一起学奥数-余数问题.ppt

风子编辑 余数问题 五年级 教育目标 使学生初步理解有余数除法的意义 掌握有余数除法的横竖式写法 教育重点 用代数思想解决带余数的除法问题 及余数相等的运算 教育难点 代数思想在数论中的运用 掌握除法运算中 各运算部分包含的意义 学会用带余数的除法来解决实际问题 第一课基础部分 例1 一个两位数除310 余数是37 求这样的两位数 分析 310是被除数 所求两位数为除数 由余数是37 可知除数是大于37两位整数 又因为310 37 273 3 7 13 所以这个两位数是39或91 解 余数是37 这个两位数大于37又 310 37 273且273 3 7 13 这个两位数我39或91 被除数 除数 商 余数余数 除数 两个整数相除 有两种情况 一是能整除 即余数为零 另一是不能整除 即余数不为零 用代数思想表示两数相除 a b q r 0 r b 或a b q r 0 r b 例2 有一个整数 用它去除70 110 160所得到的3个余数和是50 这个整数是多少 分析 先用代数思想 设这个整数为a 三个余数为r q p r q p 50 则和a的三个相互关系可以用如下式子表示 70 rmod a 110 qmod a 160 pmod a 即 a 70 r a 110 q a 160 p 所以 a 70 110 160 50 a 290 a 2 5 29 下面我们来分析下a的取值范围 如果a 17 则r q p都小于17 三个余数之和则小于50 所以 必有一个以上的数大于等于17 如果a 70 则这个整数去除70的余数必定为70 所以三个余数的和 必定大于50 所以 这个整数必定在17和70之间 且a 2 5 29 所以这个整数为29或58 用58去除110的余数为52 不符合要求 所以这个整数为29 在数论问题中 最关键的是用好代数思想 例3 一个自然数除以3 得余数2 用所得的商除以4 得余数3 若用这个自然数除以6 得余数 分析 首先请大家回想一下还原法 并结合这个题目 写出还原法的分析过程 我们可以去假设最后得到的商是a 则这个自然数为3 4a 3 2 12a 11 因为6 12a 所以12a 11除以6所得余数 与11 6的余数相同 即为5 求余数过程中 可以把能够整除一部分去除 例4 有一张纸剪成6块 从所得纸片中取出若干块 每块各剪成6块 再从所得纸片中取出若干块 每块各剪成6块 如此进行下去 到剪完某一次后停止 所得纸总数有可能是2012 2013 2014 2015 2016这几个数中的 分析 首先大家来演示一下这个过程 一张纸剪成6块 比原来增加了6块 从6块中随便取出几块 那一块剪成6块 总的数量又增加了5块 再取一张剪成6块 总的数量还是增加了5块 如此直至剪完取出的几块纸 再从所得的纸片中取出若干块 用上面同样的方法剪 结果每剪一次就增加5块纸 请大家告诉我 发现了一个什么样的规律 没剪一次 就增加5块纸 最后纸的数量与剪的次数相关 而与取出的方法无关 所以 最后所得的数 必定是除以5余1 题目中五个数 仅2016 5余1 要学会从复杂的过程中找出规律 例5 商店里有六箱货物 分别重15 16 18 19 20 31千克 两个顾客买走了其中五箱 已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍 那么商店剩下的一箱货物重量是 千克 分析 一个顾客买的货物重量是另一个的2倍 如果设一个顾客买的货物重量是a 则另一个买的货物重量是2a 两个人的货物的合计重量为3a 即两个顾客的货物的重量能够被3整除 总共只有6箱货物 我们先来看看六箱总的重量 15 16 18 19 20 31 119 显然 119不能被3整除 119 3 39 2 因为5个箱子的总重必须被3整除 所以六箱重量除以3余2 是由于其中一个箱子的重量除以3余2引起 从六个箱子分别的重量中 可以看出 只有20除以3余2 所以剩下的一箱货物重量为20千克 例6 有一列数 1 3 9 25 69 189 517 其中第一个数是1 第二个数是3 从第三个数起 每个数恰好是前面两个数之和的2倍再加1 那么这列数中的第2014个数除以6 得到的余数是 分析 对一列数的分析 有两种方式 一种是先按规律找出一般表达式 即通项 再按通项算出指定数 另一种是先对数列进行分析 根据分析结果找出规律 再完成指定数与这个规律间的对应关系分析 从这列数的前7个数看 数字快速变大 第2014个数的书写也会变得麻烦 且按给定条件 也很难写出这一数列的通项 所以 我们可以尝试第二种方法 把前7个数除以6 得到的余数是 1 3 3 1 3 3 1 可见 余数是按3个一组不断循环出现