参数方程ppt课件.ppt

第二讲 参数方程 曲线的参数方程 1 一架救援飞机在离灾区地面500m高处100m s的速度作水平直线飞行 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面 不记空气阻力 飞行员应如何确定投放时机呢 即求飞行员在离救援点的水平距离多远时 开始投放物资 如图 建立平面直角坐标系 因此 不易直接建立x y所满足的关系式 x表示物资的水平位移量 y表示物资距地面的高度 由于水平方向与竖直方向上是两种不同的运动 2 物资投出机舱后 它的运动由下列两种运动合成 1 沿ox作初速为100m s的匀速直线运动 2 沿oy反方向作自由落体运动 在这个运动中涉及到哪几个变量 这些变量之间有什么关系 t时刻 水平位移为x 100t 离地面高度y 即 y 500 gt2 2 物资落地时 应有y 0 得x 10 10m 即500 gt2 2 0 解得 t 10 10s 因此飞行员在距离救援点水平距离约为1010米时投放物资 可以使其准确落在指定位置 3 参数方程的概念 一般地 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标x y都是某个变数t的函数 那么方程组就叫做这条曲线的参数方程 联系变数x y的变数t叫做参变数 简称参数 并且对于t的每一个允许值 由方程组所确定的点M x y 都在这条曲线上 参数是联系变数x y的桥梁 可以是一个有物理意义或几何意义的变数 也可以是没有明显实际意义的变数 相对于参数方程而言 直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程 4 例1 已知曲线C的参数方程是 t为参数 1 判断点M1 0 1 M2 5 4 与曲线C的位置关系 2 已知点M3 6 a 在曲线C上 求a的值 解 1 把点M1的坐标 0 1 代入方程组 解得t 0 所以M1在曲线上 把点M2的坐标 5 4 代入方程组 得到 这个方程无解 所以点M2不在曲线C上 2 因为点M3 6 a 在曲线C上 所以 解得t 2 a 9所以 a 9 5 练习 一架救援飞机以100m s的速度作水平直线飞行 在离灾区指定目标1000m时投放救援物资 不计空气阻力 重力加速g 10m s 问此时飞机的飞行高度约是多少 精确到1m x 100t 1000 t 10 y gt2 2 10 102 2 500m 6 B A 1 4 B 25 16 0 C 1 3 D 25 16 0 D A 2 7 B 1 3 2 3 C 1 2 1 2 D 1 0 1 由题意可知 1 2t 5 at2 4 a 1 t 2 代入第二个方程得 y x 1 2 4 7 4动点M作等速直线运动 它在x轴和y轴方向的速度分别为5和12 运动开始时位于点P 1 2 求点M的轨迹参数方程 解 设动点M x y 运动时间为t 依题意 得 A一个定点B一个椭圆C一条抛物线D一条直线 D 8 B 9 4 证明这个参数方程就是所求的曲线的方程 参数方程求法 1 建立直角坐标系 设曲线上任一点P坐标为 x y 2 选取适当的参数 3 根据已知条件和图形的几何性质 物理意义 建立点P坐标与参数的函数式 10 圆的参数方程 11 M x y 圆周运动中 当物体绕定轴作匀速运动时 物体上的各个点都作匀速圆周运动 怎样刻画运动中点的位置呢 12 那么 t 设 OM r 那么由三角函数定义 有 如果在时刻t 点M转过的角度是 坐标是M x y 即 这就是圆心在原点O 半径为r的圆的参数方程 参数t有物理意义 质点作匀速圆周运动的时刻 考虑到 t 也可以取 为参数 于是有 13 圆心为原点半径为r的圆的参数方程 其中参数 的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时 OM0转过的角度 一般地 同一条曲线 可以选取不同的变数为参数 另外 要注明参数及参数的取值范围 14 解 x2 y2 2x 6y 9 0化为标准方程 x 1 2 y 3 2 1 参数方程为 为参数 例1已知圆方程x2 y2 2x 6y 9 0 将它化为参数方程 练习 15 例2如图 圆O的半径为2 P是圆上的动点 Q 6 0 是x轴上的定点 M是PQ的中点 当点P绕O作匀速圆周运动时 求点M的轨迹的参数方程 解 设点M的坐标是 x y 则点P的坐标是 2cos 2sin 由中点坐标公式可得 因此 点M的轨迹的参数方程是 16 解 由已知圆的参数方程为 17 练习 A A 36B 6C 26D 25 D A 18 5已知点P是圆上一个动点 定点A 12 0 点M在线段PA上 且2 PM MA 当点P在圆上运动时 求点M的轨迹 解 设点M的坐标是 x y 则点P的坐标是 4cos 4sin 2 PM MA 由题设 x 12 y 因此 点M的轨迹的参数方程是 19 例4 1 点P m n 在圆x2 y2 1上运动 求点Q m n 2mn 的轨迹方程 2 方程x2 y2 2 m 3 x 2 1 4m2 y 16m4 9 0 若该方程表示一个圆 求m的取值范围和圆心的轨迹方程 已知P x y 圆C x2 y2 6x 4y 12 0上的点 1 求的最小值与最大值 2 求x y的最大值与最小值 例5最值问题 例6参数法求轨迹 已知点A 2 0 P是x2 y2 1上任一点 的平分线交PA于Q点 求Q点的轨迹 AQ QP 2 1 20 21 参数方程和普通方程的互化 22 把它化为我们熟悉的普通方程 有cos x 3 sin y 于是 x 3 2 y2 1 轨迹是什么就很清楚了 在例1中 由参数方程 直接判断点M的轨迹是什么并不方便 一般地 可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式 在参数方程与普通方程的互化中 必须使x y的取值范围保持一致 否则 互化就是不等价的 把参数方程化为普通方程 23 例1 把下列参数方程化为普通方程 并说明它们各表示什么曲线 解 1 由 得 代入 得到 这是以 1 1 为端点的一条射线 所以 把 得到 24 1 2 1 x 2 2 y2 9 2 y 1 2x2 1 x 1 3 x2 y 2 x 2或x 2 练习 将下列参数方程化为普通方程 步骤 1 消参 2 求定义域 25 练习将下列参数方程化为普通方程 26 B 例2求参数方程 表示 A 双曲线的一支 这支过点 1 1 2 B 抛物线的一部分 这部分过 1 1 2 C 双曲线的一支 这支过点 1 1 2 D 抛物线的一部分 这部分过 1 1 2 27 参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种 1 代入法 利用解方程的技巧求出参数t 然后代入消去参数 2 三角法 利用三角恒等式消去参数 3 整体消元法 根据参数方程本身的结构特征 整体上消去 化参数方程为普通方程为F x y 0 在消参过程中注意变量x y取值范围的一致性 必须根据参数的取值范围 确定f t 和g t 值域得x y的取值范围 小结 28 普通方程化为参数方程 普通方程化为参数方程需要引入参数 如 直线l的普通方程是2x y 2 0 可以化为参数方程 一般地 如果知道变量x y中的一个与参数t的关系 例如x f t 把它代入普通方程 求出另一个变量与参数t的关系y g t 那么 就是曲线的参数方程 在参数方程与普通方程的互化中 必须使x y的取值范围保持一致 29 为什么两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程 30 在y x2中 x R y 0 因而与y x2不等价 练习 曲线y x2的一种参数方程是 在A B C中 x y的范围都发生了变化 而在D中 x y范围与y x2中x y的范围相同 代入y x2