余弦定理教学设计方案1（刘亮生）

人教人教 A 版必修五版必修五 余弦定理余弦定理 教学设计教学设计 衡阳市第八中学衡阳市第八中学 刘亮生刘亮生 一 教学内容分析一 教学内容分析 本节内容安排在 普通高中课程标准实验教科书 数学必修 5 人教 A 版 第一章余弦定 理第一课时 是在学生学习了三角函数 向量等知识之后 是对三角知识的应用 同时 作为三 角形中的一个定理 也是对解直角三角形内容的直接延伸 因而定理本身的应用十分广泛 余弦定理的教学分为以下这几个步骤 第一 教师通两个实际问题的引入 让学生将实际问 题转化数学问题 第二 找到两个问题的共同特征 并举出特例大胆提出猜想 第三 采用 构 造直角三角形法 向量法 坐标法 三种方法证明了余弦定理 第四 通过对余弦定理公 式的变形得到推论 进一步运用定理判定三角形的形状 第五 利用定理 解决引入问题 并最 后进行简单的应用 学生通过对任意三角形中余弦定理的探索 发现和证明 感受 观察 归 纳 猜想 证明 应用 这一数学思维方法 养成大胆猜想 善于思考的品质和勇于求真 的精神 二 学情分析二 学情分析 对学生来说 已学过平面几何 解直角三角形 三角函数 向量等知识 有一定观察分析 解决问题的能力 但对前后知识间的联系 理解 应用有一定难度 因此思维灵活性受到制约 根据以上特点 教师恰当引导 提高学生学习主动性 多加以前后知识间的联系 带领学生直接 参与分析问题 解决问题并品尝劳动成果的喜悦 三 设计思想 三 设计思想 本节课采用探究式问题教学模式 即在教学过程中 在教师的启发引导下 以学生独立自主 和合作交流为前提 以问题为导向设计教学情境 从实际问题出发运用数学知识解决问题这个过 程体验数学在实际生活中的运用 让学生感受数学的美 激发学生学习数学的兴趣 通过主动探 索 合作交流 感受探索的乐趣和成功的体验 体会数学的理性和严谨 逐步培养学生发现问题 探索问题 解决问题的能力和创造性思维的能力 四 教学目标 四 教学目标 1 通过对任意三角形边角关系的探索 引导学生通过观察 归纳 猜想 验证 证明 由 特殊到一般归纳出余弦定理 掌握余弦定理的内容及其证明方法 能运用余弦定理解决解斜三角 形的两类基本问题 2 通过对实际问题的探索 培养学生观察问题 提出问题 分析问题 解决问题的能力 增强学生的协作能力和交流能力 发展学生的创新意识 培养创造性思维的能力 3 培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法 通过平面几何 三角形函数 正弦定 理 向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一 五 教学重点与难点五 教学重点与难点 教学重点 教学重点 余弦定理的发现与证明 余弦定理的简单应用 教学难点 教学难点 余弦定理的猜想提出过程 余弦定理的证明 教学准备 教学准备 制作多媒体课件 学生准备计算器 六 教学过程六 教学过程 一 创设情境 提出问题 一 创设情境 提出问题 情境情境 1 1 如图 1 所示的两地之间隔着一座小山 BA 现要测量之间即将修建的一条隧道的长度 已知BA 在以外的点测得的数据有 ABCmAC600 如何求两地之间隧mBC340 0 41 ACBBA 道的长度 精确到 m1 情境情境 2 2 如图 2 所示 工人要做一个三角形支架 已知杆 主架是一根直钢管沿点弯折而成 mBC6 DAEA 且弯折点到焊接点的距离分别为 ACB mm54 和 要使弯折后恰好与两焊接点相接 则弯折后BCBAC 的大小为多少 精确到 0 1 0 问题问题 1 1 上述两个问题有何内在联系 它们都是解决三角形当中有关什么问题 教师 教师 以上问题抽象出来成数学问题 就是解三角形问题 那么他们分别是解决三角形中的什么 类型问题 学生 情境学生 情境 1 1 解关于知道三角形两边及它们夹角 求第三边问题 情境情境 2 2 解关于知道三角形两边及第三边 即知道三边 求两边夹角问题 设计意图 设计意图 通过实例创设情境 引发学生对本节课的兴趣 同时抽象出数学问题引入新课 二 问题化归 构建模型 二 问题化归 构建模型 AB C A CB E D C A B 教师 教师 以上两个问题都是在已知三角形两边的前提下 求两边的夹角的大小与第三边的变化的关 系 请大家思考以下问题 问题问题 2 2 如图 3 在中 已知 当变化时 线段的长度的变化ABC aCB babCA C AB 趋势如何 学生 学生 当变大时 的长度变大 C AB 设计意图 设计意图 让学生发现在已知三角形两边的前提下 找到他们的夹角的变 化对第三边的变化的影响 3 3 特例探究 提出猜想 特例探究 提出猜想 教师 教师 我们不妨找几个特殊情况 已知两边以及它们的夹角与该三角形的第三边有何关系 问题问题 3 3 如图 3 在中 已知 若将的范围扩大到取这ABC aCB babCA C 180 0 00 三种特殊情况时 线段的长度分别为多少 0 0 C 0 90 C 0 180 CAB 教师引导学生得出结论 学生 当学生 当时时 0 0 C1cos C12 22 abbabaAB 当当时时 0 90 C0cos C02 2222 abbabaAB 当当时时 0 180 C1cos C 1 2 22 abbabaAB 设计意图 设计意图 从三个特殊角度与第三边之间的关系去找到它们的共同特征 让学生提出合理猜想 问题问题 4 4 请你根据上述三个特例的结果 试猜想试猜想 当 线段的长度时 1800 00 CAB 为多少 学生学生 当时 C cos2 22 abbaAB 四 证明猜想 得出定理 四 证明猜想 得出定理 问题问题 5 5 你能证明该猜想吗 试一试 看能用几种方法证明 教师 教师 在求三角形的边长中 什么三角形的边长最容易求 锐角 直角还是钝角三角形 学生 学生 直角三角形 教师 教师 对于任意三角形 如果是锐角三角形或钝角三角形我们可以构造出直角三角形吗 如果能 如何构造 学生 学生 过一点 作对边的高 教师 教师 很好 现在我们不妨假设为锐角 C 方法一 构造直角三角形 方法一 构造直角三角形 如图 因为为锐角 过点 A 作垂线交 BC 于点 D 则C CACADsin CACCDcos 所以 CACBCCDBCBDcos 22 BDADAB 由学生小组讨论完成 CBCACBCACcos 2 22 教师 教师 我们不要忘记讨论为钝角 直角的情况 如果为钝角如何求 C C 与它为锐角有什么区别与联系 学生 学生 如图 因为为钝角 过点 A 作垂线交 BC 于点 D C 则 sin CACAD cos CACCD cos CACBCCDBCBD 所以 22 BDADAB CBCACBCACcos 2 22 方法二方法二 向量方法 向量方法 如图 因为 所以 ABACCB 2 2 ABACCB 22 2cos ACCBACCBC 即 CBCACBCACABcos 2 22 方法三 建立直角坐标系 方法三 建立直角坐标系 建立如图所示的直角坐标系 则 sin cos CACCACA 0 BCB 根据两点间的距离公式 可得 22 0sin cos CACBCCACAB 所以 CBCACBCACABcos 2 22 A B CD A B C A CDB A CBx B y B 设计意图 设计意图 让学生以小组为单位讨论解决问题的方法 老师适当引导点拨 由学生自己证明 充分体现学生的主体地位 点评 点评 方法一 应分为锐角 直角与钝角进行讨论 方法二 方法三 可避免讨论 计算最C 方便还是方法二 问题问题 6 6 以上结论为余弦定理余弦定理 如何用文字语言与符号语言表示以上定理 你能说出来吗 教师 教师 大家观察我们刚才证明的式子 如果把它们平方就可以得出结论 学生 学生 CBCACBCACABcos 2 222 教师 教师 如果令 则上式变形为什么式子 aCB bAC cAB 学生 学生 Cabbaccos2 222 教师 教师 同理这个式子也可以用来求另外两边 你能把其他两边也用式子表示出来吗 学生 可以 学生 可以 Abccbacos2 222 Baccabcos2 222 教师 教师 很好 这三个式子就是余弦定理的符号语言表述形式 这个式子非常美观 便于记忆 希望大家 好好记忆 请问那位同学能用文字语言把它表述出来吗 符号语言 符号语言 Abccbacos2 222 Baccabcos2 222 Cabbaccos2 222 学生 文字语言 学生 文字语言 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与他们的夹角的 余弦的积的两倍 设计意图 设计意图 让学生用两种数学语言归纳证明的定理 加深对定理的理解 提高学生的表达能力 以 及数学语言间的转换能力 特别是符号语言表述结构美观 便于记忆 5 5 合理变型 深化理解 合理变型 深化理解 问题问题 7 7 余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系 应用余弦定理 我们可以 解决三角形的三边确定三角形的角的问题 怎么确定呢 学生 学生 要求角我们可以把上面的式子变形 把角和边分离 教师 教师 很好 那大家动手写一下 看看公式变成什么样子 学生 学生 bc acb A 2 cos 222 ac bca B 2 cos 222 ab cba C 2 cos 222 教师 教师 看来大家都不错 我们把刚才变形之后的公式叫做余弦定理的推论 余弦定理推论 余弦定理推论 bc acb A 2 cos 222 ac bca B 2 cos 222 ab cba C 2 cos 222 设计意图 设计意图 对公式进行变形 学生就能发现如何知道三边求角 问题问题 8 8 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系 余弦定理则指出了一般三角形三边 的平方之间的关系 如何看待这两个定理之间的关系 教师 教师 你们如何看待上面的问题 可以得到什么结论 学生 学生 勾股定理是余弦定理的特殊情况 余弦定理是勾股定理的推广 教师 教师 由于我们可以根据角是锐角 直角还是钝角来判断角余弦的符号 如果在知道三角形的三 边能否判定三角形的各个角是锐角 直角还是锐角 学生 学生 可以 将各边代人余弦定理的推论式子 根据式子的符号来判定角的余弦的符号 如果大 于 0 就是锐角 等于 0 就是直角 小于 0 就是钝角 教师 教师 我们要判定三角形是锐角 直角还是钝角三角形 是否每个角都要判定 学生 学生 不一定 只要判定最大的角 教师 教师 在给定三边的前提下 你知道最大的角是那个角吗 学生 学生 最大的边对最大的角 教师 教师 说得好 看来我们只要知道哪条边最大 就能判定三角形的形状 刚才我们对余弦定理及 推论进行了探讨 大家说说 余弦定理可以解决一些什么问题 学生 学生 1 已知三角形两边及夹角 求第三边 2 已知三角形三边 求任意一角 3 判定三角形形状 设计意图 设计意图 发现勾股定理与余弦定理之间的区别与联系 并能运用定理判断角的范围 从而判定 三角形的形状 6 6 运用定理 解决问题 运用定理 解决问题 情境情境 1 1 在 在 求边的长度 精确到 中 ABC mAC600 mBC340 0 41 ACBABm1 情境情境 2 2 在 在 求的大小为多少 精确到 中 ABC mAB5 mAC4 mBC6 BAC 0 1 0 并请判定该三角形的形状 7 7 随堂训练 巩固反馈 随堂训练 巩固反馈 1 已知在中 那么等于 ABC 3 a 0 60 B2 cb A B C D 572232 2 已知在中 则等于 ABC sin sin sinABC2 3 1 A B C A 1 2 3 B 2 3 1 C 1 3 2D 3 1 2 3 若三条线段的长为 5 6 7 则用这三条线段 A 能组成直角三角形 B 能组成锐角三角形 C 能组成钝角三角形 D 不能组成三角形 七七 课时小结 课时小结 一 一 探究过程 探究过程 1 创设情境 提出问题 2 问题化归 构建模型 3 特例探究 提出猜想 4 证明猜想 得出定理 5 合理变型 深化理解 6 运用定理 解决问题 7 随堂训练 巩固反馈 二 二 知识体系 知识体系 1 1 余弦定理 余弦定理 文字语言 文字语言 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与他们的夹角的余弦的 积的两倍 符号语言 符号语言 Abccbacos2 222 Baccabcos2 222 Cabbaccos2 222 2 2 余弦定理推论 余弦定理推论 bc acb A 2 cos 222 ac bca B 2 cos 222 ab cba C 2 cos 222 3 3 余弦定理的应用 余弦定理的应用 1 已知三角形两边及夹角 求第三边 2 已知三角形三边 求任意一角 3 判定三角形形状 三 三 探究思想方法 探究思想方法 1 从特殊到一般思想 2 转化化归思想 3 归纳猜想思想 4 数形结合思想 八 教学反思 八 教学反思 本课的教学应具有承上启下的目的 因此在教学设计时既要兼顾前后知识的联系 又要使学 生明确本课学习的重点 将新旧知识逐渐地融为一体 构建比较完整的知识系统 所以在余弦定 理的表现方式 结构特征上重加指导 只有当学生正确地理解了余弦定理的本质 才能更好地应 用求解问题 本课教学设计力求在型 模型 类型 质 实质 本质 思 思