沪科版七年级数学下册全册教案

不等式及其基本性质不等式及其基本性质 教案教案 学习目标 学习目标 1 通过实际问题中的数量关系的分析 体会到现实世界中有各种各样的数量关系的存在 不等关系是其 中的一种 2 了解不等式及其概念 会用不等式表示数量之间的不等关系 3 掌握不等式的基本性质 并能利用不等式的基本性质对不等式进行变形 学习重点学习重点 不等式的概念和不等式的性质 学习难点 学习难点 不等式的性质 3 以及正确分析实际问题中的不等关系并用不等式表示 教学过程 教学过程 一 探究性质 1 明确定义 2 不等式的意义 表示生活中量与量之间不等关系的式子 例题 1 神七 速度 v 超过 11200 米 秒 才能脱离地球引力 飞入太空 怎样表示 v 和 11200 之间的 关系 3 想一想 1 如果a b 用不等号连接下列各式的两边 a 2 b 2 a 5 b 5 2 如果 2x 8 3 那么 2x 11 4 小结 不等式性质 1 即 二 探究性质 1 用不等号填空 已知 5 8 则 5 3 8 3 5 3 8 3 已知 5 8 则 5 3 8 3 5 3 8 3 归纳 不等式两边同时乘以一个正数 不等号方向 不等式两边同时乘以一个负数 不等号方 向 2 用不等号填空 已知 6 8 那么 6 2 8 2 6 2 8 2 已知 6 8 那么 6 2 8 2 6 2 8 2 归纳 不等式两边同时除以一个正数 不等号方向 不等式两边同时除以一个负数 不等号方 向 三 例题分析 例 1 1 若x 1 3 则x 根据 2 2x 6 则x 根据 3 3y 5 则y 根据 例 2 如果m n 判断下列不等式是否正确 1 m 7 n 7 2 m 2 n 2 3 3m b 下列各不等式中正确的是 A a 1 b 1 B ba 8 1 8 1 C 8a 8b D a 1b 则a 1 b 1 若a b 则a 1 b 1 若a b 则 2ab 则 2a3 5 2 3 2 5 2 3 2 2 1 2 根据发现的规律填空 当不等式两边加或减去同一个数 正数或负数 时 不等号的方向 3 继续探究 接着又出示 3 4 题 3 6 2 6 5 2 5 6 5 2 5 4 2 b c 不等式的性质 2 不等式的两边乘 或除以 同一个正数 不等号的方向不变 字母表示为 如果 a b c 0 那么 ac bc 不等式的性质 3 不等式的两边乘 或除以 同一个负数 不等号的方向改变 字母表示为 如果 a b c 0 那么 ac b 那么 bb b c 那么 a c 二 范例学习 应用所学 1 利用不等式的性质解下列不等式 1 x 7 26 2 3x 2x 1 3 x 50 4 4x 3 2 3 2 逐题分析得出结果 1 x 7 26 分析 解未知数为 x 的不等式 就是要使不等式逐步化为 x a 或 x a 的形式 解 1 为了使不等式 x 7 26 中不等号的一边变为 x 根据不等式的性质 1 不等式两边都加 7 不等 号的方向不变 得 x 7 7 26 7 x 33 2 3x 2x 1 为了使不等式 3x 2x 1 中不等号的一边变为 x 根据不等式的性质 1 不等式两边都减去 2x 不等号的方 向不变 3x 2x 2x 1 2x x 1 通过两小题得到 解不等式时也可以 移项 即把不等式的一边的某项变号后移到另一边 而不改变不等 号的方向 3 x 50 2 3 为了使不等式 x 50 中不等号的一边变为 x 根据不等式的性质 不等式的两边都乘 2 3 3 2 不等号的方向不变 得 x 75 4 4x 3 为了使不等式 4x 3 中的不等号的一边变为 x 根据不等式的性质 3 不等式两边都除以 4 不等号的方向改变 得 x 4 3 通过 3 4 的求解过程 类似于解方程两边都除以未知数的系数 未知数系数化为 1 解不等式时要 注意未知数系数的正负 以决定是否改变不等号的方向 三 课堂探究 已知 a 2 则 a 4 4 若 a 0 则 a 0 问题 4 判断下列各题的推导是否正确 为什么 1 因为 7 5 5 7 所以 7 5 5 7 2 因为 a 8 4 所以 a 4 3 因为 4a 4b 所以 a b 4 因为 1 2 所以 a 1 a 2 5 因为 3 2 所以 3a 2a 问题 5 照下列条件 写出仍能成立的不等式 1 由 x 2 1 两边都加 2 2 由 2x 5 两边都除以 2 3 由x 4 两边都乘以 2 2 1 问题 6 利用不等式的性质将下面的不等式化为 x a 或 x a 的形式 1 5 2x 3 2 6x 2 10 x 不等式及其基本性质不等式及其基本性质 教案教案 教学目标教学目标 1 经历不等式基本性质的探索过程 初步体会不等式与等式的异同 2 掌握不等式的基本性质 运用不等式的基本性质将不等式变形 教学重点和难点教学重点和难点 重点 掌握不等式的基本性质并能正确运用将不等式变形 难点 不等式基本性质 3 的运用 教学过程教学过程 1 回顾思考 引入课题 观察下面两个推理 说出等式的基本性质 1 ba 33 ba 2 2 2 2 yxbyxa 2 ba ba33 44 ba 提出问题 那么不等式有没有类似的性质呢 引入课题 2 创设问题情景 探索规律 问题 1 在天平两侧的托盘中放有不同质量的砝码 如图 右低左高说明右边的质量大于左边的质量 往两盘中加入相同质量的砝码 天平哪边高 哪边低 减去相 同质量的砝码呢 问题 2 在不等式的两边加上或减去相同的数 不等号的方向改变吗 如不等式 7 4 1 3 不等式的 两边都加 5 都减 5 不等号的方向改变吗 能得出什么结论 得到 不等式的两边都加上 或减去 同一个数 不等号的方向不变 提出问题 把 数 的范围扩大到整式可以吗 可以 因为整式的值就是实数 归纳总结 不等式的两边都加上 或减去 同一个整式 不等号的方向不变 不等式的基本性质 1 符号语言 如果 那么 ba cbca cbca 如果 那么 ba cbca cbca 问题 3 若不等式两边同乘以或除以同一个数 不等号的方向改变吗 如不等式 2b c 0 那么 ac bc 如果 a0 那么 acb c 0 那么 ac bc 如果 a b cbc 3 尝试练习 应用新知 1 如果 x 5 4 那么两边都 可得 x 1 2 在 7 8 的两边都加上 9 可得 3 在 5 2 的两边都减去 6 可得 4 在 3 4 的两边都乘以 7 可得 5 在 8 0 的两边都除以 8 可得 如果 a b 那么 1 a 3 b 3 不等式性质 2 2a 2b 不等式性质 3 3a 3b 不等式性质 4 a b 0 不等式性质 例题 例 根据不等式的基本性质 把下列不等式化成 x a 或 x a 的形式 1 x 5 1 2 2 x 3 解 1 根据不等式的性质 1 两边都加上 5 得 x 5 5 1 5 即 x 4 2 根据不等式的性质 3 两边都除以 2 得 即 x 2 3 练习 根据不等式的基本性质 把下列不等式化成 x a 或 x a 的形式 1 3x 5 4 4 x 3 x 4 总结反思 获得升华 让学生从知识方面 能力方面 思想方面进行总结 鼓励学生畅所欲言总结对本节课的收获与体会 一元一次不等式一元一次不等式 教案教案 教学目标教学目标 1 知道什么是一元一次不等式 2 会解一元一次不等式 教学重点教学重点 1 一元一次不等式的概念及判断 2 会解一元一次不等式 教学难点教学难点 当不等式的两边都乘以或除以同一个负数时 不等号的方向要改变 教学方法教学方法 通过具体实例让学生观察 归纳 发现解一元一次不等式的步骤 并针对常见错误进行指导 使他们在以 后的解题中能引起注意 自觉改正错误 教学过程教学过程 创设问题情境 引入新课 在前面我们学习了不等式的基本性质 不等式的解 不等式的解集 解不等式的内容 并且知道根据不等 式的基本性质 可以把一些不等式化成 x a 或 x a 的形式 那么 什么样的不等式才可以运用不 等式的基本性质而被化成 x a 或 x a 的形式呢 又需要哪些步骤呢 本节课我们将进行这方面的 研究 讲授新课 1 一元一次不等式的定义 已经学习过一元一次方程的定义 只含有一个未知数 未知数的指数是一次 这样的方程叫做一元一次方程 我们知道一元指的是一个未知数 一次指的是未知数的指数是一次 由此可以类推出 一元一次不等式的定义 只含有一个未知数 未知数的最高次数是一次 这样的不等式叫一元一次不等 式 下面我们判断一下 以下的不等式是不是一元一次不等式 下列不等式是一元一次不等式吗 1 2x 2 5 15 2 5 3x 240 3 x 4 4 x 1 1 1 2 3 中的不等式是一元一次不等式 4 不是 4 为什么不是呢 因为 x 在分母中 x 1 不是整式 从以上我们可以得出判断一元一次不等式的条件有三个 即未知数的个数 未知数的次数 且不等式的 两边都是整式 总结出一元一次不等式的定义 不等式的两边都是整式 只含有一个未知数 并且未知数的最高次数是 1 这样的不等式 叫做一元一次 不等式 2 一元一次不等式的解法 在前面我们接触过的不等式中 如 2x 2 5 15 5 3x 240 都可以通过不等式的基本性质化成 x a 或 x a 的形式 例 1 解不等式 3 x 2x 6 并把它的解集表示在数轴上 分析 要化成 x a 或 x a 的形式 首先要把不等式两边的 x 或常数项转移到同一侧 变成 ax b 或 ax b 的形式 再根据不等式的基本性质求得 解 两边都加上 x 得 3 x x 2x 6 x 合并同类项 得 3 3x 6 两边都加上 6 得 3 6 3x 6 6 合并同类项 得 3 3x 两边都除以 3 得 1 x 即 x 1 这个不等式的解集在数轴上表示如下 图 1 9 由此可知 移项法则在解不等式中同样适用 解一元一次方程的步骤有去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化成 1 仿照上面的步骤练习一下解一元一次不等式 例 2 判断以下解法是否正确 若不正确 请改正 解不等式 3 12 x 5 解 去分母 得 2x 1 15 移项 合并同类项 得 2x 16 两边同时除以 2 得 x 8 有两处错误 第一 在去分母时 两边同时乘以 3 根据不等式的基本性质 3 不等号的方向要改变 第二 在最后 一步 两边同时除以 2 时 不等号的方向也应改变 一元一次不等式一元一次不等式 教案教案 教学目标 教学目标 1 学会用语言描述一元一次不等式的概念 能理解不等式的解和解集的含义 2 会解一元一次不等式 能在数轴上表示不等式的解集 3 掌握解一元一次不等式的一般步骤和方法 教学重点 教学重点 一元一次不等式的解法 教学难点 教学难点 用数轴表示不等式的解集 教学内容 教学内容 一 创设情境 导入新课 问题 某厂试制一种新产品 成本费共 700 元 如果每个售价 2 元 要使利润达到 1000 元 该厂要售 出多少个新产品 迁移应用 某厂试制一种新产品 成本费共 700 元 如果每个售价 2 元 要使利润不低于 1000 元 该厂 至少要售出多少个新产品 二 类比探究 解读新知 类比一元一次方程的概念描述什么是一元一次不等式 定义 含有一个未知数 未知数的次数是 1 且不等式两边都是整式的不等式 叫做一元一次不等式 问题 若该厂卖出了 800 个新产品 能获得 1000 元的利润吗 若卖出 900 个 950 个 1000 个呢 引出一元一次不等式的解和解集的概念 定义 一般的 能够使不等式成立的未知数的值 叫做这个不等式的解 所有这些解的全体称为这个不 等式的解集 问题 如何求得一元一次不等式的解集呢 例 解不等式 2x 5 7 2 x 解 去括号 得 2x 5 14 7x 移项 得 2x 7x 14 5 合并同类项 得 9x 9 系数化成 1 得 x 1 不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来 介绍在数轴上表示的方法 三 变化应用 巩固新知 1 1 满足不等式 2x 3 5 的正整数解是 2 小红那了 10 元钱到商店买练习本和水笔 练习本每本 0 6 元 水笔每支 0 8 元 买了 6 支水笔 她最多还能买多少本练习本 2 k 为何值时 关于 x 的方程 2x 4k 5 的解是负数 3 小华在学完本节课后 在一本资料看到这样一道题 解不等式 但是 这个不等式中含有分母 是下节课要学的内容 但是小华略加思考 就 求出了这个不等式的解集 你能吗 一元一次方程一元一次方程 教案教案 教学目标教学目标 一 教学知识点 1 进一步巩固求一元一次不等式的解集 2 能利用一元一次不等式解决一些简单的实际问题 2 1 3 4xx 二 能力训练要求 通过学生独立思考 培养学生用数学知识解决实际问题的能力 教学重点教学重点 1 求一元一次不等式的解集 2 用数学知识去解决简单的实际问题 教学难点教学难点 能结合具体问题发现并提出数学问题 教学过程教学过程 提出问题 引入新课 我们学习了什么叫一元一次不等式 以及如何解一些简单的一元一次不等式 不等式的两边都是整式 只 含有一个未知数 且未知数的最高次数是一次 这样的不等式叫一元一次不等式 解一元一次不等式的一般步骤和解一元一次方程的一般步骤相似 大致有 1 去分母 2 去括号 3 移项 合并同类项 4 系数化成 1 在解不等式的过程中 注意的问题 在去分母和系数化成 1 这两步中 如果两边同时乘以或除以同一个负数 要注意改变不等号的方向 下面做一个练习检查一下 解不等式 x 15 x 7 5 1 2 1 3 1 解 去分母 得 6 x 15 15 10 x 7 去括号 得 6x 90 15 10 x 70 移项 合并同类项 得 16x 15 两边同除以 16 得 x 16 15 新课讲授 例 解下列不等式 并把它们的解集分别在数轴上表示出来 1 1 2 3 2 x 3 x 5 x 2 2 x 解 1 去分母 得 3x 2x 6 合并同类项 得 x 6 不等式的解集在数轴上表示如下 图 1 15 2 去分母 得 2x 30 5 x 2 去括号 得 2x 30 5x 10 移项 合并同类项 得 3x 20 两边都除以 3 得 x 3 20 不等式的解集在数轴上表示如下 活动与探究 x 取什么值时 代数式 2x 5 的值 1 大于 0 2 不大于 0 解 1 根据题意 得 2x 5 0 解得 x 2 5 所以当 x 时 2x 5 的值大于 0 2 5 2 根据题意 得 2x 5 0 解得 x 2 5 所以当 x 时 2x 5 的值不大于 0 2 5 例 一次环保知识竞赛共有 25 道题 规定答对一道题得 4 分 答错或不答一道题扣 1 分 在这次竞赛 中 小明被评为优秀 85 分或 85 分以上 小明至少答对了几道题 解 设小明答对了 x 道题 则他答错和不答的共有 25 x 道题 根据题意 得 4x 1 25 x 85 解这个不等式 得 x 22 所以 小明至少答对了 22 道题 他可能答对了 22 23 24 25 道题 依据列方程解应用题的过程 对照上面解不等式应用题的步骤 给出解一元一次不等式应用题的一般步 骤 第一步 审题 找不等关系 第二步 设未知数 用未知数表示有关代数式 第三步 列不等式 第四步 解不等式 第五步 根据实际情况写出答案 一元一次方程一元一次方程 教案教案 学习目标 学习目标 1 知道一元一次不等式的概念 2 会解一元一次不等式 学习重 难点 学习重 难点 一元一次不等式的解法 学习过程 学习过程 一 学前准备 观察下列含有未知数的不等式 它们有什么共同点 1 x 2 2 3y 1 25 5 3 2 3 x 3 32 x 二 进入主题 一元一次不等式的定义和解法 1 不等式的左右两边都是整式 只含有一个未知数 并且未知数的最高次数是 1 这样的不等式叫一 元一次不等式 其标准形式 ax b 0 或 ax b 0 ax b 0 或 ax b 0 a 0 2 解一元一次不等式的一般步骤 例 解不等式1 3 13 2 1 xx 解 去分母 得 不要漏乘哦 每一项都得乘 6 13 2 1 3 xx 去括号 得 注意符号 不要漏乘 62633 xx 移 项 得 移项要变号 32663 xx 合并同类项 得 计算要正确 73 x 系数化为 1 得 同除负 不等号方向要改变 分子分母别颠倒了 3 7 x 3 根据实际问题列不等式并求解 主要有以下环节 审题 找出不等关系 设未知数 列出不等式 求出不等式的解集 找出符合题意的值 作答 4 不等式的解集在实数轴上的表示 例题 1 解不等式 3x 26 8 并把它的解集在数轴上表示出来 2 解不等式 并把它的解集在数轴上表示出来 1 3 5 2 3 xx 三 规律总结 在解不等式时 应注意以下问题 1 两边同时乘以一个数时 不能漏乘一些项 2 分数线有括号的作用 去分母时 应用括号将分子上的多项式括起来 3 系数化为 1 时 若两边乘 或除以 同一个负数 则不等号的方向要改变 4 在数轴上表示不等式解集时要注意 实心点 与 空心圈 的区别 挑战自我 已知适合不等式的 x 的值是正数 你能确定实数 a 的范围吗 2 1 3 2xax 跟踪练习 解下列不等式 3 x 4 2 x 1 3 2 x 1 4 2x3 一元一次不等式组一元一次不等式组 教案教案 教学目标教学目标 1 了解一元一次不等式组及其解集的概念 2 会利用数轴求不等式组的解集 教学重难点教学重难点 重点 不等式组的解法及其步骤 难点 确定两个不等式解集的公共部分 教学过程教学过程 一 复习引入 一元一次不等式的解法我们已经全部讲完 现在复习一下前面的内容 1 不等式的三个基本性质是什么 2 一元一次不等式的解法是怎样的 3 解一元一次不等式 1 49xx 3x 2 2 1xx 1x 二 讲授新知 问题 用每分钟可抽 30 吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水 估计积存的污水不少于 1200 吨且不 超过 1500 吨 那么大约多少时间能将污水抽完 题中一共有两种数量关系 讲解时应注意引导学生自主探究发现 解 设需要x分钟才能将污水抽完 那么总的抽水量为30 x吨 由题可知 301200 x 301500 x 题中的x应同时满足两个不等式 从而引出一元一次不等式组的概念 把两个一元一次不等式合在一起 就得到一个一元一次不等式组 301200 301500 x x 解之 得 40 50 x x 同时满足两个不等式的未知数 既是两个不等式解集的公共部分 要找出公共部分 就要利用数轴 在 此要引导学生重视数轴的作用 并指导学生在数轴如何观察数轴上对应解集的范围 01020304050 记着40 50 x 引导发现 此就是不等式组的解集 不等式解集的概念 不等式组中的几个不等式解集的公共部分 由此 教师可以引导学生自己总结出解一 元一次不等式组的一般步骤 学生回答后教师总结步骤 分别求出每个不等式的解集 找出它们的公共部 分 三 例题讲解 完整的解一元一次不等式组 例 解不等式组 1 3121 28 xx x 2 2311 25 12 3 xx x x 以上两个例题第一个有解 第二个无解 第一个例题教师可以让学生先解完再给出解题过程 本例是按 规范格式完整地解答了一个一元一次不等式组 要求学生做作业时按此格式书写 第二个不等式组的解法 中 学生会先求出两个不等式的解集 再在数轴上表示出每个不等式的解集 如果每个不等式的解集有 公共部分 就是该不等式组的解 公共部分就是它的解集 如果每个不等式的解集没有公共部分 就说 该不等式组无解 解 1 解不等式 得 2x 解不等式 得 4x 把不等式 和 的解集在数轴上表示出来 012345 则原不等式的解集为 4x 2 解不等式 得 8x 解不等式 得 4 1 x 把不等式 和 的解集在数轴上表示出来 0246810 在这里没有公共部分 即无解 四 课堂练习 解下列不等式组 并把他们在数轴上表示出来 1 10 251 x x 2 591 10 x x 3 210 40 x x 4 30 470 x x 五 总结升华 设 a b 是已知实数且 a b 那么不等式组 表一 不等式组解集 不等式组数轴表示解集 即公共部分 xa xb ba xa xa xb ba xb xa xb ba bxa xa xb ba 无 解 这个表格教师应尽量引导学生自主探究完成 教师最后做出总结 皆大取大 皆小取小 大小小大取中 间 大大小小是无解 六 强化训练 1 关于x的不等式组 8x xm 有解 那么m的取值范围是 A 8m B 8m C 8m D 8m 2 如果不等式组 xa xb 的解集是x a 则a b 3 已知关于x的不等式组 521 0 x xa 无解 求a的取值范围 一元一次不等式组一元一次不等式组 教案教案 教学目标教学目标 了解一元一次不等式组的定义 会解一元一次不等式组 教学重 难点 教学重 难点 实际应用问题列一元一次不等式组 并求解 教学过程 教学过程 一 课前预习与导学 1 由几个含有 的 不等式组成不等式组叫做一元一次不等式组 2 不等式组中所有不等式的解集的 叫做这个不等式组的解集 3 求不等式组的 的过程 叫做解不等式组 4 解一元一次不等式组的两个步骤 1 求出这个不等式组中各个 2 利用 求出这些不等式的解集的公共部分 即求出这个不等式组的 5 1 不等式组的解集是 2 不等式组的解集 x 2 x 1 x 1 x 2 3 不等式组的解集是 4 不等式组解集是 x 4 x 1 x 5 x 4 二 新课 一 情境创设 1 什么叫做一元一次不等式 解一元一次不等式的一般步骤是什么 2 问题的提出 1 用每分钟可抽 30 吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水 估计积存的污水在 1200 吨到 1500 吨 之间 那么大约需要多少时间能将污水抽完 2 某种杜鹃花适宜生长在平均气温为 17 20 的山区 已知这一地区海拔每上升 100m 气温下降 0 6 现测出山脚下的平均气温是 23 估计适宜种植这种杜鹃花的山坡的高度 二 探索新知 1 问题的分析 问 求解应用题时 在很多情况下 我们可以将某些适当的量设为未知数 此题中我们如何来设元呢 总的抽水量可表示成什么形式 依据题中的条件 你能列出什么子 2 概念与方法 不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集 求不等式组解集的过程叫做解不等式组 方法 解一元一次不等式组 通常可以先分别求出不等式中每一个不等式的解集 再求出它们的公共部 分 利用数轴可以直观地帮助我们求出不等式组的解集 三 例题讲解 例 解不等式组 2x 1 1 3 x 1 解不等式组 四 课堂小结 一元一次不等式组解集四种类型如下表 不等式组 a b 数轴表示解 集记忆口诀 1 x a x b x b同大取大 2 x a x b x a同小取小 3 x a x b a x b大小取中 a b a b a b a b 4 x a x b 无解矛盾无解 反馈练习 1 1 不等式组的解集是 2 不等式组的解是 x 3 x 0 x 2 x 4 3 不等式组的解集是 4 不等式组的解是 x 2 x 3 x 1 x 1 2 解不等式组 3x 1 2x 1 2x 8 一元一次方程组一元一次方程组 教案教案 教学目标 教学目标 归纳出同时符合几不同条件的不等式的公共范围 即不等式组的解集 理解不等式组的公共解集 教学重点 教学重点 一元一次不等式组的解法 教学难点 教学难点 在数轴上找公共部分 确定不等式组的解集 教学过程 教学过程 一 提出问题 引发讨论 问题 现有两根木条 a 和 b a 长 10cm b 长 3cm 如果再找一根木条 用这三根木条钉成一个三角形木 框 那么对第三根木条的长度有何要求 设第三根木条长度为 xcm 则由 三角形两边之和大于第三边 得 x10 3 第三根木条长度 xcm 同时满足以上两个不等式 而实际生活中一个量需要同时满足几个不等式的例子还 很多 如何解决这样的问题呢 这节课我们来探究这一类问题问题的解决方法 二 师生互动 探索新知 1 类比方程组 方程组的解的概念得出一元一次不等式组 一元一次不等式解集的概念 得出上一次不等等式组的概念 类比方程组的概念 几个不等式的解集的公共部分 叫做由它们所组成的不等式组的解集 解不等式组 就是求它的解集 画数轴表示不等式组解集 7 x 13 2 例题讲解 例 解下列不等式组 并把解集在数轴上表示出来 1 3150 728 x xx 2 2111 31 1 2 x x x 3 224 315 x x 4 1 24 343 xx x 由四名学生演板 其它学生在下面练习 最后师生共同规范订正 解 1 由 得 x 5 由 得 x 2 在数轴上表示为如图 52 2 143 6 10 它们的公共部分为 x 5 故不等式组的解集为 x 5 2 由不等式 得 x 6 由不等式 得 x 1 在数轴上表示为如图 52 2 143 6 10 它们的公共部分为 1 x 6 即为不等式组的解集 3 由不等式 得 x 1 由不等式 得 x 2 在数轴上表示为如图 52 2 143 6 10 它们没有公共部分 故此不等式组无解 4 由不等式 得 x 3 由不等式 得 x 7 3 在数轴上表示为如图 7 3 30 4 31 4 1 2 它们的公共部分是 xb 当 xa xb 时 则不等式的公共解集为 x a 当 xa xb 时 不等式的公共解集为 b x a 当 xa xb 时 不等式的公共解集为 xn 则这是什么运算呢 同底数 m n a a 的除法 这节课我们学习 同底数的除法 二 合作交流 探究新知 同底数幂的除法法则 mnm n m n nn aaa a aa 你能用语言表达同底数幂的除法法则吗 同底数幂相除 底数不变 指数相减 还有什么样的性质呢 任何一个不等于零的数的零次幂都等于 1 任何一个不等于零的倒数的 p p 是正数 次幂 等于这个数的 p 次幂的倒数 例 1 计算 1 95 821 4251 2 3 4 n n xx yxy xy xx y n 是正整数 例 2 计算 1 5 3 x x 2 4 3 x x 例 3 计算 1 3 46 xx 2 2 21 3 n n n bb aa 三 应用迁移 巩固提高 例 4 已知 4 316 218 nn A mm 则 A 2 16492 551212 nnnn ABCD mmmm 例 5 计算机硬盘的容量单位 KB MB GB 的换算关系 近视地表示成 1KB 1000B 1MB 1000KB 1GB 1000MB 硬盘总容量为 40GB 的计算机 大约能容纳多少字节 1 个汉字占 2 个字节 一本 10 万字的书占多少字节 硬盘总容量为 40GB 的计算机 能容纳多少本 10 万字的书 一本 10 万字的书约高 1cm 如果把 3 小题中的书一本一本往上放 能堆多高 与珠穆朗玛峰的高 度进行比较 练一练 1 已知 2 3 xy aa 求 32xy a 的值 2 计算 343 xyyxyxxy 幂的乘方与积的乘方幂的乘方与积的乘方 教案教案 教学目标教学目标 会推导幂的乘方和积的乘方法则 并还能运用幂的乘方和积的乘方性质进行有关计算 教学重难点教学重难点 幂的乘方和积的乘方法则的理解和应用 教学过程教学过程 幂的乘方 一 复习 1 学生叙述同底数幂的乘法运算法则 并用字母表示 2 mn a a m n a m n 都是正整数 用语言叙述为 同底数幂相乘 底数不变 指数相加 3 复习练习 1 2 10 4 10 2 n 1 a n 1 a 3 n 2 n 2 4 2 x 2 x 2 x 2 x 二 知识准备 1 一个正方体的棱长是 10cm 则它的体积是多少 3 10 10 10 10 2 一个正方体的棱长是 2 10 cm 则它的体积是多少 3 100 个 4 10 相乘怎么表示 又该怎么计算呢 4 100 10 4 10 4 10 4 10 100 个 4 10 4 猜一猜 100 m a m a m a m a 乘方的意义 mmm a 同底数幂的乘法法则 100m a 乘法的意义 三 新授 1 猜一猜 mn a mn a m n 为正整数 推导 mn a m a m a m a n 个 m a mmm a n 个 m mn a 结论 幂的乘方的运算法则 mn a mn a m n 为正整数 用语言叙述 幂的乘方 底数不变 指数相乘 2 练习 1 103 5 2 2 4 a 3 2 m a 4 3 4 x 积的乘方 一 情境引入 计算 1 x4 4 2 a a5 3 x x 46 二 探索新知 活动 参考 2a 的计算 说出每一步的根据 再计算 ab n 32 1 2a 2 2a 2a 2 2 a 2a 2a 33333 2 ab 2 ab 3 ab 3 ab 4 归纳总结得出结论 ab n 个 个 个 abababa a aab b bb ab n 是正整数 用语言叙积的乘方法则 同理得到 abc n n 是正整数 三 范例学习 例 1 计算 1 2b 3 2 5a 3 3 x y3 2 4 3x 4 例 2 计算 1 8 0 125 20042005 四 小试牛刀 计算下列各式 1 3 5 3 5 2 a b a b 3332 五 课堂小结 积的乘方 等于 用公式表示 ab n n 为正整数 单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘 教案教案 教学目标 教学目标 掌握单项式与单项式相乘法则 会计算 教学重难点 教学重难点 重点 对单项式运算法则的理解和应用 难点 尝试与探索单项式与单项式的乘法运算规律 教学过程 教学过程 互动交流 知识回顾 a 23 n a 2 a 2 2 3a 2 b 3 3 背景材料 问题引入 小红的爸爸承包了一片荒山 准备栽种苹果树 爸爸告诉小红 横向可以种 25a 棵苹果树 纵向可以种 15a 棵苹果树 帮小红的爸爸算一算需要多少棵苹果树苗可以栽满荒山 亲自实践 试一试 计算 2x3 5x 2 例题解析 例 1 计算 1 3x 2 y 2xy 3 2 5a 2 b 3 4b2 c 概括总结 单项式和单项式相乘 只要将它们的系数 相同字母的幂分别相乘 对于只在一个单项式中出现的字母 则连同它的指数一起作为积的一个因式 巩固练习 1 3a 2 2a 3 2 9a 2 b 3 8ab2 3 3a 2 3 2a3 2 4 3xy 2 z x 2 y 2 应用举例 例 2 卫星绕地球运动的速度 即第一宇宙速度 约为 7 9 10 3米 秒 则卫星运行 3 102 秒所走的路程 约是多少 创设情景 加深理解 讨论 a a 可以看作是边长为 a 的正方形的面积 a ab 又怎么理解呢 你能说出 a b 3a 2a 以及 3a 5ab 的几何意义吗 随堂练习 巩固新知 1 光速约为 3 10 8 米 秒 太阳光射到地球上的时间约为 5 10 2 秒 则地球与太阳的距离约是多少 2 小明的步长为 a 厘米 他量得一间屋子的长为 15 步 宽为 14 步 这间屋子的面积有多少平方米 单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘 教案教案 教学目标教学目标 掌握单项式与多项式的乘法运算法则 会进行简单的整式乘法运算 重 难点与关键重 难点与关键 1 重点 单项式与多项式相乘的法则 2 难点 整式乘法法则的推导与应用 3 关键 应用乘法分配律把单项式与多项式相乘转化到单项式与单项式相乘上来 注意知识迁移 教学过程教学过程 一 回顾交流 课堂演练 1 口述单项式乘以单项式法则 2 口述乘法分配律 3 课堂演练 计算 1 5x 3x 2 2 3x x 3 xy xy 2 3 1 3 2 4 5m 2 3 1 mn 5 5 1 x 2 y 4 2x 2 y 2 1 x 2 y 2 二 创设情境 引入新课 小明作了一幅水彩画 所用纸的大小如图 1 她在纸的左右两边各留了 6 1 a 米的空白 请同学们列出这幅 画的画面面积是多少 学生活动 小组合作 讨论 情境问题 夏天将要来临 有 3 家超市以相同价格 n 单位 元 台 销售 A 牌空调 他们在一年内的 销售量 单位 台 分别是 x y z 请你采用不同的方法计算他们在这一年内销售这种空调的总收入 学生活动 分四人小组 与同伴交流 寻求不同的表示方法 方法一 首先计算出这三家超市销售 A 牌空调的总量 单位 台 再计算出总的收入 单位 元 即 n x y z 方法二 采用分别计算出三家超市销售 A 牌空调的收入 然后再计算出他们的总收入 单位 元 总结规律 单项式与多项式相乘 就是用单项式去乘多项式中的每一项 再把所得的积相加 三 范例学习 应用所学 例 1 计算 2a 2 3ab 2 5ab 3 解 原式 2a 2 3ab 2 2a 2 5ab 3 6a 3 b 2 10a 3 b 3 例 2 化简 3x 2 1 3xy y2 10 x x2y xy2 解 原式 x 3 y 3x 2 y 2 10 x 3 y 10 x 2 y 2 11x 3 y 13x 2 y 2 例 3 解方程 8x 5 x 19 2x 4x 3 40 x 8x 2 19 8x 2 6x 40 x 6x 19 34x 19 x 19 34 四 随堂练习 巩固深化 计算 1 5x 2 2x 2 3x 3 8 2 16x x 2 3y 3 2a 2 1 2 ab 3 b 3 4 2 3x2y3 16xy 1 2 xy 2 五 课堂总结 发展潜能 1 单项式与多项式相乘法则 单项式与多项式相乘 就是用单项式去乘多项式的每一项 再把所得的积 相加 2 单项式与多项式相乘 应注意 1 不漏乘 2 注意 符号 多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘 教案教案 教学目标教学目标 理解多项式乘以多项式的运算法则 能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算 重 难点与关键重 难点与关键 1 重点 多项式与多项式的乘法法则的理解及应用 2 难点 多项式与多项式的乘法法则的应用 3 关键 多项式的乘法应先转化为单项式与多项式相乘而后再应用已学过的运算法则解决 教学过程教学过程 一 创设情境 操作感知 动手操作 首先 在硬纸板上用直尺画出一个矩形 并且分成如下图所示的四部分 标上字母 拿出准备好的硬纸板 画出上图 1 并标上字母 根据图中的数据 求一下这个矩形的面积 计算出它的面积为 m b n a 将纸板上的矩形沿你所画竖着的线段将它剪开 分成如下图两部分 如下图 剪开之后 分别求一下这 两部分的面积 再求一下它们的和 求出第一块的面积为 m n a 第二块的面积为 b n a 它们的和为 m n a b n a 继续沿着横的线段剪开 将图形分成四部分 如图 3 然后再求这四块长方形的面积 求出 S1 mn S2 nb S3 am S4 ab 它们的和为 S mn nb am ab 依据上面的操作 求得的图形面积 探索 m b n a 应该等于什么 m b n a m n a b n a mn nb am ab 因为我们三次计算是按照不同的方法对同一个 矩形的面积进行了计算 那么 两次的计算结果应该是相同的 所以 m b n a m n a b n a mn nb am ab 多项式与多项式相乘 用第一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项 再把所得的结果相加 二 范例学习 应用所学 例 1 计算 1 x 2 x 3 2 3x 1 2x 1 例 2 计算 1 x 3y x 7y 2 2x 5y 3x 2y 探究时空 一块长 m 米 宽 n 米的玻璃 长宽各裁掉 a 米后恰好能铺盖一张办公桌台面 玻璃与台面一样大小 问 台面面积是多少 四 课堂总结 发展潜能 1 多项式与多项式相乘 应充分结合导图中的问题来理解多项式与多项式相乘的结果 利用乘法分配律 来理解 m n 与 a b 相乘的结果 导出多项式乘法的法则 2 多项式与多项式相乘 第一步要先进行整理 在用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项时 要 依次 进行 不重复 不遗漏 且各个多项式中的项不能自乘 多项式是几个单项式的和 每一项 都包括前面的符号 在计算时要正确确定积中各项的符号 完全平方公式与平方差公式完全平方公式与平方差公式 教案教案 教学目标 教学目标 1 学会推导完全平方公式和平方差公式 2 了解公式的几何背景 会用公式进行简单计算 教学重点 教学重点 对公式的理解 教学难点 教学难点 1 对完全平方公式和平方差公式的运用 2 对公式中字母所表示的广泛含义的理解和正确运用 教学过程 教学过程 完全平方公式 一 导入新课 请同学们回忆多项式乘法法则并用多项式的乘法法则计算 a b 2 a b 2 说明 乘法公式实际是几个特殊形式的多项式乘法结果 让学生知道公式的来历 多项式乘法法则 多项式与多项式相乘 先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘 再把 所得的积相加 二 新课讲解 总结 上述两个公式可以直接用于计算 我们把 和 称为完全平方公式 思考 你能用语言表述这两个公式吗 语言叙述 完全平方公式的语言叙述 两个数的和 或差 的平方 等于这两个数的平方和加 或减 这两个数乘 积的 2 倍 平方差公式语言叙述 两个数的和与这两个数差的积 等于这两个数的平方差 几何意义 应用举例 例 利用乘法公式计算 1 2x y 2 2 3a 2b 2 字母 a b 可以是数字 也可以是整式 三 课堂练习 计算 1 3x 1 2 2 a 3b 2 3 2x y 2 2 4 2x 3y 2 平方差公式 一 探究平方差公式 计算下列多项式的积 1 x 1 x 1 2 m 2 m 2 3 2x 1 2x 1 4 x 5y x 5y 观察上述算式 你发现什么规律 运算出结果后 你又发现什么规律 分别用文字语言和符号语言叙述 这个公式 用字母表示 二 平方差公式的应用 例 运用平方差公式计算 1 3x 2 3x 2 2 b 2a 2a b 3 x 2y x 2y 1 中可以把 3x 看作 a 2 看作 b 即 3x 2 3x 2 3x 2 22 a b a b a2 b2 同样的方法可以完成 2 3 如果形式上不符合公式特征 可以做一些简单的转化工作 使它符合平 方差公式的特征 比如 2 应先作如下转化 如果转化后还不能符合公式特征 则应考虑多项式的乘法法则 例 计算 1 102 98 2 y 2 y 2 y 1 y 5 应注意以下几点 1 公式中的字母 a b 可以表示数 也可以是表示数的单项式 多项式即整式 2 要符合公式的结构特征才能运用平方差公式 3 有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式 但通过加法或乘法的交换律 结合律适当变形 实质上能应用公式 4 运算的最后结果应该是最简 巩固练习 下列计算对不对 如不对 应当怎样改正 1 x 2 x 2 x2 2 2 3a 2 3a 2 9a2 4 完全平方公式与平方差公式完全平方公式与平方差公式 教案教案 教学目标教学目标 经历探索平方差公式的过程 进一步发展学生的符号感和推理能力 归纳能力 会推导平方差公式并掌握公式的结构特征 能运用公式进行简单的计算 了解平方差公式的几何背景 体会数形结合的思想方法 教学重点与难点教学重点与难点 重点 平方差公式的推导及应用 难点 用公式的结构特征判断题目能否使用公式 教学设计教学设计 一 引入探究 计算下列多项式的积 你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗 1 x 1 x 1 2 m 2 m 2 3 2x 1 2x 1 再举几个这样的运算例子 我们再来计算 a b a b 二 授课内容 公式的推导既是对上述特例的概括 更是从特殊到一般的归纳证明 在此应注意向学生渗透数学的思想 方法 特例 归纳 猜想 验证 用数学符号表示 平方差公式及其形式特征 运用平方差公式计算 1 3x 2 3x 2 2 b 2a 2a b 3 x 2y x 2y 填表 a b a b aba2 b2最后结果 3x 2 3x 2 2 3x 2 22 b 2a 2a b x 2y x 2y 在给出表格所提示的解法之后 思考别的解法 提取后一个因式里的负号 将 2y 看作 a 将 x 看作 b 然后运用平方差公式计算 例 计算 1 102 98 2 y 2 y 2 y 1 y 5 你能根据下面的两个图形解释平方差公式吗 完全平方公式与平方差公式完全平方公式与平方差公式 教案教案 教学目标 教学目标 掌握完全平方公式和平方差公式以及图形表示 教学重难点 教学重难点 会利用完全平方公式和平方差公式进行计算 教学过程 教学过程 完全平方公式完全平方公式 复习回顾 1 多项式与多项式的乘法法则 2 计算 1 a b a b 2 a b a b 探索新知 一 完全平方式 1 a b 2等于什么 你能用多项式与多项式相乘法则说明理由吗 a b 2呢 由此导出两个公式 a b 2 a b 2 公式 称为完全平方公式 注 乘法公式实际是几个特殊形式的多项式乘法结果 掌握这些公式 在遇到形式相同的多项式相乘 时 就可以直接写出结果 从而省略了乘法运算的过程 达到简化运算的目的 乘法公式的应用非常广泛 除了要掌握公式的特征 防止用错公式外 还要理解公式中字母的广泛意 义 2 完全平方公式的几何背景 你能用课本 P68 图 1 2 中图形面积割补的方法 分别说明两个完全平方公式吗 与同伴交流 图 1 中大正方形的面积等于两个小正方形的面积的和再加上两个矩形的面积之和 图 2 中阴影 深色的正方形 面积等于大正方形的面积减去两个矩形面积 再加上重复减去的小正方 形面积 3 范例讲解 例 1 利用乘法公式计算 1 3a 2b 2 2 4x2 1 2 解 1 3a 2b 2 3a 2 2 3a 2b 2b 2 a b 2 a2 2 a b b2 2 4x2 1 2 4x2 2 2 4x2 1 12 a b 2 a2 2 a b b2 16x4 8x2 1 本题也可以把原式变形为 4x2 1 2 4x2 1 2 解法二 4x2 1 2 4x2 1 2 4x2 2 2 4x2 1 12 16x4 8x2 1 点拔 运用完全平方公式的关键在于准确地确定公式中的 a 和 b 首先把原式写成符合公式的结构 然后 再运用公式 例如 a b 2 b a 2 a b 2 a b 2 a b c 2 a b c 2 或 a b c 例 2 利用乘法公式计算 1 992 2 50 4 1 2 分析 要利用完全平方公式 需具备完全平方公式的结构 1 992转化为 100 1 2 2 题转化为 50 4 1 2 二 平方差公式 1 做一做 1 x 1 x 1 2 a 2 a 2 3 3x 2 3x 2 4 a b a b 观察以上算式及运算结果 你发现了什么 再举两例验证你的发现 点拔 以上每个算式都是两个数的和与这两个数的差相乘 等于这两个数的平方差 我们把这样特殊形 式的多项式相乘 作为乘法公式 今后可以直接使用 a b a b 叫做平方差公式 用语文叙述为 两个数的 与这两个数的 相乘 等于这两个数的 注 1 认识公式的结构特征 要符合公式的结构特征才能运用平方差公式 2 公式中