三次函数与盛金公式

三次函数与盛金公式三次函数与盛金公式 定义 形如 为常数 的函数叫做三次函数 三次函dcxbxaxy 23 dcba 0 数的图象是一条曲线 回归式抛物线 不同于普通抛物线 1 盛金公式 盛金公式 一元三次方程 0 23 dcxbxax为常数 dcba 0 1 重根判别式 acbA3 2 adbcB9 bdcC3 2 总判别式 ACB4 2 盛金公式 当 A B 0 时 c d b c a b xxx 3 3 321 当时 盛金公式 04 2 ACB a yyb x 3 3 2 3 1 1 a iyyyyb x 6 3 3 2 3 1 3 2 3 1 3 2 其中 1 2 4 3 2 2 2 1 i ACBB aAby 当时 盛金公式 04 2 ACB 0 2 321 A A B K K xxK a b x 当时 盛金公式 04 2 ACB a Ab x 3 3 cos2 1 a Ab xx 3 3 sin3 3 cos 32 其中 A 0 1 T 1 3 2 32 arccos A aBAb TT 2 盛金判别法盛金判别法 当 A B 0 时 方程有一个三重实根 当时 方程有一个实根和一对共轭虚根 04 2 ACB 当时 方程有三个实根 其中有一个两重根 04 2 ACB 当时 方程有三个不相等的实根 04 2 ACB 3 盛金定理盛金定理 当 b 0 c 0 时 盛金公式 无意义 当 A 0 时 盛金公式 无意义 当 A 0 时 盛 金公式 无意义 当 T 1 或 T 1 时 盛金公式 无意义 当 b 0 c 0 时 盛金公式 是否成立 盛金公式 与盛金公式 是否存在 A 0 的值 盛金公式 是否存在 T 1 或 T 1 的值 盛金定理给出如下回答 盛金定理 1 当 A B 0 时 若 b 0 则必定有 c d 0 此时 方程有一个三重实根 0 盛金公式 仍成立 盛金定理 2 当 A B 0 时 若 b 0 则必定有 c 0 此时 适用盛金公式 解题 盛金定理 3 当 A B 0 时 则必定有 C 0 此时 适用盛金公式 解题 盛金定理 4 当 A 0 时 若 B 0 则必定有 0 此时 适用盛金公式 解题 盛金定理 5 当 A 0 时 则必定有 0 此时 适用盛金公式 解题 盛金定理 6 当 0 时 若 A 0 则必定有 B 0 此时 适用盛金公式 解题 盛金定理 7 当 0 时 若 B 0 盛金公式 一定不存在 A 0 的值 此时 适用盛金 公式 解题 盛金定理 8 当 0 时 盛金公式 一定不存在 A 0 的值 此时 适用盛金公式 解题 盛金定理 9 当 0 时 盛金公式 一定不存在 T 1 或 T 1 的值 即 T 出现的值必 定是 1 T 1 显然 当 A 0 时 都有相应的盛金公式解题 注意 盛金定理逆之不一定成立 如 当 0 时 不一定有 A 0 盛金定理表明 盛金公式始终保持有意义 任意实系数的一元三次方程都可以运用盛 金公式直观求解 当 0 d 0 时 使用卡尔丹公式解题仍存在开立方 与卡尔丹公式相比较 盛金公式 的表达形式较简明 使用盛金公式解题较直观 效率较高 盛金判别法判别方程的解较直 观 重根判别式 是最简明的式子 由acbA3 2 adbcB9 bdcC3 2 A B C 构成的总判别式也是最简明的式子 是非常美妙的式子 其形ACB4 2 状与一元二次方程的根的判别式相同 盛金公式 中的式子具有一元二 2 2 4 2 ACB B 次方程求根公式的形式 这些表达形式体现了数学的有序 对称 和谐与简洁美 4 传统解法传统解法 卡尔丹公式法 此外 一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的 用类似解一元二次 方程的求根公式的配方法只能将型如的标准型一元三次方程形式化0 23 dcxbxax 为的特殊型 0 3 qpxx 一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到 即根据一元一次方程 一元二 次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式 归纳 出来的形如的一元三次方程的求根公式的形式应该为型 0 3 qpxx 33 BAx 即为两个开立方之和 归纳出了一元三次方程求根公式的形式 下一步的工作就是求出开 立方里面的内容 也就是用 p 和 q 表示 A 和 B 方法如下 1 将两边同时立方可以得到 33 BAx 2 3 3333 BAABBAx 3 由于 所以 2 可化为 移项可得 33 BAx xABBAx 33 3 4 和一元三次方程特殊型作比较 可知 0 33 3 BAxABx0 3 qpxx 5 化简得 33BAqABp 6 3 3 P ABqBA 7 这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题 因为 A 和 B 可以看作是一元二次方程的两个根 而 6 则是关于形如的一元二0 2 cbyay 次方程两个根的韦达定理 即 8 a c yy a b yy 2121 9 对比 6 和 8 可令 a cp a b qyByA 3 21 3 10 由于型为的一元二次方程求根公式为 0 2 cbyay a acbb y 2 4 2 1 a acbb y 2 4 2 1 可化为 11 a c a b a b y 2 1 22a c a b a b y 2 2 22 将 9 中的代入 11 可得 a cp a b qyByA 3 21 3 12 32 322 pqq A 32 322 pqq B 13 将 A B 代入得 33 BAx 14 3 32 3 32 322322 pqqpqq x 式 14 只是一元三方程的一个实根解 按韦达定理一元三次方程应该有三个根 不过按韦 达定理一元三次方程只要求出了其中一个根 另两