错位重排专题

错位重排问题专项 错位重排 1 6 个元素的错位重排数分别为 0 1 2 9 44 265 递推公式 Dm m 1 D m 1 D m 2 错位重排模型 把编号为1 m 的小球分别放入编号为1 n 的箱子错位重排 即1号球不 在1号箱子 2号球不在2号箱子 m 号球不在 m 号箱子 且每个箱子一个球 有多少种不 同情况 楚香凝证明 假设总情况数为 D m 种 如果让1号球先选 有 m 1 种选择 假设 1号球选的2号箱子 接下来让2号球选箱子 进行分类讨论 如果2号球选的1号箱子 相当于剩下的 m 2 个球进行错位重排 有 D m 2 种 如果2号球选的不是1号箱子 则题目可转化为把编号为2 m 的小球分别放入编号为 1 3 m 的箱子错位重排 即2号球不在1号箱子 3号球不在3号箱子 m 号球不在 m 号箱子 相当于 m 1个球错位重排 有 D m 1 种 所以可得 D m m 1 D m 1 D m 2 得证 例1 相邻的4个车位中停放了4辆不同的车 现将所有车开出后再重新停入这4个车位 要 求所有车都不得停在原来的车位中 则一共有多少种不同的停放方式 北京2014 A 9 B 12 C 14 D 16 楚香凝解析 解法一 四种元素错位重排有9种 选 A 解法二 ABCD 四辆车分别停放在一二三四号位置 A 先选有三种情况 假设 A 选了二号 那么 B 再选 有三种选择 剩下 C 和 D 都只有一种选择 共3 3 9种 选 A 例2 相邻的4个车位中停放了4辆不同的车 现将所有车开出后再重新停入这4个车位 要 求有三辆车不能停在原来的车位中 则一共有多少种不同的停放方式 A 2 B 6 C 8 D 9 楚香凝解析 先选出停的正确的那辆车 C 4 1 4种 剩下三辆车错位重排有2种 共 4 2 8种 选 C 例3 相邻的4个车位中停放了4辆不同的车 现将所有车开出后再重新停入这4个车位 要 求有两辆车不能停在原来的车位中 则一共有多少种不同的停放方式 A 2 B 6 C 8 D 9 楚香凝解析 先选出停的正确的两辆车 C 4 2 6种 剩下两辆车错位重排有1种 共 6 1 6种 选 B 例 4 五个瓶子都贴有标签 其中恰好贴错了三个 贴错的可能情况有多少种 北京 2006 A 60 B 46 C 40 D 20 楚香凝解析 先选出贴错的3个瓶子有 C 5 3 10种 三个贴错的瓶子相当于三个元素 错位重排 有2种 共10 2 20 选 D 例 5 某单位安排五位工作人员在星期一至星期五值班 每人一天且不重复 若甲 乙两 人都不能安排在星期五值班 则不同的排班方法共有 种 福建 2007 A 6 B 36 C 72 D 120 楚香凝解析 选择一个工作人员安排到星期五有三种情况 剩下四个人随便排 A 4 4 24 种 共 3 24 72 选 C 例 6 幼儿园小班有 7 名小朋友 上课铃响慌乱中迅速回到座位上 结果只有 3 名小朋友 坐到了自己的座位上 请问这样的情况一共有多少种 A 315 B 350 C 385 D 420 楚香凝解析 先选出 4 名坐错了的小朋友 C 7 4 35 然后 4 人错位重排有 9 种 共 35 9 315 种 选 A 例 7 设有编号为 1 2 3 4 5 的五个茶杯和编号为 1 2 3 4 5 的五个杯盖 将五 个杯盖盖在五个茶杯上 至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有 A 30 种 B 31 种 C 32 种 D 36 种 楚香凝解析 总情况数 A 5 5 120 种 都不相同相当于五个元素错位重排有 44 种 有 一个杯盖和茶杯编号相同有 C 5 1 9 45 种 所以满足题意的有 120 44 45 31 种 选 B 例 8 从 6 名志愿者中选出 4 人分别从事翻译 导游 导购 保洁四项不同的工作 若其 中甲 乙两名志愿者都不能从事翻译工作 则不同的选派方案共有 种 A 280 B 240 C 180 D 96 楚香凝解析 除去甲乙从另外四人中找一个人当翻译 有 A 4 1 4 种 剩下的三个位 置可以任意安排 A 5 3 60 种 所以总共有 4 60 240 种 选 B 例 9 某班期中考试和期末考试有四个人两次成绩都排前 4 名 已知有一名同学两次排名 一样 则这四个人期末排名有几种可能 吉林政法 2014 A 4 B 6 C 8 D 10 楚香凝解析 相当于 4 个人中 其中一个位置不变 另外三个人错位重排 先选出位置不 变的一个人有 C 4 1 4 种 剩下三个人错位重排有 2 种情况 共 4 2 8 种 选 C 例 10 大学生剧团从 8 名学生中选出 4 人分别担任甲 乙 丙 丁四个不同的表演角色 若其中有两名学生不能担任甲角色 则不同的挑选方案共有 江苏 2010 A 1200 种 B 1240 种 C 1260 种 D 2100 种 楚香凝解析 两名同学不能担任甲角色 所以甲角色有 6 种选择 剩下的三个角色可以任 意安排 A 7 3 总共情况数 6 A 7 3 1260 人 选 C 例 11 从 6 名运动员中选 4 人参加 4 100 米接力 甲不跑第一棒和第四棒的参赛方案有 多少种 A 120 B 240 C 180 D 60 楚香凝解析 解法一 甲不能跑第一棒或第四棒的对立面是甲跑第一棒或者第四棒 总情况数 A 6 4 360 其中 甲跑第一棒或者第四棒 的情况数有 C 2 1 A 5 3 120 所以满 足题意的情况数有 360 120 240 种 选 B 解法二 因为甲不能跑第一棒和第四棒 所以第一棒有 5 种选择 第四棒有 4 种选择 第 二棒有 4 种选择 包括甲 第三棒有 3 种选择 所以共有 5 4 4 3 240 种 选 B 例 12 甲乙丙丁戊五个人站队 要求甲不站在第一位 乙不站在第二位 丙不站在第三位 丁不站在第四位 有多少种情况 A 42 B 44 C 53 D 60 楚香凝解析 对戊进行分类讨论 当戊站在第五位时 相当于四个人错位重排 有 9 种 当戊不站在第五位时 相当于五个人错位重排 有 44 种 共 9 44 53 种 选 C 例 13 甲乙丙丁戊五个人站队 要求甲不站在第一位 乙不站在第二位 丙不站在第三位 有多少种情况 A 44 B 53 C 60 D 64 楚香凝解析 解法一 分类讨论 丁在第四位 若戊在第五位 相当于甲乙丙三个人错位重排 有 2 种 若戊不在第五位 相当于甲乙丙戊四个人错位重排 有 9 种 丁不在第四位 若戊在第五位 相当于甲乙丙丁四个人错位重排 有 9 种 若戊不在第 五位 相当于甲乙丙丁戊五个人错位重排 有 44 种 共有 2 9 9 44 64 种 选 D 解法二 容斥原理 甲排 1 或 乙排 2 或 丙排 3 的情况数 甲 1 乙 2 丙 3 甲 1 乙 2 甲 1 丙 3 乙 2 丙 3 甲 1 乙 2 丙 3 24 24 24 6 6 6 2 56 种 甲不排 1 且乙不排 2 且丙不排 3 A 5 5 56 64 种 选 D 例 14 某单位有老陶和小刘等 5 名工作人员 需安排在星期一至星期五的中午值班 每人 一次 若老陶星期一外出开会不能排 小刘有其他的事不能排在星期五 则不同的排法共 有 种 上海 B2012 A 36 B 48 C 78 D 96 楚香凝解析 解法一 老陶在周一有 A 4 4 24 种 小刘在周五有 A 4 4 24 种 老陶在周一且 小刘在周五有 A 3 3 6 种 老陶不在周一且小刘不在周五 总情况数 老陶在周一 小刘在周五 老陶在周一且小刘在周五 120 24 24 6 78 种 选 C 解法二 分类 老陶在周五 剩下四人随便排 有 A 4 4 24 种 老陶不在周五 老陶有 3 种选择 小刘有 3 种选择 剩下三人随便排 共 3 3 A 3 3 54 种 共 24 54 78 种 选 C 例 15 从 6 名运动员中选出 4 个参加 4 100 米接力赛 如果甲不跑第一棒 乙不跑第四 棒 共有多少种不同的参赛方法 A 204 B 228 C 252 D 312 楚香凝解析 正面入手 分两类 1 跑第四棒的是甲 剩下三个位置随便排 A 5 3 60 种 2 跑第四棒的不是甲 从除去甲乙剩下的四个人里选一个跑第四棒有 4 种 然后再从剩 下四个人 除去甲 选一个跑第一棒 剩下两个位置随便排 A 4 2 12 种 4 4 12 192 种 共 60 192 252 种 选 C 例 16 把 keeper 进行错位重排 使得每种字母所在位置跟原来都不同 有多少种方法 A 3 B 6 C 12 D 36 楚香凝解析 字母 keeper 分别对应一二三四五六号位置 三个 e 只能排在 146 号位置 只 有一种选择 kpe 排在 235 号位置 有 A 3 3 6 种选择 选 B 例 17 把三个 a 三个 b 三个 c 共九个字母排成三行三列 要求每行每列字母互不相同 不同排法有多少种 A 6 B 12 C 18 D 24 楚香凝解析 第一行 abc 排列有 A 3 3 6 种 第二行相当于三个元素错位重排 有 2 种 第二行排好之后第三行随之固定 共 6 2 12 种 选 A 例 18 把 hello 进行错位重排 使得每种字母所在位置跟原来都不同 有多少种方法 A 3 B 6 C 12 D 24 楚香凝解析 解法一 第一个 l 记为 l1 第二个 l 记为 l2 44 只 l1在四号位 只 l2在三号位 l1在四号位且 l2在三号位 24 两个 l 可以互换位置 24 2 12 种 选 C 解法二 先排两个 l 有 C 3 2 3 种 对于剩下三个元素 h e o 和三个位置 其 中一个字母不能在原来的位置上 有 A 3 3 A 2 2 4 种 共 3 4 12 种 选 C 例 19 五对夫妇共