期末数理统计ppt课件.ppt

复习课 第五章统计量及其分布 5 1总体与样本 5 2样本数据的整理与显示 5 3统计量及其分布 5 4三大抽样分布 5 5充分统计量 样本均值的分布 样本方差的分布 n取不同值时的分布 证明 所以 例2 解 例3 解 例4设x1 x2 xn是取自总体U 0 的样本 即总体的密度函数为 于是样本的联合密度函数为 取T x n 并令g t 1 nI t h x 1 由因子分解定理知T x n 是 的充分统计量 p x1 p xn 0 其它 1 n 0 min xi max xi 由于诸xi 0 所以我们可将上式改写为 p x1 p xn 1 nI x n 练习 设x1 x2 xn是来自泊松分布P 的一个样本 证明 是充分统计量 取T x xi h x P X x T x e n h x 由因子分解定理 T x xi是 的充分统计量 则上式可改写为 6 1点估计的几种方法 6 2点估计的评价标准 6 5区间估计 第六章参数估计 点估计的几种方法 替换原理和矩法估计 替换原理是指用样本矩及其函数去替换相应的总体矩及其函数 譬如 用样本均值估计总体均值E X 即 用样本方差估计总体方差Var X 即用样本的p分位数估计总体的p分位数 矩法估计的基本思想 用样本矩 代替母体矩 即 从中解出 例5x1 x2 xn是来自 a b 上的均匀分布U a b 的样本 a与b均是未知参数 这里k 2 由于不难推出由此即可得到a b的矩估计 解 练习 极大似然估计的关键点 X1 X2 Xn出现的可能性 1 离散场合 2 连续场合 称以上L的为似然函数 例6求泊松分布中参数l的最大似然估计 解已知总体x的概率函数为 泊松分布 续 例7 指数分布 已知 x1 x2 xn为x的一组样本观察值 求q的最大似然估计 解似然函数 解似然函数为 对数似然函数为 练习 设X1 X2 Xn是取自总体X的一个样本 求 的最大似然估计值 其中 0 求导并令其为0 0 从中解得 即为 的最大似然估计值 对数似然函数为 1 相合性 大样本的角度 2 无偏性 从期望的角度 3 有效性 从方差的角度 4 均方误差准则 角度 点估计的评价标准 解似然函数要使L 达到最大 即1 n尽可能大 所以 的取值应尽可能小 但 不能小于X n 由此给出 的极大似然估计 例8设x1 x2 xn是来自均匀总体U 0 的样本 证明 的极大似然估计是相合估计 由次序统计量的分布 我们知道x n 的分布密度函数为p y nyn 1 n y 故有 故X n 是 的相合估计 例9对均匀总体U 0 由 的极大似然估计得到的无偏估计是 它的均方误差现我们考虑 的形如的估计 其均方差为用求导的方法不难求出当时上述均方误差达到最小 且其均方误差所以在均方误差的标准下 有偏估计优于无偏估计 正态总体未知参数的置信区间 共分四种情况 1 已知 的置信区间 2 未知 的置信区间 3 已知 2的置信区间 4 未知 2的置信区间 例10设总体X N 0 92 X1 X2 X9为X的一个样本 样本均值为5 求 的95 的置信区间 解因为 的1 置信区间为 所以由u0 975 1 96 得 4 412 5 588 所求置信区间为 4 412 5 588 2未知时 的置信区间 这时可用t统计量 因为 因此t可以用来作为枢轴量 完全类似于上一小节 可得到 的1 置信区间为此处是 2的无偏估计 例11假设轮胎的寿命服从正态分布 为估计某种轮胎的平均寿命 现随机地抽12只轮胎试用 测得它们的寿命 单位 万公里 如下 4 684 854 324 854 615 025 204 604 584 724 384 70此处正态总体标准差未知 可使用t分布求均值的置信区间 经计算有 4 7092 s2 0 0615 取 0 05 查表知t0 975 11 2 2010 于是平均寿命的0 95置信区间为 单位 万公里 正态总体参数假设检验 参数假设检验常见的有三种基本形式 1 2 3 1 关于 2巳知用u检验 iii H0 0 H1 0 i H0 0 H1 0 ii H0 0 H1 0 拒绝域为W3 u u1 2 拒绝域为W1 u u1 拒绝域为W2 u u 二 未知时的t检验 由于 未知 一个自然的想法是将 7 2 4 中未知的 替换成样本标准差s 这就形成t检验统计量 7 2 9 三种假设的检验拒绝域分别为 例7 2 2某厂生产的某种铝材的长度服从正态分布 其均值设定为240厘米 现从该厂抽取5件产品 测得其长度为 单位 厘米 239 7239 6239240239 2 试判断该厂此类铝材的长度是否满足设定要求 解 这是一个关于正态均值的双侧假设检验问题 采用t检验 拒绝域为 现由样本计算得到 由于2 7951 2 776 故拒绝原假设 认为该厂生产的铝材的长度不满足设定要求 若取 0 05 则t0 975 4 2 776 故 单个正态总体方差的检验 设是来自的样本 对方差亦可考虑如下三个检验问题 通常假定 未知 它们采用的检验统计量是 相同的 均为若取显著性水平为 则对应三个检验问题的拒绝域依次分别为 1000位高中生的性别与色盲调查数据 解 用A表示性别情况 它有两个水平 表示性别为男 表示性别为女 B表示视觉情况 它有两个水平 分别表示表中两种情况 沿用前面的记号 首先建立假设H0 性别与色盲无关联 即A与B独立的 统计表示如下 在原假设H0成立下 我们可以计算诸参数的极大似然估计值 表7 4 6诸的计算结果