高中数学课堂笔记--必修5

第 1 页 共 9 页 必修必修 5 5 知识点总结知识点总结 1 正弦定理 在中 分别为角 的对边 为的外接圆的半径 则有C A abcA CRC A 2 sinsinsin abc R C A 2 正弦定理的变形公式 2 sinaR A2 sinbR 2 sincRC sin 2 a R A sin 2 b R sin 2 c C R sin sin sina b cC A sinsinsinsinsinsin abcabc CC A A 正弦定理用来解决两类问题 正弦定理用来解决两类问题 1 1 已知两边和其中一边所对的角 求其余的量 已知两边和其中一边所对的角 求其余的量 2 2 已知两角和一边 求其余的量 已知两角和一边 求其余的量 对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况 一解 两解 无解三中情况 如 在三角形 ABC 中 已知 a b A A 为锐角 求 B 具体的做法是 数形结合思想 画出图 法一 把 a 扰着 C 点旋转 看所得轨迹以 AD 有无交点 当无交点则 B 无解 当有一个交点则 B 有一解 当有两个交点则 B 有两个解 法二 是算出 CD bsinA 看 a 的情况 当 a bsinA 则 B 无解 当 bsinAb 时 B 有一解 注 当 A 为钝角或是直角时以此类推既可 3 三角形面积公式 111 sinsinsin 222 C SbcabCac A A 4 余弦定理 在中 有 C A 222 2cosabcbc A 222 2cosbacac 222 2coscababC 5 余弦定理的推论 222 cos 2 bca bc A 222 cos 2 acb ac 222 cos 2 abc C ab 余弦定理主要解决的问题 余弦定理主要解决的问题 1 1 已知两边和夹角 求其余的量 已知两边和夹角 求其余的量 2 2 已知三边求角 已知三边求角 6 如何判断三角形的形状 设 是的角 的对边 则 若 则 abcC A A C 222 abc 90C 若 则 若 则 222 abc 90C 222 abc 90C 附 三角形的五个 心 重心 三角形三条中线交点 外心 三角形三边垂直平分线相交于一点 内心 三角形三内角的平分线相交于一点 垂心 三角形三边上的高相交于一点 7 数列 按照一定顺序排列着的一列数 8 数列的项 数列中的每一个数 9 有穷数列 项数有限的数列 10 无穷数列 项数无限的数列 11 递增数列 从第 2 项起 每一项都不小于它的前一项的数列 即 an 1 an 12 递减数列 从第 2 项起 每一项都不大于它的前一项的数列 即 an 10 d 0 时 满足 0 0 1m m a a 的项数 m 使得 m s取最大值 2 当 1 a0 时 满足 0 0 1m m a a 的项数 m 使得 m s取最小值 在解含绝对值的数列最值问题时 注意转化思想的应用 附 数列求和的常用方法数列求和的常用方法 1 公式法 适用于等差 等比数列或可转化为等差 等比数列的数列 2 裂项相消法 适用于 1nna a c 其中 n a 是各项不为 0 的等差数列 c 为常数 部分无理数列 含阶乘的数列等 例题 已知数列 an 的通项为 an 求这个数列的前 n 项和 Sn 1 1 n n 解 观察后发现 an 11 1nn 12 11111 1 2231 1 1 1 nn saaa nn n 3 错位相减法 适用于 nnb a其中 n a 是等差数列 n b是各项不为 0 的等比数列 例题 已知数列 an 的通项公式为 求这个数列的前 n 项之和 2n n an n s 解 由题设得 123nn saaaa 123 1 22 23 22nn 即 n s 123 1 22 23 22nn 把 式两边同乘 2 后得 2 n s 2341 1 22 23 22nn 用 即 n s 123 1 22 23 22nn 得2 n s 2341 1 22 23 22nn 231 1 11 1 1 22222 2 1 2 2 1 2 222 1 22 nn n n n nn n sn n n n 1 1 22 n n sn 4 倒序相加法 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法 5 常用结论 1 1 2 3 n 2 1 nn 2 1 3 5 2n 1 2 n 3 2 333 1 2 1 21 nnn 第 5 页 共 9 页 4 12 1 6 1 321 2222 nnnn 5 1 11 1 1 nnnn 2 11 2 1 2 1 nnnn 6 11 11 qp qppqpq 31 0abab 0abab 0abab 32 不等式的性质 abba ab bcac abacbc 0ab cacbc 0ab cacbc ab cdacbd 0 0abcdacbd 0 1 nn ababnn 0 1 nn abab nn 33 一元二次不等式 只含有一个未知数 并且未知数的最高次数是的不等式 2 34 含绝对值不等式 一元二次不等式的解法及延伸 1 1 整式不等式 高次不等式 的解法整式不等式 高次不等式 的解法 穿根法穿根法 零点分段法 求解不等式 0 0 0 0 2 2 1 10 aaxaxaxa n nnn 解法 将不等式化为 a0 x x1 x x2 x xm 0 0 则找 线 在 x 轴上方的区间 若不等式是 b 解的讨论 一元二次不等式 ax2 bx c 0 a 0 解的讨论 0 0 0 二次函数 cbxaxy 2 0 a 的图象 一元二次方程 的根0 0 2 a cbxax 有两相异实根 2121 xxxx 有两相等实根 a b xx 2 21 无实根 的解集 0 0 2 a cbxax 21 xxxxx 或 a b xx 2 R X X 1 X 2 X 3 Xn 2Xn 1X n 2 14 x 第 6 页 共 9 页 的解集 0 0 2 a cbxax 21 xxxx 对于 a0 或 xg xf 0 xg xf 0 或 xg xf 0 的形式 2 转化为整式不等式 组 0 0 0 0 0 xg xgxf xg xf xgxf xg xf 例题 求解不等式 解 略 1 1 x 例题 求不等式的解集 1 1 x x 3 含绝对值不等式的解法 基本形式 型如 x a a 0 的不等式 的解集为 xaxa 型如 x a a 0 的不等式 的解集为 x xaxa 或 变型 解得 其中 c ax b c 等价于不等式组 0 axbc cxcaxbc 型的不等式的解集可以由 在解 c ax b0 的实根的分布常借助二次函数图像来分析 设 ax2 bx c 0 的两根为 f x ax2 bx c 那么 若两根都大于 0 即 则有0 0 0 0 0 若两根都小于 0 即 则有0 0 0 0 2 0 0 b a f 若两根有一根小于 0 一根大于 0 即 则有0 0 0f 若两根在两实数 m n 之间 即 mn 则有 0 2 0 0 b mn a f m f n 若两个根在三个实数之间 即 则有mtn 0 0 0 f m f t f n 常由根的分布情况来求解出现在 a b c 位置上的参数 例如 若方程有两个正实数根 求的取值范围 22 2 1 230 xmxmm m 解 由 型得 0 0 0 22 2 4 1 4 23 0 2 1 0 230 mmm m mm 1 1 1 3 m m mm 或 3m 所以方程有两个正实数根时 3m 又如 方程的一根大于 1 另一根小于 1 求的范围 22 10 xxm m 解 因为有两个不同的根 所以由 0 1 0f 22 22 1 4 1 0 1110 m m 55 22 11 m m 11m 35 二元一次不等式 含有两个未知数 并且未知数的次数是 的不等式 1 36 二元一次不等式组 由几个二元一次不等式组成的不等式组 对称轴 x 2 b a y o x 对称轴 x 2 b a ox y o y x X 2 b a n x mo y X 2 b a y om t n x 第 8 页 共 9 页 37 二元一次不等式 组 的解集 满足二元一次不等式组的和的取值构成有序数对 所有这样的有序数对xy x y 构成的集合 x y 38 在平面直角坐标系中 已知直线 坐标平面内的点 0 xyCA 00 xy 若 则点在直线的上方 0 00 0 xyCA 00 xy 0 xyCA 若 则点在直线的下方 0 00 0 xyCA 00 xy 0 xyCA 39 在平面直角坐标系中 已知直线 0 xyCA 一 由 B 确定 若 则表示直线上方的区域 表示直线下方0 0 xyCA 0 xyCA 0 xyCA 0 xyCA 的区域 若 则表示直线下方的区域 表示直线上方0 0 xyCA 0 xyCA 0 xyCA 0 xyCA 的区域 二 由 A 的符号来确定 先把 x 的系数 A 化为正后 看不等号方向 若是 号 则所表示的区域为直线 l 的右边部分 0 xyCA 0 xyCA 若是 号 则所表示的区域为直线 l 的左边部分 0 xyCA 0 xyCA 三 确定不等式组所表示区域的步骤 画线 画出不等式所对应的方程所表示的直线 定测 由上面 一 二 来确定 求交 取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分 例题 画出不等式组所表示的平面区域 解 略 250 35 250 xy yx yx 40 线性约束条件 由 的不等式 或方程 组成的不等式组 是 的线性约束条件 xyxy 目标函数 欲达到最大值或最小值所涉及的变量 的解析式 xy 线性目标函数 目标函数为 的一次解析式 xy 线性规划问题 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题 可行解 满足线性约束条件的解 x y 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 41 设 是两个正数 则称为正数 的算术平均数 称为正数 的几何平均数 ab 2 ab ababab 42 均值不等式定理 若 则 即 0a 0b 2abab 2 ab ab 43 常用的基本不等式 22 2 abab a bR 22 2 ab aba bR 2 0 0 2 ab abab 2 22 22 abab a bR 44 极值定理 设 都为正数 则有 若 和为定值 则当时 积取得最大值 若