一元二次方程根的分布

一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容 这部分知识在初中代数中虽有所涉 及 但尚不够系统和完整 且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理 韦达定理 的运用 下面将主要结合二次函数图象的性质 分两种情况系统地介绍一元 二次方程实根分布的充要条件及其运用 一 一元二次方程根的基本分布一 一元二次方程根的基本分布 零分布零分布 所谓一元二次方程根的零分布 指的是方程的根相对于零的关系 比如二次方程有一 正根 有一负根 其实就是指这个二次方程一个根比零大 一个根比零小 或者说 这两 个根分布在零的两侧 设一元二次方程 的两个实根为 且 0 2 cbxax0 a 1 x 2 x 21 xx 定理 1 0 1 x0 2 x 0 0 04 21 21 2 a c xx a b xx acb 推论推论 或0 1 x0 2 x 0 0 0 0 04 2 b cf a acb 0 0 0 0 04 2 b cf a acb 上述推论结合二次函数图象不难得到 x y 0 2 a b 1 x 2 x 0 a O 0 c 0 x y 1 x 2 x O 0 c 0 a 0 2 a b 0 例例 1 若一元二次方程有两个正根 求的取值范围 0 1 2 1 2 mxmxmm 定理 2 0 1 x0 2 x 0 0 04 21 21 2 a c xx a b xx acb 推论推论 或0 1 x0 2 x 0 0 0 0 04 2 b cf a acb 0 0 0 0 04 2 b cf a acb 由二次函数图象易知它的正确性 x y 1 x 2 x 0 a O 0 c 0 0 2 a b x y 1 x 2 xO 0 c 0 a 0 0 2 a b 定理定理 3 21 0 xx 0 a c 例例 3 在何范围内取值 一元二次方程有一个正根和一个负根 k033 2 kkxkx 定理 4 且 1 0 1 x0 2 x 0 c0 a b 且 2 0 1 x0 2 x 0 c0 a b x y 1 x 2 x 0 a O 0 2 a b x y 1 x 2 x 0 a O 0 2 a b x y 1 x 2 x O 0 2 a b 0 a x y 1 x 2 x 0 a O 0 2 a b 例例 4 若一元二次方程有一根为零 则另一根是正根还是负根 03 12 2 kxkkx 二 一元二次方程的非零分布二 一元二次方程的非零分布 分布分布k 设一元二次方程 的两实根为 且 为常0 2 cbxax0 a 1 x 2 x 21 xx k 数 则一元二次方程根的分布 即 相对于的位置 有以下若干定理 k 1 x 2 xk 定理 1 21 xxk k a b kaf acb 2 0 04 2 x y 1 x 2 x 0 a O a b x 2 0 kf k x y 1 x 2 x O a b x 2 k 0 a 0 kf 定理 2 kxx 21 k a b kaf acb 2 0 04 2 x y 1 x 2 x 0 a O a b x 2 k 0 kf x y 1 x 2 x O a b x 2 k 0 a 0 kf 定理定理 3 21 xkx 0 kaf 0 kf x y 1 x 2 x 0 a O k x y 1 x 2 x O k 0 a 0 kf 推论推论 1 21 0 xx 0 ac 推论推论 2 21 1xx 0 cbaa 定理定理 4 有且仅有 或 11 xk 2 x 2 k 0 21 kfkf x y 1 x 2 x 0 a O 1 k 2 k 0 1 kf 0 2 kf x y 1 x 2 x O 0 a 1 k 2 k 0 1 kf 0 2 kf 定理定理 5 或 221211 pxpkxk 0 0 0 0 0 2 1 2 1 pf pf kf kf a 0 0 0 0 0 2 1 2 1 pf pf kf kf a 此定理可直接由定理 4 推出 请读者自证 定理定理 6 或 2211 kxxk 21 2 1 2 2 0 0 0 04 k a b k kf kf a acb 21 2 1 2 2 0 0 0 04 k a b k kf kf a acb x