高考物理中的数学问题

三 高考物理中的数学问题 一 问题概述 实验方法和数学方法是学习 研究高中物理的两种主要方法 唯有数学才能以最终的 精确和便于讲授的简明形式表达物理概念和规律 并应用于错综复杂的物理过程中 作为选拔性的全国高考 考生必须具备良好的数学思维品质和灵活处理问题的能力 才 能在高考考场中游刃有余 稳操胜券 在高考物理中出现数理结合的问题有助于选拔人才 这不仅符合高考命题的原则 同时对考查考生各方面的能力 使考生真正体会数学的应用价 值能起到不可替代的作用 因此 在高考物理复习中渗透数学思想 归纳总结处理物理问题 的数学方法和技巧 引导考生运用灵活多变的数学工具求解数学问题是很有必要 并且是很 有益的 一 渗透代数思想 代数方法是高中物理中数学方法的核心 其实质是把物理问题 翻译 成数学方程 代 数知识内容十分丰富 在中学物理中的应用极其广泛 物理题目众多且千变万化 但总的看来大致有两类 一类是以跟踪物理过程为主要手段 的过程分析类 其二是理清物理状态为主要手段的代数计算类 代数计算类尽管最先被应用 但是将数学代数赋予一定的物理意义就显得有些模棱两可 有时不免出错 因此在物理中渗 透代数思想就显得极有必要 一 利用一元二次方程判别式求解 一元二次方程 ax2 bx c 0 若方程有实数解 则判别式 b2 4ac0 若方程无实数解 则 0 求解物理问题时 如果列出方程数少于未知量 而经联立整理后是关于某一未知量 的二次方程 则可根据该物理量是否存在实数解 利用判别式应满足的条件 列出一个新的 关系式进行求解 使方程式的性质得到巧妙的应用 例 1 在光滑的水平轨道上有两个半径都是 r 的小球 A 和 B 质量分别为 m 和 2m 当 两球心间的距离大于 l l 比 2r 大得多 时 两球之间无相互作用 力 当两球心间的距离等于或小于 l 时 两球间存在相互作用 的恒定斥力 F 设 A 球从远离 B 球处以速度 v0沿两球连心线向 原来静止的 B 球运动 如图 3 3 1 所示 欲使两球不发生接 触 v0必须满足什么条件 分析和解 A 球向 B 球接近至 A B 间的距离小于 l 之后 A 球的速度逐步减小 B 球 从静止开始加速运动 两球间的距离逐步减小 当 A B 的速度相等时 两球间的距离最 小 设从两球心间的距离等于 l 开始经过时间 t 后 A B 两球的位移分别为 s1 s2 则 2 10 1 2 F sv tt m 2 2 1 2 2 F st m 两球刚好接触 s2 s1 l 2r 3 个方程中有 s2 s1 v0 t4 个未知量 由上述三个公式可整理成 t 的一元二次方程 2 0 3 20 4 F tv tlr m 要两球不发生接触 则 t 无实数解 有 0 且当 x1 n n xxx 21 x2 xn时等式成立 对于求解极值的物理问题 若最后得出的式子中含有无法直接消去 的未知量 可考虑利用不等式的上述性质 变求和式为求积式 或变求积式为求和式 若新 的式子中未知量能够消解 难以处理的消元问题便迎刃而解了 例 3 一个质量为 m 的粒子与一个质量为 M 的初始的粒子正碰 碰撞后有一定的能量 E 被贮藏在 M 粒子中 问 m 粒子必须具有多大的初速度 v0 分析和解 设碰撞后 M m 两粒子的速度分别为 v1 v2 则有 mv0 mv1 Mv2 222 012 111 222 mvmvvMvE 列出的两个方程中有 v0 v1 v23 个未知量 由上述二式消去 v1可得 2 0 2 2 2 22 Mm vEMm EMm E v mMvMmMm 即 m 具有的最小速度应为 2 Mm E Mm 例 4 如图 3 3 5 所示 两带电量均为 q 的点电荷相距 2r 求两电荷连线的中垂线上 图 3 3 2 图 3 3 3 cos1 mgRmv 2 1 R v mNcosmg 2 2 关关关关关 关关关关关关 T M Mg N 图 3 3 4 上场强的最大值及最大场强的位置 分析和解 在两电荷连线的中垂线上取一点 P 由图 3 3 5 可知 E1 E2 因此有 11 2 2sin cos P q EEEk r 上述两戒有 EP E1 三个未知量 联立得 1222 2 2 22 322 2 2 222 2sincos4coscos sin 22 41coscos434 3 sin 32299 P kqkq E rr kqkqkq rrr 显然 当时 EP有极大值 此时 22 12 sincos tan 22 即 max 2 24 3 tan 29 P kq OPrr E r 三 利用配方方法求解 配方法求极值是数学中常用的技巧之一 即将两数式中的自变量进行配方整理 化成与 一常量差的平方 只要使自变量等于该常量 使能得到函数的极值 对于物理极值问题 当 得出的式子中含有物理变量的二次方时 利用配方法既可消元 同时又可求出了物理极值 例 5 如图 3 3 6 所示 一根一端封闭的玻璃管 长 l 1 00m 内有一段长 h1 0 20m 的水银柱 当温度为 t1 27 开口端竖直向上时 封闭空气柱 h2 0 50m 问 温度至少升到多高时 水银柱才能从管中全部溢出 外界大气压等于 76cmHg 分析和解 水银溢出的过程 同时是管内气体的减压膨胀过程 这一过程 并非总是升温的过程 所以气体的最高温度并不在水银刚好全部从管中溢出时 的末状态 设气体温度为 T 时 管内残留的水银柱高为 x 如图 3 3 7 所示 将已知数据代入状态方程得 1122 12 pVp V TT 7620 520 76 100 300 Sxx S T 列出的方程中有 x T 两个未知量 整理得 K 22 11 760024 7744 12 484 1616 Txxx 当 T 484K 时 x 12cm 即水银溢出的过程中 只有使管内气体的温度不低于 x 12cm 时 所需要的温度 484K 才能使管内的水银全部溢出 四 利用比例方法求解 比例法的最大特点是不需要许多复杂的数学知识 而只要求从基本概念出发 弄清物理 P E2 E E1 qr O rq 图 3 3 5 图 3 3 6x 图 3 3 7 量之间的关系或掌握基本物理规律 它是一种重要的代数方法 高中物理中的公式大多是单项式 这就为我们运用比例法简洁求解物理问题提供了基 础 例 6 高度不同的三颗人造卫星 某一瞬时的位置恰好与地心在同一直线上 如图 3 3 8 所示 若此时它们的飞行方向相同 角速度分别 1 2 3 线速度分别为 v1 v2 v3 周期分别为 T1 T2 T3 则 A 1 2 3 B v1 v2 v3 C T1 T2 T3 D T1 T2 T3 分析和解 因三颗卫星都绕地球运行 则由 可得答案为 BD 例 7 小滑块沿固定在水平地面的斜面底端的 100J 的动能冲上斜面 滑至某一点时 动 能减少了 80J 重力势能增加了 60J 继续上滑一段距离后又返回底端 求返回时的动能 分析和解 设 A 到 B 动能减少了 80J 重力势能增加了 EPAB 60J 由此可知这一过程 中 滑块克服摩擦力做功 WfAB fSAB 20J 滑块运动到 C 点速度为 0 由图 3 3 9 可知 直角三角形 ABD 和 BCE 相似 则 上式分子和分母分别乘以 f 和 mg 有 经 B 点时滑块还有动能 20J 故它从 B 运动到 C 的过程中以按 1 3 的比例转化能量 即增加势能 EPBC EKB 15J 故滑块上升过程中需克服摩擦力做功 WfAC 25J 返回 A 的 3 4 过程中 滑块受到的摩擦力大小不变 方向沿斜面向上 仍需克服摩擦力做功 25J 因此由 A 到 C 再返回 A 的全过程 Wf 总 50J 返回 A 点滑块还有动能 50J 五 利用指数 对数方法求解 在一些连续的物理过程中 某些物理量是按指数或对数规律变化的 这时要用指数 对 数及数列的知识加以分析 表达和求解 例 8 在一个容积为 V0的密闭容器中 装有压强为 p0的某种气体 用活塞式抽气机抽其 中的气体 在活塞往返运动中 抽气机气室的最小容积可视为零 最大容积为 V 且假设 抽气过程中气体温度保持不变 则向 n 次后 密闭容器中气体的压强多大 分析和解 每抽一次 密闭容器中的气体体积由 V0变为 V0 V 压强由 p0变为 pn 1 注意到此变化过程中气体质量保持不变 且温度也不变 故可用玻意耳定律 0010 p VpVV 0 10 0 V pp VV 图 3 3 8 图 3 3 9 抽第二次时 1020 pVpVV 2 00 210 00 VV ppp VVVV 由此可知抽 n 次后气体压强为 0 0 0 n n V pp VV 如果题意所要求的是 为使容器中的气体压强减为 10 4p0 需要抽气几次 则需运用对 数知识进行具体计算 二 渗透函数思想 对于物理规律的描写有两种方法 其一为物理描写法 二为数学描写法 所谓物理描写 就是对物理概念 物理定理 物理规律的文字说明 所谓数学描写法就是对物理概念 物理 定理 物理规律的数学表达 即函数描写 函数是数学的一个重要的内容 函数方法是描述 分析 讨论物理量变化规律的重要方法 高中物理中所用到的函数主要有正比函数 反比函 数 一次函数 二次函数和三角函数 指数函数等 变量在物理问题的研究中 虽然可以取不同的数值 但是它的取值范围往往有一定的限 制 也就是说函数的定义域受物理条件的制约 因此 与之对应的函数值域往往也有一定限 制 例 9 如图 3 3 10 所示 一辆四分之一圆弧小车停在不光滑水平地面上 质量为 m 的小球从静止开始由车顶无摩擦滑下 且小车始终保持静止状态 试分析 当小球运动到什 么位置时 地面对小车的摩擦力最大 最大值是多少 分析和解 设圆弧半径为 R 当小球运动到重力 mg 与半径夹角 为 时 速度为 v 根据机械能守恒定律和牛顿第二定律有 2 2 1 cos 2 cos mvmgR v Nmgm R 解得小球对小车的压力为 N 3mgcos 其水平分量为 Nx 3mgsin cos 2sin 2 3 mg 根据平衡条件 地面对小车的静摩擦力水平向右 大小为 f Nx 2sin 2 3 mg 可以看出 当 sin2 1 即 45 时 地面对小车的静摩擦力最大 其值为 fmax mg 2 3 例 10 如图 3 3 11 所示 质量为 m 的物体恰好能在倾角为 的斜面上匀速下滑 如 在物体上施加一个力 F 使物体沿斜面匀速上滑 为了使得力 F 取最小值 这个力与斜面的倾 斜角 为多大 这个力的最小值是多少 如果要求力把物体从斜面 的底端拉到最高点做功最少 求拉力的方向和所做的最小的 功 设斜面长 l O m g N 图 3 3 10 图 3 3 11 分析和解 物体从斜面的上端恰好能匀速下滑 由平衡条件得 mgsin mgcos tg 在 F 的作用下物体向斜面上运动的过程中 F 的沿斜面分量及物体与斜面间的滑动摩擦 力均与 角的大小有关 在力 F 拉物体沿斜面匀速上升时 根据物体的平衡条件得 选沿斜 面向上方向为 x 轴正方向 垂直于斜面向上为 y 轴正方向 Fcos mgsin f 0 Fsin N mg cos 0 其中 N 为斜面对物体的支持力 且 f N tg N 由 两式可以解得 sincos cossin Fmg 上式中分子 sin co mg 是一个确定值 F 的大小随分母变化 分母 cos sin 2 22 1 1 cossin 11 sin 2 1 当 sin 1 即 90 时 分母最大 F 最小 因为 arctg 所以 90 arctg 时 F 取小值 1 2 sincos 1 mg 物体从底到最高点力做功最少必须满足两个条件 其一是物体不受斜面的摩擦力 因为 没有摩擦时物体在运动到最高点的过程中不需要克服摩擦力做功 其二是物体沿斜面的向上 应该是匀速的 在匀速向上运动时 F 所做的功不需要增加物体的动能 由以上两点可得 sincos cossin Fmg Fmg 两式相比 当 tan ctg 时 F 做功最少 根据 Fsin mgcos 2 得Wmin Fcos l mglsin cos sin mg Fmg 例 11 如图 3 3 12 所示 已知电源电动势 E 6 3V 内电阻 r 0 5 固定电阻 R1 2 R2 3 R3是阻值为 5 的滑动变阻器 按下开关 K 调节 滑动变阻器的触点 求通过电源的电流范围 分析和解 设变阻器的触点把电阻 R3分成 R0和 R3 R0两部分 等 效电路如图 19 所示 电路的外电阻 R 有 10 225 10 325 11 1 2 000 03102 R R R RRRRR 当 R0 2 0 即 R0 2 时 图 3 3 12 E 图 3 3 13 E 外电阻最大 其大小为 R 最大 10 23225 2 5 当外电阻最大时 通过电池的电流最小 I 最小 A 6 3 2 1 2 50 5 m E I Rr 当 R0 R2 5 时外电阻最小 其大小为 10 53255 R最小 1 6 当外电阻最小时 通过电池的电流最大 A rR I 5061 36 最小 最大 3 0A 所以电流的变化范围在 2 1A 到 3A 之间 三 渗透几何思想 数与形紧密结合 通过抽象思维 用几何图形把物理过程或物理量之间的关系直观 形 象地加以表现 是几何方法的基本特征和主要解题手段 同时几何思想是解决矢量问题的一 种快捷方式 有关矢量的分解与合成是以图形为载体的物理规律 脱离了几何图形谈矢量的 分解与合成也就成了无源之水 另外 在几何光学 带电粒子在磁场中的偏转等知识点上渗 透几何思想也是必不可少的 例 12 1mol 理想气体缓慢地经历了一个循环过程 在 p V 图中这过程是一个椭圆 如 图 3 3 14 所示 已知此气体若处在与椭圆中心 O 点对应的 状态时 其温度为 T0 300K 求在整个循环过程中气体的最高 温度 T1和最低温度 T2各是多少 分析和解 由题给条件 可列出两个相对独立的方程 气体循环过程的椭圆方程和理想气体的状态方程 即 两方程中含三个未知量 直接对 两式进行演算 要求出循环 过程中的最高温度 或最低温度 是较为困难的 现根据 式引入含参数定义的方程 为 图 3 3 14 式则转化为 0 111 1sincossincos 224 TT 上式中 为 点对应的温度 因为 4 1 2 而 1 4 1 所以 当 取 时 由 式知 1 2 将上式代入 式得 1 1 2 1 4 1 2 即最高温度 549 当 取 时 由 式知 1 2 代入 式 得 1 1 2 1 4 1 2 即最低温度 125 四 渗透归纳思想 物理过程的重复性是物理题目中的一个难点 解决它的方法是多次利用同一个物理依据 解决起来较为复杂 且数学计算也较庞大 易于出错 往往一个题的解决需要特大篇幅 但 是如果我们渗透数学中的归纳思想 通过开始的几个过程利用数学归纳法写出一个通式 借 助于此通式解决就非常简单了 它简化了解题的步骤 减少了篇幅 例 13 1995 年全国 30 题 如图 3 3 15 所示 一排人站在沿x轴的水平轨道旁 原点O两侧的人的序号都为 n n 1 2 3 每人只有一个沙 袋 x 0 一侧的每个沙袋质量为m 14kg x 0 一侧的每个沙袋质量为m 10kg 一质量为 M 48kg 的小车以某初速度从原点出发向正x方向滑行 不计轨道阻力 当车每经过一人身 旁时 此人就把沙袋以水平速度 u 朝与车速相反的方向沿车面扔到车上 u的大小等于扔此 袋之前的瞬间车速大小的 2n倍 n是此人的序号数 1 空车出发后 车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行 2 车上最终有大小沙袋共多少个 分析和解 本题的主要理论依据是动量守恒定律 同时结合推理过程的数学归纳法及解 不等式 图 3 3 15 1 当向右经过第 1 个人时有 Mv0 m 2 1 v0 M 1m v1 经过第 2 个人时有 M 1m v1 m 2 2 v1 M 2m v2 经过第 3 个人时有 M 2m v2 m 2 3 v2 M 3m v3 按数学归纳法 经过第n个人时有 解之 仍照 1 式 可以推出 小车反向运动的条件是vn 1 0 un 0 即M nm 0 M n 1 m 0 代入数据 得 n n n应为整数 故n 3 即车上堆积 3 个沙袋后车就反向滑行 2 当车上放着 3 个沙袋 以某一速度设v 0 向左滑行时 其物理过程 除最初的 质量为M 3m 初速为v 0外完全相同 仍可依照 1 式的结论 推出 及 车不再向左滑行的条件是 v n 1 0 v n 0 即M 3m nm 0 M 3m n 1 m 0 代入数据 n 9 n 8 时 车停止滑行 即在 x一侧共有 8 个沙袋 抛到车上车就停止运动 所以最 终车上共有沙袋 3 8 11 个 五 渗透数列思想 等差数列和等比数列是数学中的重要章节 在物理中渗透数列思想有十分重要意义 学 习物理的一个重要方法就是跟踪研究对象 考查它的物理过程 如果物理过程有一定的重复 性 且所求解的物理量是贯穿于整个过程的一个过程量 并非状态量 此时如果仅用物理知 识 一个过程一个过程进行分析计算 问题就会非常复杂 甚至于求解不出结果 但是利用 数学中的数列知识求解就容易的多 例 14 如图 3 3 16 所示 光滑的水平桌面上 钉有两枚铁钉 A 和 B 相距 0 1m 长 l m 的柔软细线 一端拴在 A 上 另一端拴住一个质量为 500 g 的小球 小球的初始位置在 AB 连线上 A 的一侧 把细线 拉直 给小球以 2m s 垂直于细线方向的水平速度 使它 作圆周运动 使绳子逐渐被缠绕在 AB 上 1 如果细绳不会断裂 小球从开始运动到细绳完全 缠在 A B 上需要多长时间 2 如果细线所能承受最大拉力为 7N 从小球从开始运动到细线断裂用时多少 分析和解 在第一个半周期内 细绳拉力 时间 2 1 0 v Fm L 0 1 L t v 在第二个半周期内 细绳拉力 时间 2 2 0AB v Fm LL 0 2 AB LL t v 在第三个半周期内 细绳拉力 时间 2 3 0 2 AB v Fm LL 0 3 2 AB LL t v 在第 n 个半周期内 细绳拉力 时间 2 0 1 n AB v Fm LnL 0 1 AB n LnL t v 由于 解得 n 10 0 1 10 0 1 AB L L 1 小球从开始运动到细绳完全缠在 A B 上需要的时间为 1210 0 0 10 12 10 1 10 10 1 100 1 8 6 s 2 AB tttt LL v L v 图 3 3 16 2 设在第 x 个半周期内细绳的拉力为 7N 由代入数据得 x 8 2 0 1 n AB v Fm LnL 则所经历的时间为 s 0 8 8 1 8 8 1 8 8 10 1 8 2 222 AB tLL v 创新训练 1 甲乙两物体沿同方向在同一直线上运动 甲以速度 0 v 做匀速运动 乙从静止开始以 加速度a做匀加速直线运动 开始时乙在甲前 相距为 S 求当 S 满 足什么条件时 1 甲 乙只能相遇一次 2 甲乙能相遇两次 2 如图 3 3 17 所示 倾角为 的斜面上方有一点 O 从 O 点作一光滑的直轨道 要求一质点从 O 点沿直轨道到达斜面 P 点的 时间最短 求直轨道与竖直方向夹角 多大 3 我们在火车站常看到载重列车启动时 机车要往后倒退一下 目的是使各节车厢之间 的挂钩都离开一段距离 以便于启动 这是因为机车和车厢与铁轨之间的最大静摩擦力大于 它们之间的动摩擦力 若机车不倒退直接启动 启动以后机车和车厢与铁轨之间的摩擦力由 静摩擦力变为动摩擦力 当列车加速到一定的速度后 列车的机车就必须减少牵引力使列车 匀速直线运动 资源不能得到充分的利用 所以载重列车常常采用我们所见到的启动方式启 动 今有一列载重列车 若它不倒退以恒定的牵引力直接启动 机车的牵引力能带动 49 节车 厢 不含机车 那么它利用倒退后用同样大小的恒定牵引力启动 该机车启动 59 节同样质 量的车厢以后 恰好做匀速直线运动 已知机车与各节车厢的质量均为 m 机车和各节车厢 与铁轨之间的动摩擦力为 mg 假设机车倒退后 各节车厢之间的挂钩离开相同的距离 s 机车加速后 每拉动一节车厢的瞬间可近似地认为满足动量守恒定律的条件 求 1 每一节车厢与铁轨之间的最大静摩擦力 2 列车采用机车倒退的方式启动后做匀速直线运动的速度 最终结果可以用根式表示 4 2004 年江苏 18 题 一个质量为 M 的雪橇静止在水平雪地上 一条质量为 m 的爱 斯基摩狗站在该雪橇上 狗向雪橇的正后方跳下 随后又追赶并向前跳上雪橇 其后狗又反 复地跳下 追赶并跳上雪橇 狗与雪橇始终沿一条直线运动 若狗跳离雪橇时雪橇的速度为 V 则此时狗相对于地面的速度为 V u 其中 u 为狗相对于雪橇的速度 V u 为代数和 若以 雪橇运动的方向为正方向 则 V 为正值 u 为负值 设狗总以速度 v 追赶和跳上雪橇 雪橇 与雪地间的摩擦忽略不计 已知 v 的大小为 5m s u 的大小为 4m s M 30kg m 10kg 1 求狗第一次跳上雪橇后两者的共同速度的大小 2 求雪橇最终速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次数 供使用但不一定用到的对数值 lg2 0 301 lg3 0 477 5 如图 3 3 18 所示为一种获得高能粒子的装置 环形区域内存在垂直纸面向外 大 小可调节的均匀磁场 质量为 m 电量为 q 的粒子在环中作半径为 R 的圆周运动 A B 为两块中心开有小孔的 图 3 3 17 图 3 3 18图 3 3 19 极板 原来电势都为零 每当粒子飞经 A 板时 A 板电势升高为 U B 板电势仍保持为零 粒子在两板间电场中得到加速 每当粒子离开 B 板时 A 板电势又降为零 粒子在电场一次 次加速下动能不断增大 而绕行半径不变 1 设 t 0 时 粒子静止在 A 板小孔处 在电场作用下加速 并绕行第一圈 求粒子 绕行 n 圈回到 A 板时获得的总动能 En 2 为使粒子始终保持在半径为 R 的圆轨道上运动 磁场必须周期性地递增 求粒子 绕行第 n 圈时磁感应强度 Bn 3 求粒子绕行 n 圈所需的总时间 tn 设极板间距离远小于 R 4 在图 3 3 19 中画出 A 板电势 u 与时间 t 的关系 从 t 0 起 画到粒子第四次离开 B 板时即可 5 在粒子绕行的整个过程中 A 板电势是否可始终保 持 U 为什么 6 如图 3 3 20 所示的分压电路中 滑线变阻器的总 电阻 电压 U 恒定不变 为了使滑动触头 K 在左右移R 100 动过程中 负载 Rf上的电压 Uf始终不低于空载时输出电压的 90 求负载 Rf的最小值应是多少 7 在纳米技术中需要移动式修补原子 必须使在不停地 做热运动 速率约几百米每秒 的原子几乎静止下来且能在一个小的空间区域内停留一段时 间 为此华裔诺贝尔物理奖得主朱棣文发明了 激光致冷 技术 若把原子和入射光子看成 两个小球 则 激光致冷 与下述力学模型类似 一质量为 M 的小球 A 以速度 v0水平向右 运动 如 3 3 21 所示 一个动量大小为 p 的小球 B 水平 向左射向小球 A 并与之发生碰撞 当两球形变量最大时 形变量突然被锁定一段时间 T 然后突然解除锁定使小球 B 以大小相同的动量 p 水平向右弹出 紧接着小球 B 再次 以大小为 p 的动量水平向左射向小球 A 如此不断重复上述过程 小球 B 每次射入时动量大 小为 p 弹出时动量大小仍为 p 最终小球 A 将停止运动 设地面光滑 除锁定时间 T 外 其他时间均可不计 求 1 小球 B 每一次入射后再弹出时 小球 A 的速度大小和这一过程中小球 A 动能的减 少量 2 从小球 B 第一次入射开始到小球 A 停止运动所经历的时间 8 在研究性学习中 某同学设计了一个测定带电粒子比荷的实验 其实验装置如 3 3 22 所示 abcd 是一个边长为 L 的正方形盒子 在 a 处和 cd 边的 的中点 e 处各有一个小孔 e 外有一能显示粒子从 e 孔射出的荧光屏 M 盒子内有一方向垂直于 abcd 平面的匀强磁场 磁感强度大小为 B 粒子源不断地发射相同的带电粒子 粒子的初速度可忽略 先让粒子 经过电压为 U 的电场加速 然后粒子立即由 a 孔射入盒内 粒子经磁场 偏转后恰好从 e 孔射出 不计粒子的重力和粒子之间的相互作用 问 你认为该同学的设计方案可行吗 若可行 求出带电粒子的比荷 q m 若不可行 说明你的理由 参考解答 图 3 3 20 图 3 3 21 图 3 3 22 1 1 2 2 0 2 v S a 2 0 2 v S a 分析和解 甲乙相遇时它们位移之差为 S 可推测相遇时间t必与 S 有关 t是否有实数 解取决于 S 是否满足判别式大于或等于零 设甲 乙相遇时间为t 则 S甲 S乙 S 2 0 1 2 v tatS 整理得 0 22 02 a S a tv t 这个二次方程判别式为 ACB4 2 2 0 22 4 vS aa 2 0 2 48vS aa 当 0 时 t有两解 t的解都大于零则相遇两次 即则时相遇两次 2 0 2 48vS aa 2 0 2 v S a 0 时 t有一个解甲乙相遇一次 即 得时 甲乙相遇一次 2 0 2 48vS aa 2 0 2 v S a 2 2 分析和解 质点沿 OP 做匀加速直线运动 时间为t 应与 有关 由牛顿第二定律知 加速度 cosga 设物体由静止从 O 滑到 P 得 在 OPC 中 2 1 2 OPat 2 cos OP t g 90sin 90sin OCOP cos cos OC OP cos cos cos2 g OC t g OC t 2cos cos cos4 当时 t最小 即时 t最小 cos 2 1 2 OP 与竖直方向夹角为时 物体滑到斜面上时间最短 2 另解 已知在竖直平面内 从圆的最高点沿任意一条弦滑到圆上另一点时间相等为 g R g R 2 4 过 O 点作圆 圆心在过 O 点的竖直线上 圆的半径越大 物体下滑时间越长 当圆与 斜面切时 物体滑到斜面上的时间最短 可以证明 O P 与竖直方向夹角等于 PO与竖直 方向夹角为 的一半 OP 与竖直方向夹角为时 下滑时间最短 2 3 1 fm 1 2 mg 2 分析和解 1 设每节车厢所受最大静摩擦力为 fm 机车的牵引为为 F 直接启动时 有 F 49 1 fm 当采用倒退方式启动时 有 F 59 1 mg 由 两式可得 fm 1 2 mg 2 设第一节车厢被拉动前 机车的速度为 V1 被拉动后机车的速度为 V1 由动能定理有 由动量守恒定律有 由 得 设第二节车厢被拉动前 机车的速度为 V2 被拉动后 机车的速度为 V2 由动能定理有 由动量守恒定律有 由 得 同理可得 由数学归纳法有 即 列车采用倒退的方式启动后做匀速直线运动的速度为 4 1 2 5 625m s 3 次 1 2m sV 分析和解 1 设雪橇运动的方向为正方向 狗第 1 次跳下雪橇后雪橇的速度为 V1 根据动量守恒定 律 有 0 11 uVmMV 狗第 1 次跳上雪橇时 雪橇与狗的共同速度满足 1 V 11 VmMmvMV 可解得 2 1 mM mvmMMmu V 将代入 得 4m s 5m s 30kg 10kguvMm 1 2m sV 2 解法 一 设雪橇运动的方向为正方向 狗第 n 1 次跳下雪橇后雪橇的速度为 Vn 1 则狗第 n 1 次跳上雪橇后的速度满足 1 n V 11 nn VmMmvMV 这样 狗 n 次跳下雪橇后 雪橇的速度为 Vn满足 1 nnn VmMuVmMV 解得 11 1 nn n mM M mM mu mM M uvV 狗追不上雪橇的条件是 Vn v 可化为 vmMMu umM mM M n 1 最后可求得 lg lg 1 M mM umM vmMMu n 代入数据 得 41 3 n 狗最多能跳上雪橇 3 次 雪橇最终的速度大小为 V4 5 625m s 解法 二 设雪橇运动的方向为正方向 狗第 i 次跳下雪橇后 雪橇的速度为 Vi 狗的速度为 Vi u 狗第 i 次跳上雪橇后 雪橇和狗的共同速度为 由动量守恒定律可得 1 V 第一次跳下雪橇 MV1 m V1 u 0 V1 sm mM mu 1 第一次跳上雪橇 MV1 mv M m 1 V 第二次跳下雪橇 M m MV2