北京市朝阳区2015年中考数学二模试卷含答案解析

第 1 页（共 39 页） 2015 年北京市朝阳区中考数学二模试卷 一、选择题（本题共 30分，每小题 3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的 1某种埃博拉病毒（ 右将 科学记数法表示应为（ ） A 0 6 B 0 7 C 0 8 D 0 9 2下列二次根式中，能与 合并的是（ ） A B C D 3在下面的四个几何体中，它们各自的左视图与主视图不相同的是（ ） A 正方体 B 三棱柱 C 圆柱 D 圆锥 4如图，在 ， D 为 上一点， 点 E若 = ， ，则 长为（ ） 第 2 页（共 39 页） A 6 B 9 C 15 D 18 5在一个不透明的盒子中装有 n 个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有 4 个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再 放回盒中大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在 么可以推算出 n 大约是（ ） A 10 B 14 C 16 D 40 6某射击教练对甲、乙两个射击选手的 5 次成绩（单位：环）进行了统计，如表 甲 10 9 8 5 8 乙 8 8 7 9 8 所示：设甲、乙两人射击成绩的平均数分别为 、 ，射击成绩的方差分别为 、 ，则下列判断中正确的是（ ） A ， B = ， C = ， D = ， 7一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点 O 为圆心 ， 5 为半径的圆的一部分， M 是 O 中弦中点， 过圆心 O 交 O 于点 E若 ，则隧道的高（ 长）为（ ） A 4 B 6 C 8 D 9 第 3 页（共 39 页） 8某数学课外活动小组利用一个有进水管与出水管的容器模拟水池蓄水情况：从某时刻开始， 5 分钟内只进水不出水，在随后的 10 分钟内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数容器内的蓄水量 y（单位： L）与时间 x（单位： 间的关系如图所示，则第 12 分钟容器内的蓄水量为（ ） A 22 B 25 C 27 D 28 9如图，点 M、 N 分别在矩形 ，将矩形 折后点 C 恰好与点 此时 = ，则 面积与 面积的比为（ ） A 1： 3 B 1： 4 C 1： 6 D 1： 9 10如图，矩形 ， E 为 点，点 F 为 的动点（不与 B、 C 重合）连接 直径的圆分别交 点 G、 H设 长度为 x，弦 长度和为 y，则下列图象中，能表示 y 与 x 之间的函数关系的图象大致是（ ） 第 4 页（共 39 页） A B CD 二 、填空题（本题共 18分，每小题 3分） 11若分式 的值为 0，则 x 的值为 12分解因式： 312 13用一个圆心角为 120，半径为 6扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 14如图， ， C， 中线，分别以点 A、 C 为圆心，以大于 为半径画弧，两弧交点分别为点 E、 F，直线 交于 点 O，若 ，则 接圆的面积为 15如图，点 B 在线段 ， 1= 2，如果添加一个条件，即可得到 么这个条件可以是 （要求：不在图中添加其他辅助线，写出一个条件即可） 第 5 页（共 39 页） 16如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为 1： 2 的两部分，那么称这样的平行四边形为 “协调平行四边形 ”，称该边为 “协调边 ”当 “协调边 ”为 3 时，它的周长 为 三、解答题（本题共 30分，每小题 5分） 17已知：如图，在 ， 0， C， 点 E， 点 D求证：D 18计算： 19解不等式 x x ，并把它的解集在数轴上表示出来 20已知 a b= ，求（ a 2） 2+b（ b 2a） +4（ a 1）的值 21如图，一次函数 y=kx+b（ k0）的图象与反比例函数 y= （ m0）的图象交于 A （ 3， 1），B （ 1， n）两点 （ 1）求反比例函数和一次函数的表达式； （ 2） 设直线 y 轴交于点 C，若点 P 在 x 轴上，使 C，请直接写出点 P 的坐标 第 6 页（共 39 页） 22列方程或方程组解应用题： 四、解答题（本题共 20分，每小题 5分） 23如图，点 F 在 对角线 ，过点 F、 B 分别作 平行线相交于点 E，连接 （ 1）求证：四边形 菱形； （ 2）若 ， ， ，求 长 24某校为了更好的开展 “学校特色体育教育 ”，从全校八年级的各班分别随机抽取了 5 名男生和 5名女生，组成了一个容量为 60 的样本，进行各项体育项目的测试，了解他们的身体素质情况下表 第 7 页（共 39 页） 是整理样本数据，得到的关于每个个体的测试成绩的部分统计表、图：某校 60 名学生体育测试成绩频数分布表 成绩 划记 频数 百分比 优秀 正正正 a 30% 良好 正 正正正正正 30 b 合格 正 9 15% 不合格 3 5% 合计 60 60 100% （说明： 40 55 分为不合格， 55 70 分为合格， 70 85 分为良好， 85 100 分为优秀）请根据以上信息，解答下列问题： （ 1）表中的 a= ， b= ； （ 2）请根据频数分布表，画出相应的频数分布直方图； （ 3）如果该校八年级共有 150 名学生，根据以上数据，估计该 校八年级学生身体素质良好及以上的人数为 25如图， O 是 外接圆， C， O 的直径， 延长线交于点 P，连接 （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若 ， ，求 长 第 8 页（共 39 页） 26阅读下面材料： 小凯遇到这样一个问题：如图 1，在四边形 ，对角线 交于点 O， ， ， 0，求四边形 面积小凯发现，分别过点 A、 C 作直线 垂线，垂足分别为点 E、 F，设 m，通过计算 面积和使问题得到解决（如图 2）请回答： （ 1） 面积为 （用含 m 的式子表示） （ 2）求四边形 面积 参考小凯思考问题的方法，解决问题：如图 3，在四边形 ，对角线 交于点 O，AC=a， BD=b， （ 0 90），则四边形 面积为 （用含 a、 b、 的式子表示 ） 五、解答题（本题共 22分，第 27题 7分，第 28题 7 分，第 29题 8分） 27已知：关于 x 的一元二次方程 2（ a 1） x+a 2=0（ a 0） （ 1）求证：方程有两个不相等的实数根； （ 2）设方程的两个实数根分别为 中 若 y 是关于 a 的函数，且 y=这个函数的表达式； （ 3）在（ 2）的条件下，结合函数的图象回答：若使 y 3，则自变量 a 的取值范围为 第 9 页（共 39 页） 28数学活动课上，老师提出这样一个问题：如果 C， 0， 0，连接 么 间会有怎样的等量关系呢？经过思考后，部分同学进行了如下的交流： 小蕾：我将图形进行了特殊化，让点 P 在 长线上（如图 1），得到了一个猜想： 小东：我假设点 P 在 内部，根据题目条件，这个图形具有 “共端点等线段 ”的特点，可以利用旋转解决问题，旋转 得到 P且可推出 别是等边三角 形、直角三角形，就能得到猜想和证明方法 这时老师对同学们说，请大家完成以下问题： （ 1）如图 2，点 P 在 内部， ， ， 用等式表示 间的数量关系，并证明 （ 2）对于点 P 的其他位置，是否始终具有 中的结论？若是，请证明；若不是，请举例说明 29如图，顶点为 A（ 4， 4）的二次函数图象经过原点（ 0， 0），点 P 在该图象上， 其 对称轴 l 于点 M，点 M、 N 关于点 A 对称，连接 （ 1）求该二次函数的表达式； （ 2）若点 P 的坐标是（ 6， 3），求 面积； 第 10 页（共 39 页） （ 3）当点 P 在对称轴 l 左侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题： 求证： 若 直角三角形，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标 第 11 页（共 39 页） 2015年北京市朝阳区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 30分，每小题 3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符 合题意的 1某种埃博拉病毒（ 右将 科学记数法表示应为（ ） A 0 6 B 0 7 C 0 8 D 0 9 【考点】 科学记数法 表示较小的数 【分析】 绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】 解： 0 7； 故选： B 【点评】 此题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10 n，其中 1|a| 10， n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 2下列二次根式中，能与 合并的是（ ） A B C D 【考点】 同类二次根式 【分析】 先化成最简二次根式，再判断即可 【解答】 解： A、 ，不能和 合并，故本选项错误； B、 ，不能和 合并，故本选项错误； C、 ，能和 合并，故本选项正确； D、 =2 不能和 合并，故本选项错误； 故选： C 【点评】 本题考查了二次根式的性质，同类二次根式的应用，注意：几个二次根式，化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式 3在下面的四个几何体中，它们各自的左视图与主视图不相同的是（ ） 第 12 页（共 39 页） A 正方体 B 三棱柱 C 圆柱 D 圆锥 【考点】 简单几何体的三视图 【分析】 主视图、左视图分别从物体正面、左面看所得到的图形 【解答】 解： A、主视图与左视图都是正方形； B、主视图为长方形，左视图为中间有一条竖直的虚线的长方形，不相同； C、主视图与左视图都是矩形； D、主视图与左视图都是等腰三角形； 故选 B 【点评】 本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，左 视图是从物体的左面看得到的视图注意所有的看到的棱都应表现在三视图中 4如图，在 ， D 为 上一点， 点 E若 = ， ，则 长为（ ） A 6 B 9 C 15 D 18 【考点】 平行线分线段成比例 第 13 页（共 39 页） 【分析】 如图，直接运用平行线分线段成比例定理列出比例式 ，借助已知条件求出 可解决问题 【解答】 解：如图， ， = ， ， 故选 B 【点评】 该题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；运用平行线分线段成比例定理正确写出比例式是解题的关键 5在一个不透明的盒子中装有 n 个 小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有 4 个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在 么可以推算出 n 大约是（ ） A 10 B 14 C 16 D 40 【考点】 利用频率估计概率 【分析】 利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率 【解答】 解： 通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳 定于 = 解得： n=10 故选 A 【点评】 此题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键 第 14 页（共 39 页） 6某射击教练对甲、乙两个射击选手的 5 次成绩（单位：环）进行了统计，如表 甲 10 9 8 5 8 乙 8 8 7 9 8 所示：设甲、乙两人射击成绩的平均数分别为 、 ，射击成绩的方差分别为 、 ，则下列判断中正确的是（ ） A ， B = ， C = ， D = ， 【考点】 方差；算术平均数 【分析】 分别计算平均数和方差后比较即可得到答案 【解答】 解：（ 1） = （ 10+8+9+8+10） =9； = （ 9+8+9+10+9） =9； = （ 10 9） 2+（ 8 9） 2+（ 9 9） 2+（ 8 9） 2+（ 10 9） 2= = （ 9 9） 2+（ 8 9） 2+（ 9 9） 2+（ 10 9） 2+（ 9 9） 2= = ， 故选 D 【点评】 本题考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定 7一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点 O 为圆心， 5 为半径的圆的一部分， M 是 O 中弦中点， 过圆心 O 交 O 于点 E若 ，则隧道的高（ 长）为（ ） A 4 B 6 C 8 D 9 第 15 页（共 39 页） 【考点】 垂径定理的应 用；勾股定理 【分析】 因为 M 是 O 弦 中点，根据垂径定理， M=3，在 ，有 求得 而就可求得 【解答】 解： M 是 O 弦 中点， 根据垂径定理： 又 则有： ， 设 x 米， 在 ，有 即： 52=32+ 解得： x=4， 所以 +4=9 故选 D 【点评】 此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关 的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为 r，弦长为 a，这条弦的弦心距为 d，则有等式 r2= ） 2 成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个 8某数学课外活动小组利用一个有进水管与出水管的容器模拟水池蓄水情况：从某时刻开始， 5 分钟内只进水不出水，在随后的 10 分钟内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数容器内的蓄水量 y（单位： L）与时间 x（单位： 间的关系如图所示，则第 12 分钟容 器内的蓄水量为（ ） A 22 B 25 C 27 D 28 【考点】 一次函数的应用 【分析】 用待定系数法求出 5x15 对应的函数关系式，当 x=12 时，求出对应的值，即可解答 【解答】 解：当 5x15 时，设 y=kx+b， 第 16 页（共 39 页） 把（ 5， 20），（ 15， 30）代入得： 解得： y=x+15， 当 x=12 时， y=12+15=27， 故选 ： C 【点评】 本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是用待定系数法求出函数解析式 9如图，点 M、 N 分别在矩形 ，将矩形 折后点 C 恰好与点 此时 = ，则 面积与 面积的比为（ ） A 1： 3 B 1： 4 C 1： 6 D 1： 9 【考点】 翻折变换（折叠问题） 【分析】 由 = ，可知 ，易证 M，得到 ，于是可求出 面积与 【解答】 解：根据折叠的性质， N， 四边形 矩形， N， = ， ， 第 17 页（共 39 页） ， 面积： 面积 =1： 3 故选： A 【点评】 本题主要考查了图形的折叠问题、等高的三角形面积比等于底的比，把 面积与 面积的比转化为边的比，运用等高的三角形面积比等于底的比这一性质是解决问题的关键 10如图，矩形 ， E 为 点，点 F 为 的动点（不与 B、 C 重合）连接 直径的圆分别交 点 G、 H设 长度为 x，弦 长度和为 y，则下列图象中，能表示 y 与 x 之间的函数关系的图象大致是（ ） A B CD 【考点】 动点问题的函数图象 【 分析】 作 M，设 D=a， C=2b，根据勾股定理表示出 E= ，然后用锐角三角函数表示出 现 H 为定值，即可得到结论 【解答】 解：如图，作 M， 点 E 是矩形 边 的中点， E， 点 M 是 中点， 第 18 页（共 39 页） 设 D=a， C=2b， 则 M=b， EM=a， E= ， ， O 的直径， 0 BF=x， b x， F， F， H= ， 定值， H= 为定值， 故选： D 【点评】 本题主要考查了动点问题的函数图象，综合运用勾股定理和锐角三角函数进行计算，通过计算发现 H 为定值是解决问题的关键 二、填空题（本题共 18分，每小题 3分） 11若分式 的值为 0，则 x 的值为 3 【考点】 分式的值为零的条件 【分析】 分式的值为 0 的条件是：（ 1）分子为 0；（ 2）分母不为 0两个条件需同时具备，缺一不可据此可以解答本题 第 19 页（共 39 页） 【解答】 解：由题意可得： 2x 6=0 且 x+10， 解得 x=3 故答案为： 3 【点评】 此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零注意： “分母不为零 ”这个条件不能少 12分解因式： 3123（ x 2y）（ x+2y） 【考点】 提公因式法与公式法的综合运用 【分析】 先提取公因式 3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 【解答】 解： 312 =3（ 4 =3（ x+2y）（ x 2y） 【点评】 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提 取公因式后，可以利用平方差公式进行二次分解 13用一个圆心角为 120，半径为 6扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 2 【考点】 圆锥的计算 【分析】 易得扇形的弧长，除以 2即为圆锥的底面半径 【解答】 解：扇形的弧长 = =4， 故圆锥的底面半径为 42=2 故答案为： 2 【点评】 考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长 14如图， ， C， 中线，分别以点 A、 C 为圆心，以大于 为半径画弧，两弧交点分别为点 E、 F，直线 交于点 O，若 ，则 接圆的面积为 4 第 20 页（共 39 页） 【考点】 三角形的外接圆与外心 【分析】 利用等腰三角形的性质结合三角形外接圆的作法得出 O 点即为 接圆的圆心，进而求出其面积 【解答】 解： C， 中线， 直平分 分别以点 A、 C 为圆心，以大于 为半径画弧，两弧交点分别为点 E、 F， 直平分 直线 交于点 O， 点 O 即为 接圆圆心， 接圆半径， 接圆的面积为： 4 故答案为： 4 【点评】 此题主要考查了三角形的外心，得出 O 点即为 接圆圆心是解题关键 15如图，点 B 在线段 ， 1= 2，如果添加一个条件，即可得到 么这个条件可以是 D 或 C= D （要求：不在图中添加其他辅助线，写出一个条件即可） 第 21 页（共 39 页） 【考点】 全等三角形的判定 【专题】 开放型 【分析】 已知已经有一对角和一条公共边，所以再找一对边或一对角就可以得到两三角形全等 【解答】 解：已经有 B， 再添加 D，利用 明； 或添加 用 明； 或添加 C= D，利用 明，（答案只要符合即可） 故答案为 D 或 C= D 【点评】 本题考查了全等三角形的判定；本题是开放性题目，答案不确定，只要符合题意即可 16如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为 1： 2 的两部分，那么称这样的平行四边形为 “协调平行四边形 ”，称该边为 “协调边 ”当 “协调边 ”为 3 时，它的周长为 8 或 10 【考点】 平行四边形的性质 【专题】 分类讨论 【分析】 由平行四边形的性质和角平分线的定义得出 E；分两种情况： 当 ， 时；当 ， 时；即可求出平行四边形 周长 【解答】 解：如图所示： 当 ， 时， 四边形 平行四边形， D=3， D， 分 E=1， 平行四边形 周长 =2（ D） =8； 当 ， 时， 同理得： E=2， 平行四边形 周长 =2（ D） =10； 故答案为： 8 或 10 第 22 页（共 39 页） 【点评】 本题考查了 平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键；注意分类讨论思想的运用，避免漏解 三、解答题（本题共 30分，每小题 5分） 17已知：如图，在 ， 0， C， 点 E， 点 D求证：D 【考点】 全等三角形的判定与性质 【专题】 证明题 【分析】 根据垂直的定义以及等量代换可知 据已知条件 C，根据全等三角形的判定 可证明 利用全等三角形的性质证明即可 【解答】 证明： 0， 0， 又 0， 又 C， 在 ， ， D 第 23 页（共 39 页） 【点评】 本题考查了全等三角形的判定定理，关键是根据 明两三角形全等，难度适中 18计算： 【考点】 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 【专题】 计算题 【分析】 原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项化为最简二次根式，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果 【解答】 解：原式 =4+2 4 1=2 1 【点评】 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的 关键 19解不等式 x x ，并把它的解集在数轴上表示出来 【考点】 解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集 【专题】 计算题 【分析】 先去分母、移项得到 3x 4x 2+4，然后合并后把 x 的系数化为 1 即可得到不等式 的解集，再利用数轴表示解集 【解答】 解：去分母得 3x 44x 2， 移项得 3x 4x 2+4， 合并得 x2， 系数化为 1 得 x 2， 用数轴表示为： 【点评】 本题考查了解一元一次不等式：解一元一次不等式的一般步骤为：先去括号，再移项，接着合并同类项，然后把系数化为 1也考查了在数轴上表示不等式的解集 20已知 a b= ，求（ a 2） 2+b（ b 2a） +4（ a 1）的值 【考点 】 整式的混合运算 化简求值 【专题】 计算题 第 24 页（共 39 页） 【分析】 原式利用完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值 【解答】 解：（ a 2） 2+b（ b 2a） +4（ a 1） =4a+4+2a 4 =a2+2（ a b） 2， a b= ， 原式 =2 【点评】 此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 21如图，一次函数 y=kx+b（ k0）的 图象与反比例函数 y= （ m0）的图象交于 A （ 3， 1），B （ 1， n）两点 （ 1）求反比例函数和一次函数的表达式； （ 2）设直线 y 轴交于点 C，若点 P 在 x 轴上，使 C，请直接写出点 P 的坐标 【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】 （ 1）把 A （ 3， 1）代入 y= ，把 A （ 3， 1）， B（ 1， 3）代入 y=kx+b， 即可得到结果； （ 2）直线 y 轴交于点 C，求得 C（ 0， 2），求出 =3 ，由于点P 在 x 轴上，设 P（ a， 0）根据 B 和两点间的距离公式得 3 = ，解得 a=4，或 a= 2，即可得到结果 【解答】 解：（ 1）把 A （ 3， 1）代入 y= ，得 ， 解得 m= 3， 反比例函数的表达式为 ， 第 25 页（共 39 页） 当 x=1 时， ， B（ 1， 3）； 把 A （ 3， 1）， B（ 1， 3）代入 y=kx+b， ， 解得： ， 一次函数的表达式为 y= x 2； （ 2） 直线 y 轴交于点 C， C（ 0， 2）， =3 ， 点 P 在 x 轴上， 设 P（ a， 0） B， 3 = ， 解得： a=4，或 a= 2， P（ 4， 0）或（ 2， 0） 【点评】 本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，两点间的距离公式，正确的识图是解题的关键 22列方程或方程组解 应用题： 【考点】 分式方程的应用；一元二次方程的应用 【分析】 设小白家这两年用水的年平均下降率为 x，根据图示可得，实用新型冲水马桶之后，两年之后全年用水量只剩下 64000 升，据此列方程求解 第 26 页（共 39 页） 【解答】 解：设小白家这两年用水的年平均下降率为 x， 由题意，得 （ 1 x） 2=64000， 解得： x=符合题意，舍去， x=0% 答：小白家这两年用水的 年平均下降率为 20% 【点评】 本题考查了一元二次方程的应用，解答本题案的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解 四、解答题（本题共 20分，每小题 5分） 23如图，点 F 在 对角线 ，过点 F、 B 分别作 平行线相交于点 E，连接 （ 1）求证：四边形 菱形； （ 2）若 ， ， ，求 长 【考点】 菱形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质 【分析】 （ 1）由外角的性质可得 因为 得 F，由菱形的判定定理可得结论； （ 2）作 ，由特殊角的三角函数可得 0，由平行线的性质可得 2= 0，利用锐角三角函数可得 菱形的性质和勾股定理得 【解答】 （ 1）证明： 四边形 平行四边形 F， 第 27 页（共 39 页） 菱形； （ 2）解：作 点 H， ， 0， 1= 2= 1， 2= 0， ， ， D2=4， 四边形 菱形， B=， ， ， 【点评】 本题主要考查了菱形的性质及判定定理，锐角三角函数等，由锐角三角函数解得 24某校为了更好的开展 “学校特色体育教育 ”，从全校八年级的各班分别随机抽取了 5 名男生和 5名女生，组成了一个容量为 60 的样本，进行各项体育项目的测试，了解他们的身体素质情况下表是整理样本数据，得到的关于每个个体的测试成绩的部分统计表、图：某校 60 名学生体育测试成 绩频数分布表 成绩 划记 频数 百分比 第 28 页（共 39 页） 优秀 正正正 a 30% 良好 正正正正正正 30 b 合格 正 9 15% 不合格 3 5% 合计 60 60 100% （说明： 40 55 分为不合格， 55 70 分为合格， 70 85 分为良好， 85 100 分为优秀）请根据以上信息，解答下列问题： （ 1）表中的 a= 18 ， b= 50% ； （ 2）请根据频数分布表，画出相应的频数分布直方图； （ 3）如果该校八年级共有 150 名学生，根据以上数据，估计该校八年级学生身体素质良好及以上的人数为 120 【考点】 频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表 【分析】 （ 1）根据样本容量和百分比求出频数，根据样本容量和频数求出百分比； （ 2）根据频数画出频数分布直方图； （ 3）求出八年级学生身体素质良好及以上的人数的百分比，根据总人数求出答案 【解答】 解：（ 1） 6030%=18， 3060100%=50%， a=18， b=50%； （ 2）如图， （ 3） 150（ 30%+50%） =120 第 29 页（共 39 页） 【点评】 本题考查读频数分布表的能力和利用统计图获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题 25如图， O 是 外接圆， C， O 的直径， 延长线交于点 P，连接 （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若 ， ，求 长 【考点】 切线的判定；勾股定理 【分析】 （ 1）连接 点 E，根据垂径定理的推论求得 后根据平行线的性质证得 0，即可证得结论 （ 2）根据勾股定理求得 出 ，根据 D= C，得出 = ，从而求得 【解答】 （ 1）证明：连接 点 E， 由 C 可得 0 O 的半径， O 的切线 第 30 页（共 39 页） （ 2）解：根据（ 1）可得 ， ， 直径， 0， 又 D= C， = ， 【点评】 本题考查了切线的判定，勾股定理的应用，正切函数的应用等；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线 26阅读下面 材料： 小凯遇到这样一个问题：如图 1，在四边形 ，对角线 交于点 O， ， ， 0，求四边形 面积小凯发现，分别过点 A、 C 作直线 垂线，垂足分别为点 E、 F，设 m，通过计算 面积和使问题得到解决（如图 2）请回答： （ 1） 面积为 （用含 m 的式子表示） （ 2）求四边形 面积 参考小凯思考问题的方法，解决问题：如图 3，在四边形 ，对角线 交 于点 O，AC=a， BD=b， （ 0 90），则四边形 面积为 （用含 a、 b、的式子表示） 第 31 页（共 39 页） 【考点】 解直角三角形；三角形的面积；含 30 度角的直角三角形 【分析】 （ 1）首先得出 长，再利用三角形的面积公式求出即可； （ 2）根据直角三角形的性质可得 ，再根据三角形的面积公式可得 S ，同理再表示 ，然后再表示 面积，再求两个三角形的面积和可得答案； （ 3）方法与（ 2）类似 【解答】 解：（ 1） AO=m， 0， m， 面积为： m6= ； 故答案为： m； （ 2）由题意可知 0 AO=m， 0， S 同理， S S 四边形 解决问题：分别过 点 A、 C 作直线 垂线，垂足分别为点 E、 F，设 x， AO=x， ， AE=x S E= 同理， 4 x） 第 32 页（共 39 页） S F= b（ 4 x） S 四边形 故答案为： 【点评】 此题主要考查了含 30 度角的直角三角形的性质，三角形的面积，三角函数，关键是掌握三角形的面积公式 五、解答题（本题共 22分，第 27题 7分，第 28题 7 分，第 29题 8分） 27已知：关于 x 的一元二次方程 2（ a 1） x+a 2=0（ a 0） （ 1）求证： 方程有两个不相等的实数根； （ 2）设方程的两个实数根分别为 中 若 y 是关于 a 的函数，且 y=这个函数的表达式； （ 3）在（ 2）的条件下，结合函数的图象回答：若使 y 3，则自变量 a 的取值范围为 0 a 【考点】 抛物线与 x 轴的交点；二次函数与不等式（组） 【专题】 计算题 【分析】 （ 1）由于 a 0，则计算判别式的值得到 0，于是根据判别式的意 义可判断方程有两个不相等的实数根； （ 2）利用求根公式可得到 ， ，于是得到 y=x1=a 1； 第 33 页（共 39 页） （ 3）把 y 3 理解为一次函数 y=a 1 与二次函数 y= 3 比较函数值的大小，先求出两函数的交点坐标，然后写出抛物线都在直线上方所对应的自变量的范围即可，注意 a 0 【解答】 （ 1）证明： = 2（ a 1） 2 4a（ a 2） =4 0， 方程有两个不相等的实数根； （ 2）解： x= = a 0， ， ， y=x1=a 1， 即这个函数的表达式为 y=a 1（ a 0）； （ 3）解：如图， 解方程组 得 或 ， 即抛物线 y= 3 与直线 y=a 1 的两 个交点坐标为（ 1， 2）、（ ， ）， 当 y 3 时， 0 a 故答案为 0 a 【点评】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点：求二次函数 y=bx+c（ a， b， c 是常数， a0）与 x 轴的交点坐标，令 y=0，即 bx+c=0，解关于 x 的一元二次方程即可求得交点横坐标二次函数y=bx+c（ a， b， c 是常数， a0）的交点与一元二次方程 bx+c=0 根之间的关系： =4x 轴的交点个数 =40 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点； =4 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点； =40 时，抛物线与 x 轴没有交点 第 34 页（共 39 页） 28数学活动课上，老师提出这样一个问题：如果 C， 0， 0，连接 么 间会有怎样的等量关系呢？经过思 考后，部分同学进行了如下的交流： 小蕾：我将图形进行了特殊化，让点 P 在 长线上（如图 1），