2012届一轮复习三角函数

编者 衡南县第五中学龙诗春 64 3 三角函数 三角恒等变换 解三角形 考纲要求 1 任意角的概念 弧度制 了解任意角的概念 了解弧度制的概念 能进行弧度与角度的互化 2 三角函数 理解任意角三角函数 正弦 余弦 正切 的定义 能利用单位圆中的三角函数线推导出 的正弦 余弦 正切的诱 2 导公式 能画出 y sinx y cosx y tanx 的图象 了解三角函数的周期性 理解正弦函数 余弦函数在区间 0 2 上的性质 如单调性 最大值和最小 值以及与 x 轴的交点等 理解正切函数在 内的单调性 2 2 理解同角三角函数的基本关系式 sin2x cos2x 1 tanx x x cos sin 了解函数 y Asin x 的物理意义 能画出 y Asin x 的图象 了解 参数 A 对函数图象变化的影响 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 会用三角函数解决一些简 单实际问题 3 和与差的三角函数公式 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦 正切公式 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦 余弦 正切公式 导出二倍角的 正弦 余弦 正切公式 了解它们的内在联系 4 简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换 包括导出积化和差 和差化积 半角公式 但对这三组公式不要求记忆 5 正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理 余弦定理 并能解决一些简单的三角形度量问题 6 解三角形应用 能够运用正弦定理 余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实 际问题 3 1 任意角与任意角的三角函数定义 学习目标 理解把角置于直角坐标系所形成的有关概念 角的终边的周期性 终边相同 的角 熟悉弧度制 能正确快速实现角度制与弧度制的互换 掌握扇形弧长公式 与面积公式 掌握任意角的三角函数的定义 能利用定义求已知角的三角函数值 可结合角的变化研究三角函数值的变化 编者 衡南县第五中学龙诗春 65 知识网络 任意角的概念与弧度制 任意角三角函数 正弦 余弦 正切 的定义 知识学习 1 任意角 一条射线的端点为旋转中心旋转形成角 不发生旋转形成的角称为零 角 逆时针旋转形成的角称为正角 顺时针旋转形成的角称为负角 2 角的度量 角度制 圆周 每一等分的弧所对的 的大小为 1 弧度制 的弧所对的圆心角的大小为 1 弧度 记为 1rad 圆的弧长公式 扇形面积公式 角度制与弧度制的相互转化 填写表格 角度 0 30 45 60 90 120 135 150 210 225 弧度 3 与角终边相同的角的集合是 若 角与角终边相同 则 终边在 x 轴上的角的集合是 终边在 y 轴上的角的集合是 终边在坐标轴上的角的集合是 第一象限角的集合是 第二象限角的集合是 第三象限角的集合是 第四象限角的集合是 4 如果点 P x y 是角终边上异于原点的任意一点 则点 P 到原点的距离 r sin cos tan 如果 r 1 则 sin cos tan 5 如果角 x 的终边与圆 0 的交点为 P 则点 P 的坐标用角 x 的三rryx 222 角函数表示是 6 试用几何图形表示出 sin cos tan的值 典型例题 例 1 已知角的终边与的终边关于 x 轴对称 试在 0 2内找出与终边相同的 6 3 角 编者 衡南县第五中学龙诗春 66 例 2 如果是第三象限的角 那么 2是第几象限的角 2 例 3 已知一扇形的中心角是 所在圆的半径为 R 若 60 R 10 cm 求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积 若扇形的周长是一定值 C C 0 当为多少时 该扇形有最大面积 例 4 角的终边上一个点 P 4t 3t t 0 求 2sin cos的值 课内练习 1 若角是第二象限角 确定是第几象限角 并画图表示出其变化区域 2 2 已知角 的终边关于 y 轴对称 角与角的终边关于直线 y x 2 3 对称 求的值 3 已知扇形 OAB 的弧 AB 的长是其半径的 2 倍 弦 AB 的长为 4 求这个扇形的面 积 4 已知点 P x 2 为角终边上的一点 且 cos x 0 求 tan的值 3 x 5 如果角的终边在直线 5x 12y 0 上 求 sin cos tan的值 6 借助于图形证明 若 0 则 sin tan 2 3 2 同角关系 学习目标 熟悉同角三角函数关系式 能正确判断一个角的三角函数值的符号 能快速正确 利用同角三角函数关系式在已知一个角的某一三角函数值时求其他的三角函数值 知识网络 符号法则 同角关系 知识学习 1 图示三角函数值的符号与角的关系 2 填写表格 0 6 4 3 2 3 2 4 3 6 5 6 7 4 5 3 4 2 3 3 5 编者 衡南县第五中学龙诗春 67 sin cos tan 3 同角关系 已知 sin m 求 cos tan 已知 tan m 求 sin cos 典型例题 例 1 34 sin cos 2 55 若则角的终边在 A 第一象限 B 第二象限 第三象限 第四象限 已知 且是第二象限角 则应满足的条件是 sin1 cos43kk k A 4 3 k 1k 8 5 k 1k 例 2 化简 66 44 sincos1 sincos1 例 3 若 sin cos 求 sin与 cos的值 8 1 4 2 例 4 若 求tan2 1 的值 2 的值 sincos cossin 22 2sinsincoscos 课内练习 1 设是第三象限角 且是 coscos 222 则 A 第一象限 B 第二象限 第三象限 第四象限 编者 衡南县第五中学龙诗春 68 2 如果是第一象限角 那么恒有 A B C D sin0 2 tan1 2 sincos 22 sincos 22 3 已知的值是 1 sin1cos cos2sin1 xx xx 那么 A B 1 2 1 2 4 若则 5sin2cos aaatan A B 2 C D 2 1 2 1 2 5 是 的 2 6 kkZ 1 cos2 2 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 6 已知是三角形的内角 若的值 1 sincos tan 5 求 7 已知关于x的方程 4x2 2 m 1 x m 0 的两个根恰好是一个直角三角形的两个 锐角的余弦 求实数 m 的值 8 化简 cossin1 sin cos2 sin1 cos cos1 sin cos4 sin2 sin2cos2 tan4 4 cos 1 3 3 诱导公式 学习目标 熟悉诱导公式 能正确利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数 知识网络 诱导公式及其应用 知识学习 1 sin cos tan 编者 衡南县第五中学龙诗春 69 2 sin cos tan 3 sin cos tan 4 sin 2 cos 2 tan 2 5 sin 2k cos 2k tan 2k 6 sin cos tan 2 2 2 7 sin cos tan 2 2 2 8 sin cos tan 2 3 2 3 2 3 9 sin cos tan 2 3 2 3 2 3 10 上面所有公式可归纳概括为 对于 k Z Z 它的三角函数值与角的 2 k 三角函数值之间的关系是 诱导公式的作用是 典型例题 例 1 求下列三角函数的值 sin 1230 sin420 cos330 sin 690 cos 660 例 2 化简下列各式 2 sin sin sin 1 2 3 sin 2 sin sin2 22 tan 27 tan 49 tan 63 tan 139 例 3 已知 sin sin 0 2 3 3 2 2 求 sin cos 2 的值 编者 衡南县第五中学龙诗春 70 例 4 已知 sin cos 2 tan 3 2 tan sin 2 f 1 化简 f 2 若是第三象限的角 且 求的值 31 cos 25 f 3 若 求的值 0 1860 f 课内练习 1 的值为 o 585sin A B C D 2 2 2 2 3 2 3 2 2 等于 2cos 2sin 21 A sin2 cos2B cos2 sin2C sin2 cos2 D sin2 cos2 3 计算 7231113 sincos tan cos 3643 4 0000 1 cos 75 18090 cos 15 3 且则 5 sin 3 求的值 4 1 cos cos 2cos 2cos 1 cos cos cos 6 若k Z Z 化简 1cos 1sin cos sin kk kk 3 4 和 差角公式 学习目标 会灵活利用两角和与差的三角函数公式解决有关问题 知识网络 两角和与差的三角函数公式及其应用 编者 衡南县第五中学龙诗春 71 知识学习 1 sin cos tan 2 sin cos tan 变形 tan tan tan tan tan tan 3 a sin b cos 其中 a2 b2 0 典型例题 例 1 已知 sin sin cos sin 5 是第四 2 3 13 12 象限角 求 cos 及 tan 的值 6 11 4 5 例 2 已知 sin sin 0 求 sin的值 3 5 34 2 例 3 若 k k Z Z 求 1 tan 1 tan 的值 4 例 4 已知 cos sin 0 4 9 5 3 4 5 13 12 4 4 3 4 求 sin 的值 课内练习 编者 衡南县第五中学龙诗春 72 1 已知 sin 则 tan 等于 2 5 3 4 A B 7 C D 7 7 1 7 1 2 sin163 sin223 sin253 sin313 等于 A B C D 2 1 2 1 2 3 2 3 3 的值是 70sin 20sin10cos2 A B C D 2 1 2 3 32 4 化简等于 1tan15 1tan15 A B C D 3 3 2 31 5 1tan20 1tan21 1tan24 1tan25 A 2 B 4 C 8 D 16 6 对于任何的大小关系是 0 sin sinsin 2 与 A B sin sinsin sin sinsin C D 要以 的具体值而定sin sinsin 7 函数的最大值是 00 3sin 10 5sin 70 yxx A B C 7 D 8 11 2 13 2 8 有四个关于三角函数的命题 xR x yR sin x y sinx siny 1 p 2 sin 2 x 2 cos 2 x1 2 2 p x sinx sinx cosyx y 3 p 0 1 cos2 2 x 4 p 2 其中假命题的是 A B C D 1 p 4 p 2 p 4 p 1 p 3 p 2 p 4 p 9 若 3sinx cosx 2sin x 则 等于 33 编者 衡南县第五中学龙诗春 73 A B C D 6 6 6 5 6 5 10 已知 A B 为锐角 且满足 则 tantantantan1ABAB cos AB 11 设 cos sin 且 0 2 9 1 2 3 2 2 2 求 cos 12 ABC 的三内角 A B C 成等差数列 且 求的 BCAcos 2 cos 1 cos 1 2 cos CA 值 13 都是锐角 求 tan 的 2 1 coscos 3 1 sinsin 值 3 5 倍角公式 学习目标 能灵活运用倍角公式进行三角函数化简 求值等 知识网络 倍角公式及其应用 知识学习 1 sin2 cos2 tan2 2 变形 sin cos sin cos 2 2 降幂 sin2 cos2 sin2 cos2 2 2 升幂 1 sin 1 cos 1 cos 典型例题 例 1 已知 sin 180 270 3 3 编者 衡南县第五中学龙诗春 74 求 sin2 sin tan的值 2 4 例 2 求值 sin2 cos2 sincos 6 6 例 3 化简 x xxxx 2sin 1cos sin1cos sin sin2 cos2 tan2tan 2tantan 3 例 4 6sin2 sincos 2cos2 0 求 sin 2 的值 2 3 课内练习 1 下列各式中 值为的是 2 1 A sin15 cos15 B C D 2 2cos1 12 2 30cos1 5 22tan1 5 22tan 2 2 若f tanx sin2x 则f 1 的值是 A sin2B 1C D 1 2 1 3 若 270 360 化简的结果是 2cos 2 1 2 1 2 1 2 1 A sin B sin C cos D cos 2 2 2 2 4 已知x 0 cosx 则 tan2x等于 2 5 4 A B C D 24 7 24 7 7 24 7 24 5 2 1tan 75 tan75 的值为 A B C 2 D 32 3 32 3 3 32 6 若 43 sin cos 2525 则是 编者 衡南县第五中学龙诗春 75 A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角 7 已知是第三象限角 且 那么等于 44 5 sincos 9 sin2 A B C D 2 2 3 2 2 3 2 3 2 3 8 已知 sin cos 那么 sin 的值为 cos2 的值为 2 2 3 32 9 若且 111111 2612203042 a 111111 567290110132156 sin 0 tan 22 a 则 10 0000 80cos60cos40cos20cos 11 已知 sin x 0 x 求的值 4 13 5 4 x x 4 cos 2cos 12 求证 的值是与 无关的定值 6 sin 3 cos cossin 22 13 已知 且 求 的值 11 tan tan 27 0 2 3 6 三角式化简与求值 证明 学习目标 能灵活运用公式对三角函数式快速化简 求值 知识网络 数学式的变形 知识学习 1 三角式化简与求值常用思路 角的变换 观察各角之间的和 差 倍 半关系 寻找已知角与未知角的联系 化异角为同角 化未知为已知 化非特殊角为特殊角 函数名称变换 观察条件与结论 数学式各函数名称之间的差异 化异名为同 名 化切割为正余弦 化复杂为简单 运算结构变化 观察运算特点 或重新分组 或移项 或变除为乘 或求差和 等 实现数学式向有关公式的运算形式转化 编者 衡南县第五中学龙诗春 76 次数变化 升幂与降次 常用倍角公式 sin cos sin2 sin cos sin2 sin2 1 cos2 2 1 2 2 2 1 2 1 cos2 1 cos2 sin2 1 cos cos2 1 cos 2 1 2 2 1 2 2 1 1 sin sin cos 2 1 cos 2 cos2 1 cos 2sin2 2 2 2 2 常数代换 1 sin2 cos2 cos0 sin tan tan2 2 4 2 cos 1 2 求值题型 给角求值 消除非特殊角 给值求值 变未知为已知 给值求 角 求特定三角函数值 根据角的范围确定角的大小 3 等式证明 绝对恒等式 化繁为简 左化右 右化左 左右归一 先变而后 证 分析与综合法 条件恒等式 寻找条件与结论之间的差别与联系 从差别 与联系中寻找突破口 典型例题 例 1 化简下列各三角函数式 cos8x sin8x sin2x sin4x 4 sin 4 tan 2 2 1 cos2cos2 2 24 xx xx 4 1 例 2 证明 2cos sin 2sin sin sin 已知 1 求证 tan2 tan tan tan tan 2 2 sin sin 例 3 求下列各式的值 4sin210 oo ooo 40cos170sin 10tan31 50sin40cos o 10sin2 1 例 4 已知 sin sin 求的值 2 1 3 1 tan tan tantan tan 2 编者 衡南县第五中学龙诗春 77 例 5 为锐角 且 3sin2 2sin2 1 3sin2 2sin2 0 求 2的 值 课内练习 1 化简 tan tan 2 2 tan1 tan4 2 已知 sin m sin 2 其中 m 0 2 k 求证 tan tan m m 1 1 3 求下列各式的值 tan10 64cos210 3 o o 50sin 10cos o 20cos1 2 o 20cos1 6 4cos10 o o 10sin 10cos 4 已知 cos cos 且 0 b B a0 在区间 上的最小值是 2 则的最小 3 4 值等于 A B C 2 D 3 3 2 2 3 2 函数的单调递增区间是 sin3cos 0 f xxx x 5 6 5 66 0 3 0 6 3 若 则下列命题中正确的是 0 2 x 3 sin xx 3 sin xx 2 2 4 sin xx 2 2 4 sin xx 4 若 则的取值范围是 02 sin3cos 3 2 3 4 33 3 32 5 设函数 若是奇函数 则 cos30f xx f xfx 6 函数的图象为 如下结论中正确的是 写出所有正 3sin 2 3 f xx C 确结论的编号 图象关于直线对C 11 12 x 称 图象关于点C 编者 衡南县第五中学龙诗春 84 对称 2 0 3 函数在区间内是增函数 f x 5 12 12 由的图象向右平移个单位长度可以得到图象 3sin2yx 3 C 7 求 f x 的定义域 x x cos21 2sin2lg 8 求 f x 2cos x 2cosx 的值域 3 9 确定函数 f x 2sinx cosx sinx 的单调区间 10 设函数 f x a sinx cosx 若存在 x0 0 使 f x0 a 成立 求实数 6 a 的取值范围 11 已知函数 2 cos2 6 sin2 xxxxf 1 若 求函数的值 2 求函数的值域 5 4 sin x xf xf 3 10 正切函数的图像与性质 学习目标 理解正切函数的性质 掌握正切函数的图像 知识网络 正切函数的图像与性质 知识学习 1 正切函数 y tanx 的图像 2 正切函数的性质 定义域 值域 周期性 奇偶性 编者 衡南县第五中学龙诗春 85 单调性 对称中心 典型例题 例 1 函数的单调增区间为 tan 4 f xx A B 22 kkkZ 1 kkkZ C D 3 44 kkkZ 3 44 kkkZ 例 2 设 则 5 sin 7 a 2 cos 7 b 2 tan 7 c A B C D cba acb acb bac 例 3 若 则函数的最大值为 42 x 3 tan2 tanyxx 例 4 若将函数的图像向右平移个单位长度后 与函数 0 4 tan xy 6 的图像重合 则的最小值为 6 tan xy A B C D 6 1 4 1 3 1 2 1 课内练习 1 设 那么 是 的 2 2 tantan 充分而不必要条件 必要而不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件 2 40cos270tan10sin310cos20cot 3 若 x 0 则 2tanx tan x 的最小值为 2 2 4 已知函数 编者 衡南县第五中学龙诗春 86 项数为 27 的等差数列满足且公差 若 sintanf xxx n a 2 2 n a 0d 则当 k 时 1227 0f af af a 0 k f a 5 判断函数 f x tan x tan x 的奇偶性 4 4 6 判断 sin tan与 sin的大小 5 21 8 19 5 42 3 11 三角函数图像变换 学习目标 了解函数 y A sin x 的物理意义 能画出 y A sin x 的图象 了 解参数 A 对函数图象变化的影响 理解图像变换 能利用图像变换解决问 题 知识网络 y A sin x 的图象以及函数图像间的关系 知识学习 1 y A sin x 的有关概念 y A sin x A 0 0 x 0 表示一个振动量时 振幅是 周期是 频率是 相位是 初相是 2 作 y A sin x 的图像 五点法作简图 x x y 变换法作图 振幅变换 y sinx y A sinx 纵向伸缩变换 大 1 伸小 1 缩 编者 衡南县第五中学龙诗春 87 相位变换 y A sinx y A sin x 左右平移变换 左 右 上下平移变换 上 下 周期变换 y A sin x y A sin x 横向伸缩变换 大 1 缩小 1 伸 相位变换 y A sinx y A sin x y A sin x y A sin x B 3 求 y A sin x B 的解析式的步骤 求 A B 确定函数最大值 M 与 最小值 m 若 A 0 则 A B M A B m 若 A0 0 0 0 6 和g x 2cos 2x 1 的图象的对称轴完全相同 若x 0 2 则f x 的取值范围是 8 比较下列各组中两个值的大小 1 2 3 cos 2 1 sin 10 7 cos 4 3 sin sin 8 3 sin cos 8 9 设函数 图象的一条对称轴是直线 sin 2 0 f xx yf x 8 x 求 求函数的单调增区间 yf x 证明直线与函数的图象不相切 520 xyc yf x 3 14 函数的周期性问题 学习目标 理解周期函数概念 掌握三角函数的周期性 理解周期函数的图像特点与性质 能利用周期性解决有关问题 知识网络 周期函数的概念 图像特点 性质 知识学习 1 周期函数 对于函数 f x 如果存在一个非零常数 T 使得当 x 取定义域内的 每一个值时 都有 成立 则函数 y f x 就称为周期函数 T 称为这 个函数的周期 2 最小正周期 对于一个周期函数 f x 如果在它所有的周期中存在一个最小的 正数 那么这个最小正数叫做 f x 的最小正周期 3 若 T 是周期函数 f x 的一个周期 则 n T n Z Z 且 n 0 也是 f x 的周期 周期函数的图像每相隔 T 个单位重复出现 编者 衡南县第五中学龙诗春 95 周期函数不一定有最小正周期 如函数 f x 3 4 y sinx y cosx 的最小正周期是 周期是 y tanx 的最小正周期是 周期是 y A sin x B 0 的最小正周期是 周期是 y A tan x B 0 的最小正周期是 周期是 一般地 若周期函数 f x 的周期为 T 则函数 a f x b ab O 的周期是 函数 f x 0 的周期是 典型例题 例 1 求下列函数的最小正周期 f x sin 2x 2sin2 x 3 6 12 2 y 4 cos 4 cos xxx2sin3 例 2 已知函数 其中 2 sinsin2cos 662 x f xxxx R 0 I 求函数的值域 f x II 若对任意的 函数 的图象与直线有且a R yf x xaa 1y 仅有两个不同的交点 试确定的值 不必证明 并求函数的单 yf xx R 调增区间 例 3 已知 f x 是定义在 R R 上的周期函数 其最小正周期是 2 又 f x 是偶函数 当 x 2 3 时 f x 2 x 3 2 4 求当 x 1 2 时的解析式 例 4 已知定义在 R R 上的函数 f x 满足 f 2 x f 2 x f 7 x f 7 x 且在 区间 0 7 上只有 f 1 f 3 0 试求方程 f x 0 在区间 2012 2012 上的根 的个数 并证明你的结论 课内练习 1 定义在 R 上的函数既是偶函数又是周期函数 若的最小正周期 xf xf 编者 衡南县第五中学龙诗春 96 是 且当时 则的值为 2 0 xxxfsin 3 5 f A B C D 2 1 2 3 2 3 2 1 2 函数 2 sin 2 2 2sin 4 f xxx 的最小正周期是 3 已知函数 的最小正周期为 2 sin3sinsin 2 f xxxx 0 求的值 求函数在区间上的取值范围 f x 2 0 3 4 已知函数 cos 2 2sin sin 344 f xxxx 求函数的最小正周期和图象的对称轴方程 f x 求函数在区间上的值域 f x 12 2 5 设函数 f x 是定义在 R R 上的偶函数 且函数 f x 2 也是偶函数 已知当 x 2 2 时 f x x2 1 求当 x 6 2 时 f x 的解析式 6 设 f x 是定义在 R R 上以 2 为周期的周期函数 对 k Z Z 用 Ik表示区间 2k 1 2k 1 已知当 x I0时 f x x2 对正整数 k 求集合 Mk a 使方 程 f x ax 在 Ik上有两个不相等的实数根 3 15 三角函数应用 学习目标 掌握正弦函数 余弦函数 正切函数的几何特征与代数特征 会用它们解决与 周期变化相关的实际问题 能借助正弦函数 余弦函数 正切函数的图像与性质 将某些问题三角化处理 使问题得以顺利解决 知识网络 三角函数知识综合运用 知识学习 1 三角函数的应用主要是图像和性质的应用 通过建立三角函数 运用三角有关 知识解决问题 编者 衡南县第五中学龙诗春 97 2 树立变量思想 函数思想 典型例题 例 1 117 cos sin sin cos 112 t f tg xx fxx fx x t 将函数化简成 的