新湘教版九年级下学期数学教案

1 义务教育课程标准实验教科书 数数 学学 教案 九年级 下册 新邵县酿溪中学 授课教师 侯光社 授课班级 班 2 目目 录录 湘教版九年级数学下册教学计划湘教版九年级数学下册教学计划 4 第第 1 章章 二次函数二次函数 1 1 1 二次函数 1 1 2 二次函数的图象与性质 5 第1课时 二次函数y ax2 a 0 的图象与性质 5 第2课时 二次函数y ax2 a 0 的图象与性质 9 第3课时 二次函数y a x h 2的图象与性质 13 第4课时 二次函数y a x h 2 k的图象与性质 17 第5课时 二次函数y ax2 bx c的图象与性质 21 1 3 不共线三点确定二次函数的表达式 26 1 4 二次函数与一元二次方程的联系 30 1 5 二次函数的应用 34 第1课时 二次函数的应用 1 34 第2课时 二次函数的应用 2 38 章末复习 43 第第 2 章章 圆圆 48 2 1 圆的对称性 48 2 2 圆心角 圆周角 53 2 2 1 圆心角 53 2 2 2 圆周角 57 第1课时 圆周角 1 57 第2课时 圆周角 2 61 2 3 垂径定理 65 2 4 过不共线三点作圆 69 2 5 直线与圆的位置关系 73 2 5 1直线与圆的位置关系 73 2 5 2 圆的切线 77 第1课时 圆的切线的判定 77 第2课时 圆的切线的性质 81 2 5 3切线长定理 86 3 2 5 4 三角形的内切圆 90 2 6 弧长与扇形面积 94 第1课时 弧长及其相关量的计算 94 第2课时 扇形面积 98 2 7 正多边形与圆 102 章末复习 105 第第 3 章章 投影与视图投影与视图 111 3 1 投影 111 第1课时 平行投影与中心投影 111 第2课时 正投影 115 3 2 直棱柱 圆锥的侧面展开图 120 3 3 三视图 124 第1课时 几何体的三视图 124 第2课时 由三视图确定几何体 128 章末复习 132 第第 4 章章 概率概率 137 4 1 随机事件与可能性 137 4 2 概率及其计算 141 4 2 1 概率的概念 141 4 2 2 用列举法求概率 145 第1课时 用列表法求概率 145 第2课时 用树状图法求概率 149 4 3 用频率估计概率 153 章末复习 157 4 湘湘教教版版九年级数学下册教学计划九年级数学下册教学计划 一 课程目标 一 本学段课程目标 知识技能 1 体验从具体情境中抽象出数学符号的过程 理解有理数 实数 代数式 方 程 不等式 函数 掌握必要的运算 包括估算 技能 探索具体问题中的数 量关系和变化规律 掌握用代数式 方程 不等式 函数进行表述的方法 2 探索并掌握相交线 平行线 三角形 四边形和圆的基本性质与判定 掌握 基本的证明方法和基本的作图技能 探索并理解平面图形的平移 旋转 轴对 称 认识投影与视图 3 体验数据收集 处理 分析和推断过程 理解抽样方法 体验用样本估计总 体的过程 进一步认识随机现象 能计算一些简单事件的概率 数学思考 1 通过用代数式 方程 不等式 函数等表述数量关系的过程 体会模型的思 想 建立符号意识 在研究图形性质和运动 确定物体位置等过程中 进一步 发展空间观念 经历借助图形思考问题的过程 初步建立几何直观 2 了解利用数据可以进行统计推断 发展建立数据分析观念 感受随机现象的 特点 3 体会通过合情推理探索数学结论 运用演绎推理加以证明的过程 在多种形 式的数学活动中 发展合情推理与演绎推理的能力 4 能独立思考 体会数学的基本思想和思维方式 问题解决 1 初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题 并综合运用数 学知识和方法等解决简单的实际问题 增强应用意识 提高实践能力 2 经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程 体验解决问题方法 的多样性 掌握分析问题和解决问题的一些基本方法 3 在与他人合作和交流过程中 能较好地理解他人的思考方法和结论 4 能针对他人所提的问题进行反思 初步形成评价与反思的意识 情感态度 1 积极参与数学活动 对数学有好奇心和求知欲 2 感受成功的快乐 体验独自克服困难 解决数学问题的过程 有克服困难的 勇气 具备学好数学的信心 5 3 在运用数学表述和解决问题的过程中 认识数学具有抽象 严谨和应用广泛 的特点 体会数学的价值 4 敢于发表自己的想法 勇于质疑 养成认真勤奋 独立思考 合作交流等学 习习惯 形成实事求是的科学态度 二 本学期课程目标 教育学生掌握基础知识与基本技能 培养学生的逻辑思维能力 运算能力 空 间观念和解决简单实际问题的能力 使学生逐步学会正确 合理地进行运算 逐步学会观察分析 综合 抽象 概括 会用归纳演绎 类比进行简单的推理 使学生懂得数学来源与实践又反过来作用于实践 提高学习数学的兴趣 逐步 培养学生具有良好的学习习惯 实事求是的态度 顽强的学习毅力和独立思考 探索的新思想 培养学生应用数学知识解决问题的能力 二 学情分析 本学期我担任九年级班的数学教学工作 共有学生 36 人 上学期期末考试成绩 不理想 落后面比较大 学习风气还欠浓厚 正如人们所说的 现在的学生是低 分低能 我深感教育教学的压力很大 在本学期的数学教学中务必精耕细作 使用的教材是新课程标准实验教材 湘教版数学九年级下册 如何用新理念 使用好新课程标准教材 如何在教学中贯彻新课标精神 这要求在教学过程中 具有创新意识 每一个教学环节都必须巧做安排 三 教材分析 本册教材共分四章 二次函数 圆 投影与视图 概率 这些内容都是初中代 数 几何及概率统计中的重要内容 起作承上启下的作用 它既是对已学过的 知识的巩固和加深 又是为今后学习奠定基础 四 具体措施 1 认真研读新课程标准 钻研新教材 根据新课程标准及教材适度安排教学内 容 认真上课 批改作业 认真辅导 认真制作测试试卷 2 激发学生的兴趣 给学生介绍数学家 数学史 介绍相应的数学趣题 给出 数学课外思考题 激发学生的兴趣 3 引导学生积极参与知识的构建 营造自主 探究 合作 交流 分享发现快 乐的课堂 4 引导学生积极归纳解题规律 引导学生一题多解 多解归一 培养学生透过 现象看本质的能力 这是提高学生素质的根本途径之一 培养学生的发散思维 让学生处于一种思如泉涌的状态 5 培养学生良好的学习习惯 陶行知说 教育就是培养习惯 有助于学生稳步 6 提高学习成绩 发展学生的非智力因素 弥补智力上的不足 6 教学中注重数学理论与社会实践的联系 鼓励学生多观察 多思考实际生活 中蕴藏的数学问题 逐步培养学生运用书本知识解决实际问题的能力 重视实 习作业 指导成立 课外兴趣小组 开展丰富多彩的课外活动 带动班级学 生学习数学 同时发展这一部分学生的特长 7 开展分层教学 布置作业设置 a b c 三类分层布置分别适合于差 中 好 三类学生 课堂上的提问照顾好各个层次的学生 使他们都得到发展 8 把辅优补潜工作落到实处 进行个别辅导 1 第第 1 章章 二次函数二次函数 1 1 二次函数二次函数 知识与技能 1 理解具体情景中二次函数的意义 理解二次函数的概念 掌握二次函数的 一般形式 2 能够表示简单变量之间的二次函数关系式 并能根据实际问题确定自变量 的取值范围 过程与方法 经历探索 分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程 进一步体验如 何用数学的方法描述变量之间的数量关系 情感态度 体会数学与实际生活的密切联系 学会与他人合作交流 培养合作意识 教学重点 二次函数的概念 教学难点 在实际问题中 会写简单变量之间的二次函数关系式教学过程 一 情境导入 初步认识一 情境导入 初步认识 1 教材 P2 动脑筋 中的两个问题 矩形植物园的面积 S m2 与相邻于围 墙面的每一面墙的长度 x m 的关系式是 S 2x2 100 x 0 x 50 电脑价格 y 元 与平均降价率 x 的关系式是 y 6000 x2 12000 x 6000 0 x 1 它们有什 2 么共同点 一般形式是 y ax2 bx c a b c 为常数 a 0 这样的函数可以叫做什 么函数 二次函数 2 对于实际问题中的二次函数 自变量的取值范围是否会有一些限制呢 有 二 思考探究 获取新知二 思考探究 获取新知 二次函数的概念及一般形式 在上述学生回答后 教师给出二次函数的定义 一般地 形如 y ax2 bx c a b c 是常数 a 0 的函数 叫做二次函数 其中 x 是自变量 a b c 分别是函数 解析式的二次项系数 一次项系数和常数项 注意 二次函数中二次项系数不能为 0 在指出二次函数中各项系数时 要连同符号一起指出 三 典例精析 掌握新知三 典例精析 掌握新知 例 1 指出下列函数中哪些是二次函数 1 y x 3 2 x2 2 y 2x x 1 3 y 32x 1 4 y 5 y 5 x2 x 2 2 x 分析 先化为一般形式 右边为整式 依照定义分析 解 2 5 是二次函数 其余不是 教学说明 判定一个函数是否为二次函数的思路 1 将函数化为一般形式 2 自变量的最高次数是 2 次 3 若二次项系数中有字母 二次项系数不能为 0 例 2 讲解教材 P3 例题 教学说明 由实际问题确定二次函数关系式时 要注意自变量的取值范围 例 3 已知函数 y m2 m x2 mx m 1 m 是常数 当 m 为何值时 1 函数是一次函数 2 函数是二次函数 分析 判断函数类型 关键取决于其二次项系数和一次项系数能否为零 列出相应方程或不等式 3 解 1 由 得 2 0 0 m m m 01 0 m m 或 m 1 即当 m 1 时 函数 y m2 m x2 mx m 1 是一次函数 2 由 m2 m 0 得 m 0 且 m 1 当 m 0 且 m 1 时 函数 y m2 m x2 mx m 1 是二次函数 教学说明 学生自主完成 加深对二次函数概念的理解 并让学生会列 二次函数的一些实际应用中的二次函数解析式 四 运用新知 深化理解四 运用新知 深化理解 1 下列函数中是二次函数的是 A B y 3x3 2x2 C y x 2 2 x3 D 2 1 23 y xx 2 12yx 2 二次函数 y 2x x 1 的一次项系数是 A 1 B 1 C 2 D 2 3 若函数 是二次函数 则 k 的值为 2 32 3 1 kk ykxkx A 0 B 0 或 3 C 3 D 不确定 4 若 y a 2 x2 3x 2 是二次函数 则 a 的取值范围是 5 已知二次函数 y 1 3x 5x2 则二次项系数 a 一次项系数 b 常 数项 c 6 某校九 1 班共有 x 名学生 在毕业典礼上每两名同学都握一次手 共 握手 y 次 试写出 y 与 x 之间的函数关系式 它 填 是 或 不是 二次函数 7 如图 在边长为 5 的正方形中 挖去一个半径为 x 的圆 圆心与正方形的 中心重合 剩余部分的面积为 y 1 求 y 关于 x 的函数关系式 2 试求自变量 x 的取值范围 3 求当圆的半径为 2 时 剩余部分的面积 取 3 14 结果精确到十分 位 4 答案 1 D 2 D 3 A 4 a 2 5 5 3 1 6 是 2 11 22 yxx 7 1 y 25 x2 x2 25 2 0 x 52 3 当 x 2 时 y 4 25 4 3 14 25 12 44 12 4 即剩余部分的面积约为 12 4 教学说明 学生自主完成 加深对新知的理解 待学生完成上述作业后 教师指导 五 师生互动 课堂小结五 师生互动 课堂小结 1 师生共同回顾二次函数的有关概念 2 通过这节课的学习 你掌握了哪些新知识 还有哪些疑问 与同伴交流 教学说明 教师引导学生回顾知识点 让学生大胆发言 进行知识提炼和 知识归纳 1 教材 P4第 1 3 题 2 完成同步练习册中本课时的练习 本节课是从生活实际中引出二次函数模型 从而得出二次函数的定义及一般 形式 会写简单变量之间的二次函数关系式 并能根据实际问题确定自变量的取 值范围 使学生认识到数学来源于生活 又应用于生活实际之中 5 1 2 二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质 第第 1 课时课时 二次函数二次函数 y ax2 a 0 的图象与性质的图象与性质 知识与技能 1 会用描点法画函数 y ax2 a 0 的图象 并根据图象认识 理解和掌握 其性质 2 体会数形结合的转化 能用 y ax2 a 0 的图象和性质解决简单的实际问 题 过程与方法 经历探索二次函数 y ax2 a 0 图象的作法和性质的过程 获得利用图象研 究函数的经验 培养观察 思考 归纳的良好思维习惯 情感态度 通过动手画图 同学之间交流讨论 达到对二次函数 y ax2 a 0 图象和性 质的真正理解 从而产生对数学的兴趣 调动学生的积极性 教学重点 1 会画 y ax2 a 0 的图象 2 理解 掌握图象的性质 教学难点 二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程 一 情境导入 初步认识一 情境导入 初步认识 问题问题 1 1 请同学们回忆一下一次函数的图象 反比例函数的图象的特征是 什么 二次函数图象是什么形状呢 问题问题 2 2 如何用描点法画一个函数图象呢 6 教学说明 略 列表 描点 连线 二 思考探究 获取新知二 思考探究 获取新知 探究探究 1 1 画二次函数 y ax2 a 0 的图象 画二次函数 y ax2的图象 教学说明 要求同学们人人动手 按 列表 描点 连线 的步骤画图 y x2的图象 同学们画好后相互交流 展示 表扬画得比较规范的同学 从列表和描点中 体会图象关于 y 轴对称的特征 强调画抛物线的三个误区 误区一 用直线连结 而非光滑的曲线连结 不符合函数的变化规律和发展趋 势 如图 1 就是 y x2的图象的错误画法 误区二 并非对称点 存在漏点现象 导致抛物线变形 如图 2 就是漏掉点 0 0 的 y x2的图象的错误画法 误区三 忽视自变量的取值范围 抛物线要求用平滑曲线连点的同时 还需要 向两旁无限延伸 而并非到某些点停止 如图 3 就是到点 2 4 2 4 停住的 y x2图象的错误画法 探究探究 2 2 y ax2 a 0 图象的性质在同一坐标系中 画出 y x2 y 2x2的图象 2 1 2 yx 教学说明 要求同学们独立完成图象 教师帮助引导 强调画图时注意每 一个函数图象的对称性 动脑筋观察上述图象的特征 共同点 从而归纳二次函 数 y ax2 a 0 的图象和性质 教学说明 教师引导学生观察图象 从开口方向 对称轴 顶点 y 随 x 的 增大时的变化情况等几个方面让学生归纳 教师整理讲评 强调 7 y ax2 a 0 图象的性质 1 图象开口向上 2 对称轴是 y 轴 顶点是坐标原点 函数有最低点 3 当 x 0 时 y 随 x 的增大而增大 简称右升 当 x 0 时 y 随 x 的增大 而减小 简称左降 三 典例精析 掌握新知三 典例精析 掌握新知 例 已知函数是关于 x 的二次函数 2 4 2 kk ykx 1 求 k 的值 2 k 为何值时 抛物线有最低点 最低点是什么 在此前提下 当 x 在哪 个范围内取值时 y 随 x 的增大而增大 分析 此题是考查二次函数 y ax2的定义 图象与性质的 由二次函数 定义列出关于 k 的方程 进而求出 k 的值 然后根据 k 2 0 求出 k 的取值范 围 最后由 y 随 x 的增大而增大 求出 x 的取值范围 解 1 由已知得 解得 k 2 或 k 3 2 20 42 k kk 所以当 k 2 或 k 3 时 函数是关于 x 的二次函数 2 4 2 kk ykx 2 若抛物线有最低点 则抛物线开口向上 所以 k 2 0 由 1 知 k 2 最低点是 0 0 当 x 0 时 y 随 x 的增大而增大 四 运用新知 深化理解四 运用新知 深化理解 1 广东广州中考 下列函数中 当 x 0 时 y 值随 x 值增大而减小的是 A y x2 B y x 1 C D y 3 4 yx 1 x 2 已知点 1 y1 2 y2 3 y3 都在函数 y x2的图象上 则 A y1 y2 y3 B y1 y3 y2 C y3 y2 y1 D y2 y1 y3 3 抛物线 y x2的开口向 顶点坐标为 对称轴 1 3 8 为 当 x 2 时 y 当 y 3 时 x 当 x 0 时 y 随 x 的增大而 当 x 0 时 y 随 x 的增大而 4 如图 抛物线 y ax2上的点 B C 与 x 轴上的点 A 5 0 D 3 0 构成平行四边形 ABCD BC 与 y 轴交于点 E 0 6 求常数 a 的值 教学说明 学生自主完成 加深对新知识的理解和掌握 当学生疑惑时 教师及时指导 答案 1 D 2 A 3 上 0 0 y 轴 3 减小 增大 4 3 4 解 依题意得 BC AD 8 BC x 轴 且抛物线 y ax2上的点 B C 关于 y 轴对称 又 BC 与 y 轴交于点 E 0 6 B 点为 4 6 C 点为 4 6 将 4 6 代入 y ax2得 a 3 8 五 师生互动 课堂小结五 师生互动 课堂小结 1 师生共同回顾二次函数 y ax2 a 0 图象的画法及其性质 2 通过这节课的学习 你掌握了哪些新知识 还有哪些疑问 请与同伴交流 1 教材 P7第 1 2 题 2 完成同步练习册中本课时的练习 本节课是从学生画 y x2的图象 从而掌握二次函数 y ax2 a 0 图象的画 法 再由图象观察 探究二次函数 y ax2 a 0 的性质 培养学生动手 动脑 探究归纳问题的能力 9 第第 2 课时课时 二次函数二次函数 y ax2 a 0 的图象与性质的图象与性质 知识与技能 1 会用描点法画函数 y ax2 a 0 的图象 并根据图象认识 理解和掌握其 性质 2 体会数形结合的转化 能用 y ax2 a 0 的图象与性质解决简单的实际问 题 过程与方法 经历探索二次函数 y ax2 a 0 图象的作法和性质的过程 获得利用图象研 究函数的经验 培养观察 思考 归纳的良好思维习惯 情感态度 通过动手画图 同学之间交流讨论 达到对二次函数 y ax2 a 0 图象和性质 的真正理解 从而产生对数学的兴趣 调动学习的积极性 教学重点 会画 y ax2 a 0 的图象 理解 掌握图象的性质 教学难点 二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会 一 情境导入 初步认识一 情境导入 初步认识 1 在坐标系中画出 y x2的图象 结合 y x2的图象 谈谈二次函数 1 2 1 2 y ax2 a 0 的图象具有哪些性质 2 你能画出 y x2的图象吗 1 2 二 思考探究 获取新知二 思考探究 获取新知 探究探究 1 1 画 y ax2 a 0 的图象请同学们在上述坐标系中用 列表 描点 10 连线 的方法画出 y x2的图象 1 2 教学说明 教师要求学生独立完成 强调画图过程中应注意的问题 同 学们完成后相互交流 表扬图象画得 美观 的同学 问 从所画出的图象进行观察 y x2与 y x2有何关系 1 2 1 2 归纳 y x2与 y x2二者图象形状完全相同 只是开口方向不同 两 1 2 1 2 图象关于 y 轴对称 教师引导学生从理论上进行证明这一结论 探究探究 2 2 二次函数 y ax2 a 0 性质问 你能结合 y x2的图象 归纳出 1 2 y ax2 a 0 图象的性质吗 教学说明 教师提示应从开口方向 对称轴 顶点位置 y 随 x 的增大 时的变化情况几个方面归纳 教师整理 强调 y ax2 a 0 图象的性质 1 开口向下 2 对称轴是 y 轴 顶点是坐标原点 函数有最高点 3 当 x 0 时 y 随 x 的增大而减小 简称右降 当 x 0 时 y 随 x 的增大 而增大 简称左升 探究探究 3 3 二次函数 y ax2 a 0 的图象及性质 学生回答 教学点评 一般地 抛物线 y ax2的对称轴是 顶点是 当 a 0 时抛物线的开口向 顶点是抛物线的最 点 a 越大 抛物线开口越 当 a 0 时 抛物线的开口向 顶点是抛物线的最 点 a 越大 抛物线开口越 总 之 a 越大 抛物线开口越 答案 y 轴 0 0 上 低 小 下 高 大 小 三 典例精析 掌握新知三 典例精析 掌握新知 例 1 填空 函数 y x 2的图象是 顶点坐标是 2 11 对称轴是 开口方向是 函数 y x2 y x2和 y 2x2的图象如图所示 1 2 请指出三条抛物线的解析式 解 抛物线 0 0 y 轴 向上 根据抛物线 y ax2中 a 的值的作用来判断 上面最外面的抛物线为 y x2 中间为 y x2 在 x 轴下方的为 y 2x2 1 2 教学说明 解析式需化为一般式 再根据图象特征解答 避免发生错 误 抛物线 y ax2中 当 a 0 时 开口向上 当 a 0 时 开口向下 a 越 大 开口越小 例 2 已知抛物线 y ax2经过点 1 1 求 y 4 时 x 的值 分析 把点 1 1 的坐标代入 y ax2 求得 a 的值 得到二次函数的表 达式 再把 y 4 代入已求得的表达式中 即可求得 x 的值 解 点 1 1 在抛物线 y ax2上 1 a 12 a 1 抛物线为 y x2 当 y 4 时 有 4 x2 x 2 教学说明 在求 y ax2的解析式时 往往只须一个条件代入即可求出 a 值 四 运用新知 深化理解四 运用新知 深化理解 1 下列关于抛物线 y x2和 y x2的说法 错误的是 A 抛物线 y x2和 y x2有共同的顶点和对称轴 B 抛物线 y x2和 y x2关于 x 轴对称 C 抛物线 y x2和 y x2的开口方向相反 D 点 2 4 在抛物线 y x2上 也在抛物线 y x2上 2 二次函数 y ax2与一次函数 y ax a 0 在同一坐标系中的图象大致是 12 3 二次函数 当 x 0 时 y 随 x 的增大而减小 则 m 2 26 1 mm ymx 4 已知点 A 1 y1 B 1 y2 C a y3 都在函数 y x2的图象上 且 a 1 则 y1 y2 y3中最大的是 5 已知函数 y ax2经过点 1 2 求 a 的值 当 x 0 时 y 的值随 x 值 的增大而变化的情况 教学说明 学生自主完成 加深对新知的理解和掌握 当学生疑惑时 教 师及时指导 答案 1 D 2 B 3 2 4 y3 5 a 2 当 x 0 时 y 随 x 的增大而减小 五 师生互动 课堂小结五 师生互动 课堂小结 这节课你学到了什么 还有哪些疑惑 在学生回答的基础上 教师点评 1 y ax2 a 0 图象的性质 2 y ax2 a 0 关系式的确定方法 1 教材 P10第 1 2 题 2 完成同步练习册中本课时的练习 本节课仍然是从学生画图象 结合上节课 y ax2 a 0 的图象和性质 从而 得出 y ax2 a 0 的图象和性质 进而得出 y ax2 a 0 的图象和性质 培养 学生动手 动脑 合作探究的学习习惯 13 第第 3 课时课时 二次函数二次函数 y a x h 2的图象与性质的图象与性质 知识与技能 1 能够画出 y a x h 2的图象 并能够理解它与 y ax2的图象的关系 理解 a h 对二次函数图象的影响 2 能正确说出 y a x h 2的图象的开口方向 对称轴和顶点坐标 过程与方法 经历探索二次函数 y a x h 2的图象的作法和性质的过程 进一步领会数 形结合的思想 情感态度 1 在小组活动中体会合作与交流的重要性 2 进一步丰富数学学习的成功体验 认识到数学是解决实际问题的重要工具 初 步形成积极参与数学活动的意识 教学重点 掌握 y a x h 2的图象及性质 教学难点 理解 y a x h 2与 y ax2图象之间的位置关系 理解 a h 对二次函数图象的 影响 一 情境导入 初步认识一 情境导入 初步认识 1 在同一坐标系中画出 y x2与 y x 1 2的图象 完成下表 1 2 1 2 14 2 二次函数 y x 1 2的图象与 y x2的图象有什么关系 1 2 1 2 3 对于二次函数 x 1 2 当 x 取何值时 y 的值随 x 值的增大而增大 当 1 2 x 取何值时 y 的值随 x 值的增大而减小 二 思考探究 获取新知二 思考探究 获取新知 归纳二次函数 y a x h 2的图象与性质并完成下表 三 典例精析 掌握新知 例 1 教材 P12例 3 15 教学说明 二次函数 y ax2与 y a x h 2是有关系的 即左 右平移时 左加右减 例如 y ax2向左平移 1 个单位得到 y a x 1 2 y ax2向右平移 2 个单位得到 y a x 2 2的图象 例 2 已知直线 y x 1 与 x 轴交于点 A 抛物线 y 2x2平移后的顶点与点 A 重合 水平移后的抛物线 l 的解析式 若点 B x1 y1 C x2 y2 在抛物线 l 上 且 x1 x2 试比较 y1 y2的大小 1 2 解 y x 1 令 y 0 则 x 1 A 1 0 即抛物线 l 的顶点坐标为 1 0 又 抛物线 l 是由抛物线 y 2x2平移得到的 抛物线 l 的解析式 为 y 2 x 1 2 由 可知 抛物线 l 的对称轴为 x 1 a 2 0 当 x 1 时 y 随 x 的增大而减小 又 x1 x2 y1 y2 1 2 教学说明 二次函数的增减性以对称轴为分界 画图象取点时以顶点为 分界对称取点 四 运用新知 深化理解四 运用新知 深化理解 1 二次函数 y 15 x 1 2的最小值是 A 1 B 1 C 0 D 没有最小值 2 抛物线 y 3 x 1 2不经过的象限是 A 第一 二象限 B 第二 四象限 C 第三 四象限 D 第二 三象限 3 在反比例函数 y 中 当 x 0 时 y 随 x 的增大而增大 则二次函数 k x y k x 1 2的图象大致是 4 1 抛物线 y x2向 平移 个单位得抛物线 y x 1 1 3 1 3 16 2 2 抛物线 向右平移 2 个单位得抛物线 y 2 x 2 2 5 广东广州中考 已知抛物线 y a x h 2的对称轴为 x 2 且过点 1 3 1 求抛物线的解析式 2 画出函数的大致图象 3 从图象上观察 当 x 取何值时 y 随 x 的增大而增大 当 x 取何值时 函数有最大值 或最小值 教学说明 学生自主完成 教师巡视解疑 答案 1 C 2 A 3 B 4 1 左 1 2 y 2x2 5 解 1 y x 2 2 2 略 3 当 x 2 时 y 随 x 增大而增大 当 1 3 x 2 时 y 有最大值 0 五 师生互动 课堂小结五 师生互动 课堂小结 1 这节课你学到了什么 还有哪些疑惑 2 在学生回答的基础上 教师点评 1 y a x h 2的图象与性质 2 y a x h 2与 y ax2的图象的关系 1 教材 P12第 1 2 题 2 完成同步练习册中本课时的练习 通过本节学习使学生认识到 y a x h 2的图象是由 y ax2的图象左右平移得 到的 初步认识到 a h 对 y a x h 2位置的影响 a 的符号决定抛物线方向 a 决定抛物线开口的大小 h 决定向左右平移 从中领会数形结合的数学思想 17 第第 4 课时课时 二次函数二次函数 y a x h 2 k 的图象与性质的图象与性质 知识与技能 1 会用描点法画二次函数 y a x h 2 k 的图象 掌握 y a x h 2 k 的图象和 性质 2 掌握 y a x h 2 k 与 y ax2的图象的位置关系 3 理解 y a x h 2 k y a x h 2 y ax2 k 及 y ax2的图象之间的平移转化 过程与方法 经历探索二次函数 y a x h 2 k 的图象的作法和性质的过程 进一步领会 数形结合的思想 培养观察 分析 总结的能力 情感态度 1 在小组活动中进一步体会合作与交流的重要性 2 体验数学活动中充满着探索性 感受通过认识观察 归纳 类比可以获得数 学猜想的乐趣 教学重点 二次函数 y a x h 2 k 的图象与性质 教学难点 由二次函数 y a x h 2 k 的图象的轴对称性列表 描点 连线 一 情境导入 初步认识一 情境导入 初步认识 复习回顾 同学们回顾一下 y ax2 y a x h 2 a 0 的图象的开口方向 对称轴 顶点坐标 y 随 x 的增减性分别是什么 如何由 y ax2 a 0 的图象平移得到 y a x h 2的图象 猜想二次函数 y a x h 2 k 的图象开口方向 对称轴 顶点坐标及 y 随 18 x 的增减性如何 二 思考探究 获取新知二 思考探究 获取新知 探究探究 1 1 y a x h 2 k 的图象和性质 1 由老师提示列表 根据抛物线的轴对称性观察图象回答下列问题 y x 1 2 1 图象的开口方向 对称轴 顶点坐标及 y 随 x 的增减性如 1 2 何 将抛物线 y x2向左平移 1 个单位 再向下平移 1 个单位得抛物线 1 2 y x 1 2 1 1 2 2 同学们讨论回答 一般地 当 h 0 k 0 时 把抛物线 y ax2向右平移 h 个单位 再向上 平移 k 个单位得抛物线 y a x h 2 k 平移的方向和距离由 h k 的值来决定 抛物线 y a x h 2 k 的开口方向 对称轴 顶点坐标及 y 随 x 的增减性 如何 探究探究 2 2 二次函数 y a x h 2 k 的应用 教学说明 二次函数 y a x h 2 k 的图象是 对称轴是 顶点坐标是 当 a 0 时 开口向 当 a 0 时 开口向 答案 抛物线 直线 x h h k 上 下 三 典例精析 掌握新知三 典例精析 掌握新知 例 1 已知抛物线 y a x h 2 k 将它沿 x 轴向右平移 3 个单位后 又沿 y 轴 向下平移 2 个单位 得到抛物线的解析式为 y 3 x 1 2 4 求原抛物线的解析式 分析 平移过程中 前后抛物线的形状 大小不变 所以 a 3 平移时应抓 住顶点的变化 根据平移规律可求出原抛物线顶点 从而得到原抛物线的解析 式 解 抛物线 y 3 x 1 2 4 的顶点坐标为 1 4 它是由原抛物线向右平移 19 3 个单位 向下平移 2 个单位而得到的 所以把现在的顶点向相反方向移动就 得到原抛物线顶点坐标为 4 2 故原抛物线的解析式为 y 3 x 4 2 2 教学说明 抛物线平移不改变形状及大小 所以 a 值不变 平移时抓住 关键点 顶点的变化 例 2 如图是某次运动会开幕式点燃火炬时的示意图 发射台 OA 的高度为 2m 火炬的高度为 12m 距发射台 OA 的水平距离为 20m 在 A 处的发射装置向目 标 C 发射一个火球点燃火炬 该火球运行的轨迹为抛物线形 当火球运动到距 地面最大高度 20m 时 相应的水平距离为 12m 请你判断该火球能否点燃目标 C 并说明理由 分析 建立适当直角坐标系 构建二次函数解析式 然后分析判断 解 该火球能点燃目标 如图 以 OB 所在直线为 x 轴 OA 所在直线为 y 轴建 立直角坐标系 则点 12 20 为抛物线顶点 设解析式为 y a x 12 2 20 点 0 2 在图象上 144a 20 2 a y x 12 2 20 当 x 20 时 1 8 1 8 y 20 12 2 20 12 即抛物线过点 20 12 该火球能点燃目标 1 8 教学说明 二次函数 y a x h 2 k 的应用关键是构造出二次函数模型 四 运用新知 深化理解四 运用新知 深化理解 1 若抛物线 y 7 x 4 2 1 平移得到 y 7x2 则必须 A 先向左平移 4 个单位 再向下平移 1 个单位 B 先向右平移 4 个单位 再向上平移 1 个单位 C 先向左平移 1 个单位 再向下平移 4 个单位 D 先向右平移 1 个单位 再向上平移 4 个单位 2 抛物线 y x2 4 与 x 轴交于 B C 两点 顶点为 A 则 ABC 的周长为 A 4 B 4 4 C 12 D 2 4555 3 函数 y ax2 a 与 y ax a a 0 在同一坐标系中的图象可能是 20 4 二次函数 y 2x2 6 的图象的对称轴是 顶点坐标是 当 x 时 y 随 x 的增大而增大 5 已知函数 y ax2 c 的图象与函数 y 3x2 2 的图象关于 x 轴对称 则 a c 6 把抛物线 y x 1 2沿 y 轴向上或向下平移 所得抛物线经过 Q 3 0 求平移后抛物线的解析式 教学说明 学生自主完成 加深对新知的理解 教师引导解疑 答案 1 B 2 B 3 C 4 y 轴 0 6 0 5 3 2 6 y x 1 2 4 五 师生互动 课堂小结五 师生互动 课堂小结 1 这节课你学到了什么 还有哪些疑惑 2 在学生回答的基础上 教师点评 二次函数 y a x h 2 k 的图象与性 质 如何由抛物线 y ax2平移得到抛物线 y a x h 2 k 教学说明 教师应引导学生自主小结 加深理解掌握 y ax2与 y a x h 2 k 二者图象的位置关系 1 教材 P15第 1 3 题 2 完成同步练习册中本课时的练习 掌握函数 y ax2 y a x h 2 y a x h 2 k 图象的变化关系 从而体会由简单 到复杂的认识规律 21 第第 5 课时课时 二次函数二次函数 y ax2 bx c 的图象与性质的图象与性质 知识与技能 1 会用描点法画二次函数 y ax2 bx c 的图象 2 会用配方法求抛物线 y ax2 bx c 的顶点坐标 开口方向 对称轴 y 随 x 的增减性 3 能通过配方求出二次函数 y ax2 bx c a 0 的最大或最小值 能利用二 次函数的性质求实际问题中的最大值或最小值 过程与方法 1 经历探索二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象的作法和性质的过程 体会 建立二次函数 y ax2 bx c a 0 对称轴和顶点坐标公式的必要性 2 在学习 y ax2 bx c a 0 的性质的过程中 渗透转化 化归 的思想 情感态度 进一步体会由特殊到一般的化归思想 形成积极参与数学活动的意识 教学重点 用配方法求 y ax2 bx c 的顶点坐标 会用描点法画 y ax2 bx c 的图 象并能说出图象的性质 教学难点 能利用二次函数 y ax2 bx c a 0 的对称轴和顶点坐标公式 解决一些问 题 能通过对称性画出二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象 一 情境导入 初步认识一 情境导入 初步认识 请同学们完成下列问题 1 把二次函数 y 2x2 6x 1 化成 y a x h 2 k 的形式 2 写出二次函数 y 2x2 6x 1 的开口方向 对称轴及顶点坐标 22 3 画 y 2x2 6x 1 的图象 4 抛物线 y 2x2如何平移得到 y 2x2 6x 1 的图象 5 二次函数 y 2x2 6x 1 的 y 随 x 的增减性如何 教学说明 上述问题教师应放手引导学生逐一完成 从而领会 y ax2 bx c 与 y a x h 2 k 的转化过程 二 思考探究 获取新知二 思考探究 获取新知 探究探究 1 1 如何画 y ax2 bx c 图象 你可以归纳为哪几步 学生回答 教师点评 一般分为三步 1 先用配方法求出 y ax2 bx c 的对称轴和顶点坐标 2 列表 描点 连线画出对称轴右边的部分图象 3 利用对称点 画出对称轴左边的部分图象 探究探究 2 2 二次函数 y ax2 bx c 图象的性质有哪些 你能试着归纳吗 学生回答 教师点评 抛物线 y ax2 bx c 对称轴为 x 顶点坐标为 2 2 4 24 bacb a x aa 2 b a 当 a 0 时 若 x y 随 x 增大而增大 若 x y 随 2 b a 2 4 4 acb a 2 b a2 b a x 的增大而减小 当 a 0 时 若 x y 随 x 的增大而减小 若 x2 B 1 2 C 1 2 D 1 2 4 二次函数 y ax2 bx c 与 x 轴的交点坐标为 1 0 3 0 则方程 ax2 bx c 0 的解为 5 湖北武汉中考 已知二次函数 y x2 m 1 x m 的图象交 x 轴于 A x1 0 B x2 0 两点 交 y 轴的正半轴于点 C 且 x21 x22 10 1 求此二次函数的解析式 33 2 是否存在过点 D 0 的直线与抛物线交于点 M N 与 x 轴交于 5 2 点 E 使得点 M N 关于点 E 对称 若存在 求出直线 MN 的解析式 若不存在 请说明理由 学生解答 答案 1 D 2 C 3 D 4 x1 1 x2 3 5 解 1 y x2 4x 3 2 存在 y x 5 2 教学说明 一元二次方程的根的情况和二次函数与 x 轴的交点个数之间 的关系是相互的 根据根的情况可以判断交点个数 反之也成立 四 师生互动 课堂小结四 师生互动 课堂小结 1 这节课你学到了什么 还有哪些疑惑 2 在学生回答基础上 教师点评 求二次函数自变量的值与一元二次方程根的关系 抛物线与 x 轴交点个数与一元二次方程根的个数的关系 用函数图象求 一元二次方程的近似根 二次函数问题可转化为对应一元二次方程根与系数关系问题 1 教材 P28第 1 3 题 2 完成同步练习册中本课时的练习 通过本节课的学习 让学生用函数的观点解方程和用方程的知识求函数 取 某一特值时 把对应的自变量的值都联系起来了 这样对二次函数的综合应用就 方便得多了 从中让学生体会到各知识之间是相互联系的这一最简单的数学道理 34 1 5 二次函数的应用二次函数的应用 第第 1 课时课时 二次函数的应用二次函数的应用 1 知识与技能 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系 并能利用 二次函数的知识解决实际问题 过程与方法 经历运用二次函数解决实际问题的探究过程 进一步体验运用数学方法描述 变量之间的依赖关系 体会二次函数是解决实际问题的重要模型 提高运用数学 知识解决实际问题的能力 情感态度 1 体验函数是有效的描述现实世界的重要手段 认识到数学是解决问题和进 行交流的重要工具 2 敢于面对在解决实际问题时碰到的困难 积累运用知识解决问题的成功经 验 教学重点 用抛物线的知识解决拱桥类问题 教学难点 将实际问题转化为抛物线的知识来解决 一 情境导入 初步认识一 情境导入 初步认识 通过预习 P29页的内容 完成下面各题 1 要求出教材 P29动脑筋中 拱顶离水面的高度变化情况 你准备采取什 么办法 35 2 根据教材 P29图 1 18 你猜测是什么样的函数呢 3 怎样建立直角坐标系比较简便呢 试着画一画它的草图看看 4 根据图象你能求出函数的解析式吗 试一试 二 思考探究 获取新知二 思考探究 获取新知 探究探究 直观图象的建模应用 例 1 某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物 大门的地面宽度为 8m 两侧距地面 3m 高处各 有一盏壁灯 两壁灯之间的水平距离是 6m 如 图所示 则厂门的高 水泥建筑物厚度不计 精确到 0 1m 约为 A 6 9m B 7 0m C 7 1m D 6 8m 分析 因为大门是抛物线形 所以建立二次函数模型来解决问题 先建立平面直角坐标系 如图 设大门地面宽度 为 AB 两壁灯之间的水平距离为 CD 则 B D 坐标 分别为 4 0 3 3 设抛物线解析式为 y ax2 h 把 3 3 4 0 代入解析式求得 h 6 9 故选 A 教学说明 根据直观图象建立恰当的直角坐标系和解析式 例 2 小红家门前有一座抛物线形拱桥 如图 当水面在 l 时 拱顶离水面 2m 水面宽 4m 水面 下降 1m 时 水面宽度增加多少 分析 拱桥类问题一般是转化为二次函数的知识来解决 解 由题意建立如图的直角坐标系 设抛物线的解析式 y ax2 抛物线经过点 A 2 2 2 4a a 即抛物线的解析式为 y x2 1 2 1 2 当水面下降 1m 时 点 B 的纵坐标为 3 将 y 3 代入二次函数解析式 得 y x2 1 2 36 得 3 x2 x2 6 x 此时水面宽度为 2 x 2m 1 2 66 即水面下降 1m 时 水面宽度增加了 2 4 m 6 教学说明 用二次函数知识解决拱桥类的实际问题一定要建立适当的直 角坐标系 抛物线的解析式假设恰当会给解决问题带来方便 三 运用新知 深化理解三 运用新知 深化理解 1 某溶洞是抛物线形 它的截面如图所示 现测得水 面宽 AB 1 6m 溶洞顶点 O 到水面的距离为 2 4m 在图中直 角坐标系内 溶洞所在抛物线的函数关系式是 A y x2 B y x2 15 4 15 4 12 5 C y x2 D y x2 15 4 15 4 12 5 2 某公园草坪的防护栏是由 100 段形状相同的抛物线形组成的 为了牢固 起见 每段护栏需要间距 0 4m 加设一根不锈钢的支柱 防护栏的最高点距底部 0 5m 如图 则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为 A 50m B 100m C 160m D 200m 第 2 题图 第 3 题图 3 如图 济南建邦大桥有一段抛物线形的拱梁 抛物线的表达式为 y ax2 bx 小强骑自行车从拱梁一端 O 沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面 OC 当小 强骑自行车行驶 10 秒时和 26 秒时拱梁的高度相同 则小强骑自行车通过拱梁 部分的桥面 OC 共需 秒 4 浙江金华中考 如图 足球场上守门员在 O 处 踢出一高球 球从离地面 1 米处飞出 A 在 y 轴上 运 动员乙在距 O 点 6 米的 B 处发现球在自己的正上方达到最 37 高点 M 距地面约 4 米高 球落地后又一次弹起 据实验 足球在草坪上弹起后 的抛物线与原来的抛物线形状相同 最大高度减少到原来最大高度的一半 1 求足球开始飞出到第一次落地时 该抛物线的表达式 2 足球第一次落地点 C 距守门员是多少米 取 4 7 2 5 36 3 运动员乙要抢到第二个落点 D 他应再向前跑多少米 教学说明 学生自觉完成上述习题 加深对新知的理解 并适当加以分 析 提示如第 4 题 由图象的类型及已知条件 设其解析式为 y a x 6 2 4 过 点 A 0 1 可求出 a 2 令 y 0 可求出 x 的值 x 0 舍去 3 令 y 0 求出 C 点坐标 6 4 0 设抛物线 CND 为 y x k 2 2 代入 C 点坐标可求3 1 12 出 k 值 k 6 4 再令 y 0 可求出 C D 的坐标 进而求出 BD 3 答案 1 C 2 C 3 36 4 解 1 y x 6 2 4 2 令 y 0 可求 C 点到 1 12 守门员约 13 米 3 向前约跑 17 米 四 师生互动 课堂小结四 师生互动 课堂小结 1 这节课你学到了什么 还有哪些疑惑 2 在学生回答的基础上 教师点评 3 建立二次实际问题的一般步骤 1 根据题意建立适当的平面直角坐标系 2 把已知条件转化为点的坐标 3 合理设出函数解析式 4 利用待定系数法求 出函数