讲连续型随机变量分布及随机变量的函数的分布

1 10 第七讲第七讲 连续型随机变量 续 及连续型随机变量 续 及 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布 3 3 三种重要的连续型随机变量三种重要的连续型随机变量 1 1 均匀分布 均匀分布 设连续型随机变量 X 具有概率密度 5 4 0 1 其它 bxa abxf 则称 X 在区间 a b 上服从均匀分布均匀分布 记为 X U a b X 的分布函数为 6 4 1 0 bx bxa ab ax ax xF 2 指数分布 指数分布 设连续型随机变量 X 的概率密度为 7 4 0 0 e 1 其它 x xf x 其中 0 为常数 则称 X 服从参数为的指 数分布 容易得到 X 的分布函数为 8 4 0 0 1 其它 xe xF x 如 X 服从指数分布 则任给 s t 0 有 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 4 连续型随机变量连续型随机变量 及其概率密度及其概率密度 Ox f x 123 1 2 3 1 3 1 2 2 10 P X s t X s P X t 4 9 事实上 e e e 1 1 tXP sF tsF sXP tsXP sXP sXtsXP sXtsXP t s ts 性质 4 9 称为无记忆性无记忆性 指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛 的运用 3 正态分布 正态分布 设连续型随机变量 X 的概率密度为 10 4 e 2 1 2 2 2 xxf x 其中 0 为常数 则称 X 服从参数为 的正态分布或高斯 Gauss 分布 记为 X N 2 显然 f x 0 下面来证明 1d xxf 令 得到tx dxedxe tx 22 2 2 2 2 1 2 1 1 d 2 1 d 2 1 11 4 2dde dd de 22 2 00 2 2 2 22 2 2 2 2 222 xexe rrI uteItI t x r utt 于是 得转换为极坐标 则有记 f x 具有的性质具有的性质 1 曲线关于曲线关于 x 对称对称 这表明对于任意 f x 的图形 O x f x 5 5 0 266 0 399 0 798 xO f x 1 5 1 0 5 3 10 h 0 有 P h X P X h 2 当当 x 时取到最大值时取到最大值 2 1 f x 离越远 f x 的值越小 这表明对于同样 长度的区间 当区间离越远 X 落在这个 区间上的概率越小 在 x 处曲线有 拐点 曲线以 Ox 轴为渐近线 X 的分布函数为 12 4 de 2 1 2 2 2 x t txF 特别 当 0 1 时称 X 服从标准正态分 布 其概率密度和分布函数分别用 x 和 x 表示 即有 14 4 de 2 1 13 4 2 1 2 2 2 2 x t x tx ex 易知 x 1 x 4 15 人们已经编制了 x 的函数表 可供查用 见附表 2 引理引理 若 X N 则 2 1 0 N X Z 证明 证明 的分布函数为 X Z 1 F x 0 5 x O 4 10 得令 de 2 1 2 2 2 u t t xXPx X PxZP x t de 2 1 2 2 xuxZP x u 由此知 Z N 0 1 若 X N 则它的分布函数 F x 可写 2 成 16 4 x xX P xXPxF 则对于任意区间 x1 x2 有 17 4 12 21 21 xx xXx PxXxP 例如 设 X N 1 4 查表查表得 3094 0 6915 0 16179 0 5 0 1 6179 0 5 0 3 0 2 10 2 16 1 6 10 XP 设 X N 由 x 的函数表还能得到 2 P X 1 1 2 1 1 68 26 5 10 P X 2 2 2 2 95 44 P Xza a 0 a0 时有 2 yFyF yXyP yXPyYPyF XX Y 将 FY y 关于 y 求导数 即得 Y 的概率密 度为 0 0 0 2 1 y yyfyf yyf XX Y 例 结论的应用 例 结论的应用 设 X N 0 1 其概率密度为 xx x e 2 1 2 2 则 Y X2的概率密度为 特注 y 0 时概率为零 但并非不 可能事件 8 10 0 0 0 e 2 1 2 2 1 y yy yf y Y 5 1 此时称 Y 服从自由度为 1 的分布 2 定理定理 设随机变量 X 具有概率密度 fX x 又设函数 g x 处处可导且 x 恒有 g x 0 或恒有 g x 0 此时 g x 在 严格单调增加 它的反函数 h y 存在 且 在 严格单调增加 可导 分别记 X Y 的分布函数为 FX x FY y 因 Y 在 取值 故 当时 FY y P Yy 0 y 当 y时 FY y P Yy 1 当时 y FY y P Yy P g X y P Xh y FX h y 将 FY y 关于 y 求导数 即得 Y 的概率密 度 3 5 0 其它 yyhyhf yf X Y 对于 g x 0 的情况同样可以证明 有 当 g x 0 x g 9 10 4 5 0 其它 yyhyhf yf X Y 合并 5 3 5 4 式 命题得证 例 例 设随机变量 X N 试证明 2 X 的线性函数 Y aX b a0 也服从正态 分布 证证 X 的概率密度为 e 2 1 2 2 2 xxf x X 现在 Y g X aX b 由这一式子解得 1 a yh a by yhx 且有 由 5 2 式得 Y aX b 的概率密度为 1 y a by f a yf XY ye a e a yf a aby a by Y 2 1 2 11 2 2 2 2 2 2 即 即有 Y aX b N a b a 2 1 0 1 N X Y ba 得在上例中取特别 这就是上一节引理的结果 例 例 设电压 V Asin 其中 A 是一个 已知的正常数 相角是一随机变量 且有 试求电压 V 的概 2 2 U 率密度 或恒有 0 上述定理依然成 x g 立 但此时有 min g a g b max g a g b 10 10 解解 现在 v g Asin 1 arcsin 0cos 2 2 22 vA vh A v vh Ag