数学经典易错题会诊与高考试题预测4

1 经典易错题会诊与经典易错题会诊与 2012 届高考试题届高考试题 预测预测 四四 考点考点 4 4 数数 列列 经典易错题会诊经典易错题会诊 命题角度 1 数列的概念 命题角度 2 等差数列 命题角度 3 等比数列 命题角度 4 等差与等比数列的综合 命题角度 5 数列与解析几何 函数 不等式的综合 命题角度 6 数列的应用 探究开放题预测探究开放题预测 预测角度 1 数列的概念 预测角度 2 等差数列与等比数列 预测角度 3 数列的通项与前 n 项和 预测角度 4 递推数列与不等式的证明 预测角度 5 有关数列的综合性问题 预测角度 6 数列的实际应用 预测角度 7 数列与图形 经典易错题会诊经典易错题会诊 命题角度 1 数列的概念数列的概念 1 典型例题 已知数列 an 满足 a1 1 an a1 2a2 3a3 n 1 an 1 n 2 则 an 的通项 an 考场错解考场错解 an a1 2a2 3a3 n 1 an 1 an 1 a1 2a2 3a3 n 2 an 2 两式相 减得 an an 1 n 1 an 1 an nan 1 由此类推 an 1 n 1 an 2 a2 2a1 由叠乘法可得 an 2 n 专家把脉专家把脉 在求数列的通项公式时向前递推一项时应考虑 n 的范围 当 n 1 时 a1 2 1 与已知 a1 1 矛盾 对症下药对症下药 n 2 时 an a1 2a2 3a3 n 1 an 1 当 n 3 时 an 1 a1 2a2 3a3 n 2 an 2 得 an an 1 n 1 an 1 当 n 3 时 1 n n a a n an 1 n n a a 2 1 n n a a 2 2 3 3 4 a a a a a n 4 3 a2 2 n a2 a2 a1 1 2 当 n 2 时 an 2 n 当 n 1 时 a1 1 故 an 2 2 1 1 n n n 2 典型例题 设数列 an 的前 n 项和为 Sn Sn 2 13 1 n a 对于所有 n 1 且 a4 54 则 a1的数值是 考场错解考场错解 Sn 2 13 1 n a 31 31 1 n a 此数列是等比数列 首项是 a1 公比是 3 由 a4 a1 34 1 a1 2 专家把脉专家把脉 此题不知数列 an 的类型 并不能套用等比数列的公式 而答案一致 是巧合 对症下药对症下药 a4 S4 S3 2 1 a 34 1 2 1 a 33 1 54 解得 a1 2 3 典型例题 已知数列 an 满足 a1 1 an 3n 1 an 1 n 2 1 求 a2 a3 2 求通项 an的表达式 考场错解考场错解 1 a1 1 a2 3 1 4 a3 32 4 13 2 由已知 an 3n 1 an 1 即 an an 1 3n 1 即 an成等差数列 公差 d 3n 1 故 an 1 n 1 3n 1 专家把脉专家把脉 2 问中 an an 1 3n 1 3n 1不是常数 它是一个变量 故不符合等差数列 的定义 对症下药对症下药 1 a1 1 a2 4 a3 32 4 13 2 由已知 an an 1 3n 1 故 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 3n 1 3n 2 3 1 2 13 n 4 典型例题 等差数列 an 中 a1 a2 a3 24 a18 a19 a20 78 则此数列前 20 项和等于 A 160 B 180 C 200 D 220 考场错解考场错解 由通项公式 an a1 n 1 d 将 a2 a3 a18 a19 a20都表示成 a1和 d 求 a1 d 再利用等差数列求和 选 C 专家把脉专家把脉 此方法同样可求得解 但解法大繁 花费时间多 计算量大故而出错 应运用数列的性质求解就简易得多 对症下药对症下药 B 由公式 m n 2P am an 2ap 只适用等差数列 即可求解 由 a1 a2 a3 24 可得 3a2 24 由 a18 a19 a20 78 可得 3a19 78 即 a2 8 a19 26 又 S20 2 20 201 aa 10 a2 a19 180 2 典型例题 若 an 是等差数列 首项 a1 0 a2003 a2004 0 a2003 a2004 0 则使 前 n 项和 Sn 0 成立的最大自然数 n 是 A 4005 B 4006 C 4007 D 4008 3 考场错解考场错解 a2004 a2003 0 即 2a1 2002d 2003d 0 a1 2002d a1 2003d 0 即使 na1 2 1 nn d 0 这样很难求出 a1 d 从而求出最大的自然数 n 故而判断 a2003 0 a20040 专家把脉专家把脉 此题运用等差数列前 n 项的性质及图象中应注意 a2003 0 a20040 a2003 a2004 0 a2003 a2004 0 且 an 为等差数列 an 表 示首项为正数 公差为负数的单调递减等差数列 且 a2003是绝对值最小的正数 a2004是绝 对值最大的负数 第一个负数 且 a2003 a2004 在等差数列 an 中 a2003 a2004 a1 a4006 0 S4006 2 4006 40061 aa 0 使 Sn 0 成立的最大自然数 n 是 4006 3 典型例题 设无穷等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 若首项 a1 2 3 公差 d 1 求满足 Sk2 Sk 2的正整数 k 求所有的无穷等差数列 an 使得对于一切正整数中 k 都有 Sk2 Sk 2成立 考场错解考场错解 1 当 a1 2 3 d 1 时 Sn 2 1 n2 n 由 Sk2 Sk 2得 2 1 k4 k2 2 2 2 1 kk 即 k 0 或 k 4 k 0 故 k 4 由对一切正整数 k 都有 Sk2 Sk 2 成立 即 k2a1 2 1 22 kk d ka1 d kk 2 1 2即 a1 2 1 a k2 adk2 k 1 2 d k2 k2 1 4 2 d k2 k 1 2 0 对 切正整数 k 恒成立 故 0 0 0 1 2 11 d da aa 求得 a1 0 或 1 d 0 等差数列 an 0 0 0 或 an 1 1 1 专家把脉专家把脉 中解法定对一切正整数 k 都成立 而不是一切实数 故而考虑取 k 的特值也均成立 对症下药对症下药 当 a1 2 3 d 1 时 Sn na1 2 1 2 1 2 3 2 1 2 nn nn nd nn 由 Sk2 Sk 2 得 2 1 k4 k2 2 1 k2 k 2 即 k3 1 4 1 k 0 又 k 0 所以 k 4 设数列 an 的公差为 d 则在 Sk2 Sk 2中分别取 k 1 2 得 2 2 12 2 2 34 4 1 2 11 2 11 2 24 2 11 dada aa SS SS 即 由 1 得 a1 0 或 a1 1 当 a1 0 时 代入 2 得 d 0 或 d 6 若 a1 0 d 0 则 an 0 sn 0 从而 Sk2 Sk 2成立 若 a1 0 d 6 则 an 6 n 1 由 S3 18 S3 2 324 S9 216 知 S9 S3 2 故所得数列不符合题意 当 a1 1 时 代入 2 得 4 6b 2 d 2解得 d 0 或 d 2 若 a1 1 d 0 则 an 1 Sn n 从而 Sk2 Sk 2成立 若 a1 1 d 2 则 an 2n 4 1 Sn 1 3 2n 1 n2 从而 Sk2 Sk 2成立 综上 共有 3 个满足条件的无穷等差数列 an an 0 即 0 0 0 an an 1 即 1 1 1 an an 2n 1 即 1 3 5 4 典型例题 已知数列 an 的各项都是正数 且满足 a0 1 an 1 2 1 an 4 an n N 1 证明 an an 1 2 n N 2 求数列 an 的通项公式 an 考场错解考场错解 用数学归纳法证明 1 1 当 n 1 时 a0 1 a1 2 1 a0 4 a0 2 3 a0 a1 2 命题正确 2 假设 n k 时有 ak 1 ak 2 则 n k 1 时 ak ak 1 2 1 ak 1 4 ak 1 2 1 ak 4 ak 2 ak 1 ak 2 1 ak 1 ak ak 1 ak 2 1 ak 1 ak 4 ak 1 ak 而 ak 1 ak 0 4 ak 1 ak 0 ak ak 1 0 又 ak 1 2 1 ak 4 ak 2 1 4 ak 2 2 2 n k 1 时命题正确 由 1 2 知 对一 切 n N 时有 an an 1 2 2 an 1 2 1 an 4 an 2 1 an 2 2 4 2 an 1 2 an 2 2 an 1 2 2 1 an 2 2令 bn an 2 bn 2 1 1 2 2n 1 n b2 1 又 b1 a1 2 2 1 bn 2 1 2n 2n 1 即 an 2 2 1 2n 2n 1 专家把脉专家把脉 在 问中求 bn的通项时 运用叠代法 最后到 b0而不是 b1 对症下药对症下药 同上 方法二 用数学归纳法证明 1 当 n 1 时 a0 1 a1 2 1 a0 4 a0 2 3 0 a0 a1 2 2 假设 n k 时有 ak 1 ak 2 成立 令 f x 2 1 x 4 x f x 在 0 2 上单调递增 所以由假设有 f ak 1 f ak f 2 即 2 1 ak 1 4 ak 1 2 1 ak 4 ak 2 1 2 4 2 也即当 x k 1 时 ak ak 1 2 成立 所以对一切 n N 有 ak ak 1 2 2 下面来求数列的通项 an 1 2 1 an 4 an 2 1 an 2 2 4 所以 2 an 1 2 an 2 2 令 bn an 2 则 bn 2 1 2 1 n b 2 1 2 1 2 2 n b 2 2 1 2 1 2 2 2 1 n b 2 1 1 2 2n 1b2n 又 bn 1 所以 bn 2 1 2n 1 即 an 2 bn 2 2 1 2n 1 专家会诊专家会诊 1 要善于运用等差数列的性质 若 m n p q 则 am an ap aq 等差数列前 n 项和符 合二次函数特征 借助二次函数性质进 5 行数形结合法解等差数列问题 2 会运用一般与特殊的逻辑思维 利用满足条件的特值求相关参数的值 学会分析问题 和解决问题 考场思维训练考场思维训练 1 在等差数列 an 中 若 a4 a6 a8 a10 a12 120 则 a9 3 1 a11的值为 A 14 B 15 C 16 D 17 答案 C 分析 略 2 等差数列 an 中 若其前 n 项的和 Sn n m 前 m 项的和 Sm m n m n m n N 则 A Sm n 4 B Sm n C Sm n 4 D 4 Sm n 2 答案 B 分析 略 3 数列 an 是公差 d 0 的等差数列 其前 n 项和为 Sn 且 a10 1 2 15 2 9 aa 求 an 的通项公式 答案 由已知 a1 9d 1 因为 a 2 9 0 0 159159 2 15 2 9 2 15 aaaaaaa即所以 因为 d 0 所以 a9 a15 0 即 a1 11d 0 由 解得 2 1 2 11 1 da 2 6 n an 所以 求 S 的最大值 答案 解 an 6 0 2 n 得 n 12 所以 数列 an 前 11 12 和最大 33 2 1 2 1112 2 11 12 1211 SS 将 Sn表示成关于 an的函数 答案 由 a 33 2 1 4 212 23 212 4 23 212 2 6 2 22 nn nn nnn aa aa S nn San n 所以又得 4 在数列 an 中 a1 3 1 a2 18 5 且 log2 3a2 a1 log 3an 1 an 是公差为 1 的等差数列 又 2a2 a1 2a3 a2 2an 1 an 是等比数列 公比为 q q 1 这个等比数列的所有项 之和等于 3 1 1 求数列 an 的通项公式 6 答案 设 bn log2 3an 1 an 因为 bn 是等差数列 d 1 b1 log2 3a2 a1 log2 1 1 11 3 1 log 3 1 18 5 3 112 nnb 于是 即 log2 3an 1 a n 所以 3an 1 an 2 n 设 cn 2an 1 an cn 是等比数列 公比为 q q 1 c1 2a2 a1 2 9 2 3 1 18 5 由即于是解得 3 1 3 2 3 1 9 2 3 1 3 1 1 11nn n cq q a 3 1 3 2 2 1 n nn aa 由 解得 3 1 2 1 2 na nn n 2 计算 n lim a1 a2 an 答案 lim a1 a2 an 1 2 1 1 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 lim2 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 lim2 22 22 n n nn nn 5 已知数列 an 是公差 d 0 的等差数列 其前 n 项和为 Sn 1 求证 点 P1 1 1 1 S P2 2 2 2 S Pn n n Sn 在同一条直线 l1上 1 答案 因为等差数列 an 的公差 d 0 所以 2 1 2 1 11 d k a k Sdkk kaS k k 当 3 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 11 1 nkpkpdd k ad k a k S k S kk k k 是常数即是常数时 所以 P2 P3 Pn都在过点 P1 1 a 且斜率为常数 2 d 的直线 l1上 2 过点 Q1 1 a1 Q2 2 a2 作直线 l1 l2 设 l1与 l2的夹角为 求证 tan 4 2 答案 直线 l2的方程为 y a1 d x 直线 l2的斜率为 d 7 tan 4 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 d d dd d d d d d d 当且仅当 2 2 时等号成立即 dd d 命题角度 3 等比数列等比数列 1 典型例题 数列 an 的前 n 项和记为 Sn 已知 a1 1 aa 1 n S n n2 n 1 2 3 证明 数列 n Sn 是等比数列 Sn 1 4an 考场错解考场错解 已知 a1 1 an 1 n S n n2 a2 3S1 3 S2 4 a3 2 4 S2 2 4 8 S3 1 3 8 12 即4 3 2 2 1 1 321 SSS 故 n Sn 是公比为 2 的等比数列 由 知 1 1 n Sn 4 1 1 n Sn 于是 Sn 1 4 n 1 1 1 n Sn 4an 又 a2 3 S2 a1 a2 4 因此对于 任意正整数 n 1 都有 Sn 1 4an 专家把脉专家把脉 中利用有限项判断数列类型是运用不完全归纳法 应给予证明 中 运用前推一项必须使 n 2 对症下药对症下药 an 1 Sn 1 Sn an 1 n n2 Sn n 2 Sn n Sn 1 Sn 整理得 nSn 1 2 n 1 Sn 所以 1 1 n Sn 2 n Sn 故 n Sn 是以 2 为公比的等比数列 由 知 1 1 n Sn 4 1 1 n Sn n2 于是 Sn 1 4 n 1 1 1 n Sn 4an n 2 又 a2 3S1 3 故 S1 a1 a2 4 因此对于任意整数 n 1 都有 Sn 1 4an 2 典型例题 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn Sn 3 1 an 1 n N 求 a1 a2 求证数列 an 是等比数列 考场错解考场错解 S1 3 1 a1 1 得 a1 2 1 S2 3 1 a2 1 即 a1 a2 3 1 a2 1 得 a2 4 1 an Sn Sn 1 3 1 an 1 3 1 an 1 1 得 2 1 1 n n a a 所以 an 是首项为 2 1 公比为 2 1 的 等比数列 专家把脉专家把脉 在利用 an Sn Sn 1公式时 应考虑 n 2 时才能成立 8 对症下药对症下药 由 S1 3 1 a1 1 得 a1 3 1 a1 1 a1 2 1 又 S2 3 1 a2 1 即 a1 a2 3 1 a2 1 得 a2 4 1 当 n 1 时 an SnSn 1 3 1 an 1 3 1 an 1 1 得 1 n n a a 2 1 所以 an 是首项为 2 1 公比 为 2 1 的等比数列 3 典型例题 等比数列的四个数之和为 16 中间两个数之和为 5 则该数列的公比 q 的取 值为 A 4 1 或 4 B 4 1 或 8 33415 C 4 或 8 41533 D 4 或 4 1 或 8 33415 或 8 41533 考场错解考场错解 设这四个数为 q a q a 3 aq aq3 由题意得 2 5 1 16 4 aq q a a 由 得 a 2 1 代入 得 q 2 1 或 q2 2 q2 4 1 或 q2 4 故所求的 公比为 4 1 或 4 故应选 A 专家把脉专家把脉 上述解答设等比数列的公比为 q2是不合理的 这相当于增加了四个数同 号这个条件 而题设中的四个数不一定同号 因此 产生了漏解现象 对症下药对症下药 设这四个数为 a aq aq2 aq3 则 8 33415 4 1 4 5 16 2 32 或或解之得q aqaq aqaqqaa 或 8 41533 因此 应选 D 4 典型例题 设数列 an 的首项 a1 a 4 1 且 an 1 3 2 1 4 1 4 1 2 1 12 nab na na nn n n 记 为奇数 为偶数 求 a2 a3 判断数列 bn 是否为等比数列 并证明你的结论 求 n lim b1 b2 b3 bn 9 考场错解考场错解 a2 a1 4 1 a 4 1 a3 2 1 a2 2 1 a 8 1 bn 1 a2n 1 4 1 4 1 4 1 22 2 12 4 1 12 1 n n n n n n a a a a b b 求 n lim b1 b2 b3 bn n lim 4 1 1 4 1 1 1 n b 3 1 3 4 4 1 3 4 4 1 1 4 1 4 1 1 1 aa a b 专家把脉专家把脉 在求证 bn是等比数列是时 22 2 n n a a 式子中 an 中 n 为偶数时 2 1 1 n n a a 是连续两项 并不能得出 4 1 2 n n a a 对症下药对症下药 a2 a1 4 1 a 4 1 a3 2 1 a2 2 1 a 8 1 a4 a3 4 1 2 1 a 8 3 所以 a5 2 1 a4 4 1 a 16 3 所以 b1 a1 4 1 a 4 1 b2 a3 4 1 2 1 a 4 1 b3 a5 4 1 4 1 a 4 1 猜想 bn 是公比为 2 1 的等比数列 证明如下 因为 bn 1 a2n 1 4 1 2 1 a2n 4 1 2 1 a2n 1 4 1 2 1 bn n N 所以 bn 是首项为 a 4 1 公比为 2 1 的等比数列 求 n lim b1 b2 b3 bn n lim 4 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 a b b n 专家会诊专家会诊 1 证明等比数列时应运用定义证 n n a a 1 为非 0 常数 而不能 1 n n a a 此时 n 2 2 等比数列中 q 可以取负值 不能设公比为 q2 3 会运用等比数列性质 若 m n p k 则 am an ap ak 考场思维训练考场思维训练 1 试在无穷等比数列 2 1 4 1 8 1 中找出一个无穷等比的子数列 由原数列中部分项按 原来次序排列的数列 使它所有项的和为 4 1 则此子数列的通项公式为 答案 an 8 1 n 分析 略 2 已知等比数列 an 的首项为 8 Sn是其前 n 项的和 某同学经计算得 10 S2 20 S3 36 S4 65 后来该同学发现了其中一个数算错了 则该数为 A S1 B S2 C S3 D S4 答案 C 分析 略 3 已知数列 an 的首项为 a1 公比为 q q 1 用 mn S 表示这个数列的第 n 项到第 m 项 共 m n 1 项的和 计算 976431 SSS 并证明它们仍成等比数列 答案 S1 3 a1 1 q q2 S4 6 a1q3 1 q q2 S7 9 a1q6 1 q q2 因为 976431 3 31 64 64 97 成等比数列所以 SSSq S S S S 受上面 的启发 你能发现更一般的规律吗 写出你发现的一般规律 并证明 答案 一般地 2 1 1 1 2 21 1 21 1 21 1 成等比数列所以 也成等比数列均为整数且 mrrmppmnn np mnn mpp mpp mrrmr mrr mp mpp mn mnnmrrmppmnn SSSnrpq S S S S qqqqaS qqqqaSqqqqaSmnprnrPSSS 4 已知数列 an 中 a1 6 5 an 1 3 1 an 2 1 n 1 n N 数列 bn 对任何 n N 都有 bn an 1 2 1 an 1 求证 bn 为等比数列 答案 bn 1 an 2 nnn n n n nn baaaaa 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 2 1 3 1 2 1 1 12 11 若 bn 0 则 an 1 1 2 1 3 1 2 1 2 1 n nnn aaa n n a 2 1 3 为等比数列即不满足条件故 3 1 2 3 1 1n n n b b b a b1 a2 9 1 2 1 2 1 3 1 2 1 1 2 11 aaa 1 3 1 n n b 2 求 bn 的通项公式 3 设数列 an 的前 n 项和为 Sn 求 x Snlim 答案 an 1 1 3 1 2 1 n nn ba 又 an 1 1 2 1 3 1 n n a 11 11 3 1 2 1 2 1 3 1 n n n n aa nn n a 3 1 2 2 1 3 SN 3 nn 3 1 27 1 9 1 3 1 2 1 2 1 8 1 4 1 2 1 3 1 1 3 1 1 3 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 3 nn lim2 2 1 3 3 1 nn Sn 2 x 5 已知数列 an 的首项为 a1 2 前 n 项和为 Sn 且对任意的正整数 n an都是 3Sn 4 与 2 2 5 Sn 1的等差中项 n 2 1 求证 数列 an 是 等比数列 并求通项 an 答案 当 n 2 时 2an 3Sn 4 2 2 2 1 2 5 243 2 2 5 1111 nnnnnnn SSSSSSS得到即 又 2 1 2 1 11 21 1 2 1 2 1 2 1 1 2 n nn nn nn n n a aa a a SS SS a a aa得的等比数列是公比为所以数列而则有 2 证明 2 1 log2Sn log2Sn 2 log2Sn 1 答案 由 2 1 4 2 1 22 n n n n Sa得 2 22 2 2 2 1 2 222 2 2 1 2 1 416 2 1 4 2 1 2 1 516 2 1 4 2 1 4 nnn n nnnn nn S SS log log log 2 1 12222 2 12 nnnnnn SSSSSS 3 若 bn n a 4 1 cn log2 n a 4 2 Tn Rn分别为 bn 和 cn 的前 n 项和 问 是否存在正整数 n 使得 Tn Rn 若存在 请求出所有 n 的值 若不存在请说明理由 答案 22 2 12 21 nnRnTncb n n nn n n 当 n 1 2 3 时 TnRn 2 243 1 11 2 6 222 1 1 111 1 1 2 1 1 11 11 nnnnCCCCCCCCn nn D n n n n nnn D n nn 时当 即 22 21 nnn n nnRT nn 4 12 命题角度 4 等差与等比数列的综合等差与等比数列的综合 1 典型例题 已知数列 an 的前 n 项和 Sn a 2 2 1 n 1 b 2 n 1 2 1 n 1 n 1 2 其 中 a b 是非零常数 则存在数列 xn yn 使得 A an xn yn 其中 xn 为等差数列 yn 为等比数列 B an xn yn 其中 xn 和 yn 都为等差数列 C an xn yn 其中 xn 为等差数列 yn 为等比数列 D an xn yn 其中 xn 和 yn 都为等比数列 考场错解考场错解 a 2 2 1 n 1 xn b 2 n 1 2 1 n 1 yn 又 xn yn成等比数列 故选 D 专家把脉专家把脉 应从数列 an 的前 n 项和 Sn的表达式入手 而不能从形式上主观判断 对症下药对症下药 C a1 S1 3a an Sn Sn 1 a 2 2 1 n 1 b 2 n 1 2 1 n 1 a 2 2 1 n 2 b 2 n 2 1 n 2 bn b a 2 1 n 1 2 1 n 1 为等比数列 bn a b 为等差数列 2 典型例题 已知数列 an 是首项为 a 且公比 q 不等于 1 的等比数列 Sn是其前 n 项 和 a1 2a7 3a4成等差数列 证明 12S3 S6 S12 S6成等比数列 求和 Tn a1 2a4 3a7 na3n 2 考场错解考场错解 由 a1 2a7 3a4 成等差数列 得 4a7 a1 3a4 4aq6 a 3aq3 从而可求 q3 4 1 或 q3 1 当 q3 4 1 时 3 6 12S S 16 1 6 612 S SS q6 16 1 故 12S3 S6 S12 S6成等比数列 当 q3 1 时 3 6 12S S 6 1 6 612 S SS q6 1 故 12S3 S6 S12 S6不成等比数列 专家把脉专家把脉 本题条件中已规定 q 1 故应将 q 1 时舍去 对症下药对症下药 证明 由 a1 2a7 3a4成等差数列 得 4a7 a1 3a4 即 4aq6 a 3aq3 变形得 4q3 1 q3 1 0 所以 q3 4 1 或 q3 1 舍去 由 3 6 12S S 16 1 12 1 1 1 12 1 1 3 3 1 6 1 q q qa q qa 6 612 S SS 1 1 1 1 1 1 6 1 12 1 6 12 q qa q qa S S 1 q6 1 q6 16 1 得 3 6 12S S 6 612 S SS 所 以 12S3 S6 S12 S6成等比数列 解法 Tn a1 2a4 3a7 na3a 2 a 2aq3 3aq6 naq3 n 2 即 Tn a 2 4 1 a 3 4 1 2a n 4 1 n 1a 4 1 3a 得 4 1 Tn 4 1 a 2 4 1 2a 3 4 1 3a n 4 1 na 13 有 4 5 Tn a 4 1 a 4 1 2a 4 1 3a 4 1 n 1a n 4 1 na 4 1 1 4 1 1 n a n 4 1 na 5 4 a 5 4 n 4 1 na 所以 Tn na 5 4 25 16 25 16 4 1 na 3 典型例题 如图 OBC 的三个顶点坐标分别为 0 0 1 0 0 2 设 P1为线段 BC 的中点 P2为线段 CO 的中点 P3为线段 OP1的中点 对于每一个正整数 n Pn 3为线段 PnPn 1的中 点 令 Pn的坐标为 xn yn an 2 1 yn yn 1 yn 2 求 a1 a2 a3及 an 证明 yn 4 1 4 n y n N 若记 bn y4n 4 y4n n N 证明 bn 是等比数列 考场错解考场错解 1 y1 y2 y4 1 y3 2 1 y5 4 3 可求得 a1 a2 a3 2 由此类推可求得 an 2 将 2 1 yn yn 1 yn 2 2 同除以 2 得 yn 4 2 21 nn yy yn 4 1 4 4y bn 1 y4n 8 y4n 4 4 1 y4n 4 y4n 4 1 bn n n b b 1 4 1 故 bn 是等 比数列 专家把脉专家把脉 第 问题运用不完全归纳法求出 an的通项 理由不充 分 第 问中 n n b b 1 4 1 要考虑 b1是否为 0 即 n n b b 1 有意义才更完整 对症下药对症下药 因为 y1 y2 y4 1 y3 2 1 y5 4 3 所以 a1 a2 a3 2 又 由题意可知 yn 3 2 1 nn yy an 1 2 1 yn 1 yn 2 yn 3 2 1 yn 1 yn 2 2 1 nn yy 2 1 yn yn 1 yn 2 an an 为常数列 an a1 2 n N 将等式 2 1 yn yn 1 yn 2 2 两边除以 2 得 4 1 yn 2 21 nn yy 1 又 yn 4 2 21 nn yy yn 4 1 4 n y bn 1 y4n 8 y4n 4 4 1 44n y 4 1 4n y 4 1 y4n 4 y4n 4 1 bn 又 b1 y8 y4 14 4 1 0 bn 是公比为 4 1 的等比数列 4 典型例题 在等差数列 an 中 公差 d 0 a2是 a1与 a4的等比中项 已知数列 a1 a3 21 kk aa akn 成等比数列 求数列 kn 的通项 kn 考场错解考场错解 an a1 n 1 d 2 2 a a1 a4 a1 d 2 a1 a1 3d d a1 an nd a1 d a3 3d 1 3 d a 3 q dka nkn 1 1 dka nkn n n k k k k a a n n11 q 3 kn 是公比为 3 的等比数列 kn 1 3n 1 3n 1 专家把脉专家把脉 错因在把 k1当作数列 an 的首项 k1 1 而实际上 k1 9 对症下药对症下药 依题设得 an a1 n 1 d 2 2 a a1a4 a1 d 2 a1 a1 3d 整理得 d2 a1d d 0 d a1 得 an nd 所以 由已知得 d 3d k1d k2d kndn 是等比数列 由 d 0 所以 数列 1 3 k1 k2 kn 也是等比数列 首项为 1 公比为 q 1 3 3 由此得 k1 9 等比数列 kn 的首项 k1 9 公比 q 3 所以 kn 9 qn 1 3n 1 n 1 2 3 即得到数列 kn 的通项 kn 3n 1 专家会诊专家会诊 1 赋值法在解等差 等比数列问题中是常用方法 从而求出系数的值及从中找出规律 2 等比数列中应注意考虑公比等于 1 的特殊情况 等比数列中的公差为 0 的特殊情况在 解题时往往被忽视 3 在等差数列与等比数列中 经常要根据条件列方程 组 求解 要注意常两种情形的不 同之处 考场思维训练考场思维训练 1 已知数列 an 满足 3an 1 an 4 n 1 且 a1 9 其前 n 项之和为 Sn 则满足不等式 Sn n 6 125 1 的最小整数 n 是 A 5 B 6 C 7 D 8 答案 C 设 7 7503 3 1 16 1 3 1 8 3 1 81 1 1 1 3 1 3 1 11 是最小整数可化为 不等式为公比的等比数列为首项是以则 n nSaaaaaa n n n n nnnnnn 2 已知等差数列 an 的首项为 a 公差为 b 等比数列 bn 的首项为 b 公比为 a 其中 a b N 且 a1 b1 a2 b2 a3 求 a 的值 答案 15 2 3 32 4 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 aaaa a a b a b a b b a b b a baab abba babaabbaa 故时不合题意舍去或 若对于任意 n N 总存在 m N 使 am 3 bn 求 b 的值 答案 2 1 5 3 2 1 2 1 1 n nm n nm bbmbabbbma可得由 即 b 2n 1 m 1 5 b 5 在 中 记 cn 是所有 an 中满足 am 3 b m N 的项从小到大依次组成的数列 又记 Sn为 cn 的前 n 项和 Sn Tn n N 答案 由 2 知 an 5n 3 bn 5 2n 1 0 1 2 1 2 1 2 1 1 5 1 2 1 2 1 1 5 1 2 1 2 1 11 5 1 2 1 2 1 2 5 3 9 2 15 2 1 3 12 5 325 3253 2 2321 2 2 2211 1 1 nTSTS nn nn n nnCCC nn nnTS nTSTS nnTnS Cba nnnn nnn n n nn n n n n n n nm 便得综合以上 时当 3 设函数 f x ax2 bx c 的图像是以 2 0 为顶点且过点 1 1 的抛物线 数列 an 是以 d 为公差的等差数列 且 a1 f d 1 a3 f d 1 数列 bn 是以 q q 0 为公比的等比数列 且 b1 f q 1 1 b3 f q 1 1 求数列 an bn 的通项公式 答案 解设 f x a x 2 2 过点 1 1 f x x 2 2 1222 1 222 1 3 2 3 2 1 3 1 22 13 2 3 2 1 3 3 33 33 3 1 3 3 0 3 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 341 3 42 3 1 2 1 1 3 1 n n n b q b qqq q q q b b q q fb qq fb nada dddddaa ddfaddfa 又 得 又 得 4 知定义在 R 上的函数 f x 和数列 an 满足下列条件 a1 a an f an 1 n 2 3 4 a2 a1 f an f an 1 k an an 1 n 2 3 4 其中 a 为常数 k 为非零常数 16 1 令 bn aa 1 an n N 证明 数列 bn 是等比数列 答案 证明 由 0 0 1212232121 aakafafaabaab可得 的等比数列是一个公比为数列因此 时当由题设条件 由数学归纳法可证 kb k aa aak aa afaf aa a b b n naab n nn nn nn nn nn n n n nnn 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 求数列 an 的通项公式 答案 解 由 1 知 bn kn 1b1 kn 1 a2 a1 n N 当 k 1 时 b1 b2 bn 1 a2 a1 2 1 1 1 n k kn 当 k 1 时 b1 b2 bn 1 n 1 a2 a1 n 2 而 b1 b2 bn 1 a2 a1 a3 a2 a3 a2 an an 1 an a1 n 2 所以 当 k 1 时 an a1 a2 a1 2 1 1 1 n k kn 上式对 n 1 也成立 所以 数列 an 的通项公式为 k k aafaa n n 1 1 1 2 1 1 121 naanaakn n 时当 上式对 n 1 也成立 所以 数列 an 的通项公式为 an a n 1 f a a n N 3 当 k 1 时 求 n an lim 答案 解 当 k 1 时 liman lim k aaf a k k aafa n 1 1 1 1 n n 5 设实数 a 0 数列 an 是首项为 a 公比为 a 的等比数列 记 bn anlg an n N Sn b1 b2 bn 求证 当 a 1 时 对任意自然数 n 都有 Sn 2 1 lg a aa 1 1 n 1 1 n na an 答案 解 1 111 1 nnnn n aaaqaa lg 1 1 lg 1 lg 2111 anaaaaab nnnnn nnn lg 1 lg 1 1 lg3 lg2 lg 11222 anaaanaaaaaaS nnnn n nnnn nnnn naanaaaS anaanaaa 11232 11232 1 1 1 32 lg 1 1 1 32 记 17 aS a 1121322 1 1 1 2 1 2 nnnnnn naananaa 得 1121232 1 1 1 1 nnnnnn naaaaaaSa a 1 1 a S 1 1 11 1 1 1 1 nn nn an a aa 1 1 1 1 lg 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 11 2 1 111 nn n nn nn nnnn anan a aa S a anana a a nanaS a anaaa S 命题角度 5 数列与解析几何 函数 不等式的综合数列与解析几何 函数 不等式的综合 1 典型例题 已知定义在 R 上的函数 f x 和数列 an 满足下列条件 a1 a an f aa 1 n 2 3 4 a2 a1 f an f an 1 k an an 1 n 2 3 4 其中 a 为常数 k 为非零常 数 令 bn aa 1 an n N 证明数列 bn 是等比数列 求数列 an 的通项公式 当 k 1 时 求 n an lim 考场错解考场错解 证明 由 b1 a2 a1 0 可得 b2 a3 a2 f a2 f a1 k a2 a1 0 由数 学归纳法可证 bn an 1 an 0 n N 由题设条件 当 n 2 时 1 1 1 1 1 1 1 nn nn nn nn nn nn n n aa aak aa afaf aa aa b b k 故数列 bn 是公比为 k 的等比数列 由 知 bn kn 1 a2 a1 n N b1 b2 bn 1 a2 a1 k kn 1 1 1 n 2 而 b1 b2 bn 1 a2 a1 a3 a2 an an 1 an a1 n 2 an a1 a2 a1 k kn 1 1 1 n 2 故 an a f a a k kn 1 1 1 n N an a n 1 f a a n N 当 k 1 时 n anlim n lim k k aafa n 1 1 1 a k aaf 1 18 2 典型例题 如图 直线 l1 y kx 1 k k 0 k 2 1 与 l2相交于点 P 直线 l1与 x 轴交于点 P1 过点 P1作 x 轴的垂线交于直线 l2于点 Q1 过点 Q1作 y 轴的垂线交直线 l1于点 P2 过点 P2作 x 轴的垂线交直线 l2于点 Q2 这样一直作下去 可得到一系列点 P1 Q1 P2 Q2 点 Pn n 1 2 的横坐标构成数列 xn 证明 xn 1 1 k2 1 xn 1 n N 求数列 xn 的通项公式 比较 2 PPn 2与 4k2 PP1 2 5 的大小 考场错解考场错解 证明 设点 Pn的坐标是 xn yn 由已知条件得点 Qn Pn 1的坐标分别是 2 1 2 1 2 1 2 1 1nnnn xaxx 由 Pn 1在直线 l1上 得 2 1 2 1 n x kxn 1 1 k 所以 2 1 xn 1 k xn 1 1 即 xn 1 1 k2 1 xn 1 n N 由 知 1 1 1 n n x x k2 1 故 xn 1 是等比数列 且首项 x1 1 k 1 公比为 k2 1 从而求 得 xn 1 2 k2 1 n n N 专家把脉专家把脉 问中对于 xn 1 1 k2 1 xn 1 先应考虑 xn 1 能否为 0 继而可求 对症下药对症下药 同错解中 解法 由题设知 x1 1 k 1 x1 1 k 1 0 又由 知 xn 1 1 k2 1 xn 1 所以数列 xn 1 是首项为 x1 1 公比为 k2 1 的等比数列 从 而 xn 1 k 1 k2 1 n 1 即 xn 1 2 k2 1 n n N 解法 由 2 1 2 1 1 xy kkxy 得点 P 的坐标为 1 1 所以 2 PPn 2 2 xn 1 2 2 kxn 1 k 1 2 8 k2 1 2n 2 2 k2 1 2n 2 4k2 PP1 2 5 4k2 1 k 1 1 2 0 1 2 5 4k2 9 19 i 当 k 2 1 即 k 2 1 或 k 2 1 时 4k2 PP1 2 5 1 9 10 D 而此时 0 k2 1 1 所以 2 PPn 2 8 1 2 10 故 2 PPn 2 4k2 PP1 2 5 ii 当 0 k 2 1 即 k 2 1 0 0 2 1 时 4k2 PP1 2 5 1 9 10 而此时 k2 1 1 所以 2 PPN 2 8 1 2 10 故 2 PPn 2 4k2 PP1 2 5 3 典型例题 已知函数 f x 1 1 3 x x x 设数列 an 满足 a1 1 an 1 f an 数列 bn 满足 bn an 3 Sn b1 b2 bn n N 用数学归纳法证明 bn 1 2 13 n n 证明 Sn 3 32 考场错解考场错解 bn an 3 又 an 1 1 2 1 n a an 1 1 2 1 n a n 2 a2 2 a3 3 5 a4 2 an 1 bn 32 3 1 2 2 32 1 2 2 1 n n a a 由叠代法 bn 1 2 13 n n Sn b1 b2 bn 3 1 2 13 1 2 13 1 13 2 13 2 2 13 1 2 n n n 3 32 专家把脉专家把脉 运用叠代法时并不能化简成 1 2 13 n n 对症下药对症下药 证明 当 x 0 时 f x 1 1 2 x 1 因为 a1 1 所以 an 1 n N 下 面用数学归纳法证明不等式 bn 1 2 13 n n 20 1 当 n 1 时 b1 3 1 不等式成立 2 假设当 n k 时 不等式成立 即 bk 1 2 13 k k 那么 bk 1 ak 1 3 k k k k b a a 2 13 2 13 1 3 13 1 所以 当 n k 1 时 不 等式也成立 根据 1 和 2 可知不等式对任意 n N 都成立 证明 由 知 bn 1 2 13 n n 所以 Sn b1 b2 bn 3 1 2 13 1 2 13 1 13 2 13 2 13 1 2 n n 3 1 3 3 2 2 13 1 1 故对任意 n N Sn 3 3 2 专家会诊专家会诊 函数 数列 解析几何三者的综合 展示了知识的交汇性 方法的灵活性 因此解此类题目 应充分运用函数与数列的联系 即数列是一种特殊函数 以及解析几何中方程与函数 数 列的关系来解题 而数列与不等式的综合更显出问题的综合性 考场思维训练考场思维训练 1 设函数 y f x 22 2 x x 图像上两点 P1 x1 y1 P2 x2 y2 若 2 1 21 OPOP OP 且点 P 的横坐标为 2 1 1 求证 P 点的纵坐标为定值 并求出这个值 答案 2 1 2 1 22 2 22 2 1 2 1 1 21 2 2 1 1 21212121 21 yy yxfxfyyxxPPP p x x x x OPOPOP 所以则的中点为所以因为 2 若 Sn f n 1 f n 2 f n 3 f 1 n N 求 Sn 答案 由 1 知22 1 1 1 212121 fxfxfyyxx 而 Sn