初等代数研究练习题.doc

初等代数研究练习题一、填空题1、已知三次多项式f(x)在x=-1,0,1,2时函数值分别为1,2,3,2,则f(x)= 。2、多项式表示成（x-1）的幂的多项式的形式为 。3、已知 。4、= 。5、六本不同的书，按下列条件分配，各有多少种不同的分法（1）分给甲乙丙三人，每人2本，则有 种分法。（2）分成三份，每份2本，则有 种分法。6、线性规划问题中决策变量应满足的条件称为_.7、将线性规划问题的一般形式化为标准形式时，若第r个约束条件为，则引入_变量08、使目标函数达到_的可行解称为最优解。9、若原线性规划中有n个变量，则其对偶规划中一定有_个方程。10、用单纯形法解线性规划问题时，若检验数有负，则要进行_。二、计算题1、设得值2、计算的值。3、解方程4、设正方形ABCD的边长为1，P、Q分别为边AB、AD上的一点，如图，若APQ的周长为2，求PCQ。5、设正方体ABCDA1B1C1D1的边长为a，试求B到平面AB1C的距离。6、用单纯性法解线性规划问题 maxS=80+45 20+5400 15+10450 0, 0三、证明题1、在ABC中，D为BC的中点，过D作一直线分别与AC、AB的延长线交于E、F。求证：2、正方形ABCD中E是CD的中点，F是DA的中点，连接BF、CF，它们相交于P，如图所示，求证：AP=AB3、设f(x)是以R为定义域的函数，且对任意的，均满足f(x+y)=f(x)+f(y)求证：（1）f(0)=0;f(-x)=-f(x) （2）当（3）当四、简答1、将线性规划问题化为标准形式无非负限制2、如果某线性规划问题的约束方程组为 -+=4 -+3=8写出该问题的所有基阵与基本解，并判断是否是基本可行解。初等代数研究练习题答案一、填空题1、2、3、4、15、（1）90； （2）156、约束条件 7、松弛 8、最大值9、n 10、换基迭代三、计算题1、解：由tan=2知sin=2 cos=于是原式=2、解：令=arc cot（），则，cot=，tan=于是cos=所以原式=cos3、解：原方程可化为 （1）x1时，方程为解得 所以x=1（2）1时，方程为 解得 此时方程无解（3）时，方程为解得 所以（4） 解得所以综上知，方程的解为，14、将CDQ绕点O旋转90至CBQ如图则有CQDCBQ，则有CQ=CQ DQ=BQ因为APQ的周长为2，所以有PQ=PB+DQ故由PQ=PQ 因此由及PC公边有CPQCPQ则PCQ=PCQ 而QCQ=90 PCQ=45。5、解：我们先证明BD1平面AB1C事实上因ABCDA1B1C1D1为正方体，则DD1平面ABCD。 因此 DD1AC又因ABCD为正方形ACBD而DD1和BD相交所以，AC平面BDD1 BD1在平面BDD1上因此 BD1AC 同理BD1AB1所以 BD1平面AB1C设垂足为H，由于易知AB1C必为等边三角形，故易知H为AB1C的中心，连接BH，则BHB1=90由于AB1= B1C=CA=a则B1H= AB1=a=a所以BH= a这就是B到平面AB1C的距离。6、解：（1）将此线性规划问题化为标准形式 maxS=80+45 20+ 5+ =400 15+10 +=450 ,0 （2）进一步化为典式形式 maxS 20+ 5+ =400 15+10 +=450 S-80-45 =0 ，0 （3）用下列表格表示上式2020510400151001450S-80-45000 得基可行解 （4）进行换基迭代 由于min-80,-45=-80,因此入基 由于min=,所以出基 这时20为主元，将20框出 把表中第一列除20以外都化为0，后把20变为1 102001150S0-25401600 迭代后，新基变量为，而非基变量为， 令=0，得新基可行解 由于检验数仍有负数，重复上面工作 -25是系数，则入基 又min,=,则出基，为主元 对上表施行行初等变换得10140124S00142200 令=0，得基可行解 （5）此时检验数均为正数，故为最优解，最优值为2200 三、证明题1、证明：过C引EF的平行线交AB的延长线于G，则由EFCG 得 （1）而BD=DC，故BF=FG代入（1）式得2、证明：连接BF得RtABF再过A作AP的垂线交CF的延长线于G，又得到RtAPGAFPB内接于圆1=23=4又3=5=64=6AF=AGABFAPGAB=AP3、证明：（1）令x=y=0，则 f(0)=2f(0)所以 f(0)=0令y=-x, 则 f(0)=f(x)+f(-x)所以 f(-x)=-f(x)(2) m=0 时， f(0)=0; m=1时， f(x)=f(x) m2时，对m用数学归纳法证明f(mx)=mf(x) k=2时，f(2x)=f(x+x)=2f(x) 假设， f(mx)=mf(x) 则 f(m+1)x=f(mx+x)=mf(x)+f(x)=(m+1)f(x) 所以 m2时，f(mx)=mf(x)所以 m0时，f(mx)=mf(x)m-1时，设m=-n，nN 则f(mx)=f(-nx)=-f(nx)=-nf(x)=mf(x) 综上，mZ时，f(mx)=mf(x) （3）可设，其中m,nZ，且n0 于是 所以 四、简答题1、 解：令=-S，0，0，=-，0 于是 max=2+3-(-) -+2(-)- =8 2+-3(-) +=20 -2(-) =2 ,0 2、解：令A= 由于、，、线性无关，所以只有两个基