0 k 取 yxIyx及 yfxf 故函数在上一致连续 xfI 引理 3 若函数在上可导 且有其中为常数 xf a ax Mxf M 则在上一致连续 xf a 证明 因为在上可导 对 a xf 21 axx 则 在上连续 在内可导 xf 21 x x 21 x x 所以 21 21 21 xxf xx xfxf 从而 1221 xxfxfxf 12 xxM 由引理 2 知 在上一致连续 xf a 定理 1 若在 a 上一致连续 且收敛 则 f x a f x dx lim0 x f x 证明 已知在上一致连续 则 不妨设 对 xf a0 0 当时 有 axx xx 2 xfxf 又因为收敛 故对上述的 当时有dxxf a 0 MMxx 2 2 x x dttf 5 对使且 于是有 xxMx Mxxx xx 2 2 x x dtxf 从而 xf x x dtxf x x x x x x dttfdttfdtxf x x x x dttfdttfxf 22 2 即 2222 xf 于是 时有 0 0 M xf 所以 0 lim xf x 例 1 对定义在上的函数 显然它在上连续 对无穷积分 0 x x xf sin 0 已知函数在区间连续 有dx x x 1 sin xxfsin 11 p 2cos1cossin 1 pxxdx p 所以无穷积分收敛 dx x x 1 sin 01 于是也收敛 dx x x 0 sin 而 sin lim0 x x x 所以由引理 1 知 在上一致连续 xf 0 推论 1 若收敛 在上满足李普希茨条件 a dxxf xf a 则 0 lim xf x 证明 因为在上满足利普希茨条件 xf a 由引理 2 知 在上一致连续 xf a 6 又 收敛 a dxxf 所以由定理 1 知 0 lim xf x 定理 1 不仅告诉我们收敛的广义积分的极限为零的充要条件 而且用它 x 我们可以判定某些函数在无穷区间上不一致连续 如收敛 但 a dxx2sin 则在上不一致连续 若直接证明在上不一致连0sinlim 2 x x 2 sin x a 2 sin x a 续是很困难的 1 2 2 函数为单调函数时 对时 趋于零的探讨 x f x 定理 2 若为单调减函数 且收敛 则 f x a f x dx lim0 x f x 证明 若存在使 则时恒有a 使得对任意的dxxf a 0 7 时 有 12 A A A 2 1 A f x dx A 定理 3 若函数在上有连续的导数 和都收敛 xf adxxf a dxxf a 则 0 lim xf x 证明 由于收敛 所以由柯西准则知dxxf a 对任意的存在 使得对任意时有0 Aa 12 x xA 则对任意的 存在 N 0 当 n m N 时有 2 1 x x fx dx 21 xfxf n x 所以 0 由极限保号性知存在 0 当时有aAxA 0 2 a f x 所以时BA 与收敛矛盾 2 2 B B f x dxBax a f x dx 若 0 时 同理可证a 所以 lim0 x f xa 例 3 对定义在上的函数显然在上有连续的导数 对无穷积 1 2 xxf 1 分由于 1 2dx x p p p p xdxx 1 3 1 2 2limlim 2 12lim 3 p p 所以 收敛 dxx 1 2 同样也收敛 dxx 1 2 由定理 3 知 0 lim 2 x x 1 2 4 极限存在时的情形 定理 4 若收敛 并且存在极限 则 0 a f x dx lim x f xA A 证明 由于存在极限 若 A lim x f xA 0 8 不妨设 A 大于零 则对任意的 存在 M 当大于 M 时有 2 A x 2f xA 所以 2 MM A f x dxdx 发散 M f x dx 发散 矛盾 a f x dx 所以 A 0 例 4 令 显然无穷积分 并且 当 2 1 f x x a f x dx 收敛 xf x 时 的极限存在 并且为零 1 2 5 函数导数有界时 对时 趋于零的探讨 x f x 定理 5 若收敛 在时可导且存在 使得 a dxxf xfax 0 M Mxf 则 0 lim xf x 证明 由于函数在上可导 且有 xf a ax 其中为常数 Mxf 0 M 由引理 3 知 在上一致连续 xf a 又由无穷积分收敛 a dxxf 由定理 1 0 lim xf x 例 5 设在 a 上连续可微 并且 f x 2 0lim0 ax fx dxfxcxf x 如果当时 其中c为一常数 试证 证明 假设 lim0 0 0 x f xAxA f x 则 使对 总有 因为在 a 上连续可微 故在 a 一致连续 于是 f x fxc f x 0 0 x xxx 使当时 2 f xf x 9 又因 故 2 a fx dx 收敛 12 0 x x 当时 2 1 2 2 x x fx dx 对该 xxxf x 故 当 2 xxxf xf x 22 f xf xf xf xf xf xf x 2 4 fx 矛盾 2 2 42 x fx dx x lim0 x f x 1 3 当时 趋于零与无穷积分收敛的关系 x f x 1 3 1 当 趋于零时与敛散性的关系 x f x 2 a fx dx 定理 6 若绝对收敛 且 则必定收敛 a f x dx lim0 x f x 2 a fx dx 证明 由知 存在 当时的值总在 0 和 1 之间 lim0 x f x XxX f x 此时 由比较判别法知收敛时 收敛 2 fxf x a f x dx 2 a fx dx 即绝对收敛时必有收敛 a f x dx 2 a fx dx 1 3 2 当 趋于零时与的敛散性与敛散性的关系 x f x a f x dx a fx dx 定理 7 设为 a 上的连续可微函数 且当时 递减趋 f x x f x 于零 则收敛的充要条件为 a f x dx a fx dx 收敛 证明 由已知 为连续函数 当 A 大于时 f x fxa AAA aaa xfx dxxdf xAfAaf af x dx 必要性 若收敛 则由递减趋于零知 a f x dx f x lim A AfAaf aaf a 10 所 lim A aA xfx dx 存在 所以 a xfx dx 收敛 充分性 若 则对任意的 存使得 a xfx dx 收敛0 M a 时有 由单调递减得AxM A x tft dt f x 所以由积分中值定理得 0fx AA xx x Atft dtft dtfAf x 使 0 x fAf xfAf x 令 0 x fAf x lim0 x AfA 由知 xf xx f xxM