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非线性目标函数的最值问题 1 1 了解非线性目标函数所表示的几何意义2 能够通过对目标函数进行变形转化进而讨论求得目标函数的最值或范围 2 如何求线性目标函数z ax by最值 如最大值 当b 0时 最大值是将直线ax by 0在可行域内向上平移到端点 一般是两直线交点 的位置得到的 当b 0时 则是向下方平移得到的 可知线性目标函数的最值是通过将目标函数直线上下平移得到 3 探究1 对形如目标函数的最值 距离型 4 图1 例1 如图1 已知 1 求可行域内的点 x y 到原点的距离 的表达式 2 求z的取值范围 3 求的最小值 解析 1 2 由图可知 A点坐标为 1 2 OA 3 由 2 知 所以的最小值为5点评 本题属非线性规划最优解问题 求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下 作出可行域 寻求最优解 5 小结1 的几何意义 的几何意义表示点 x y 与 a b 的距离 2 的几何意义 表示点 x y 与原点 0 0 的距离所以 形如的目标函数的几何意义 表示平面区域内的点 x y 与点 a b 的距离的平方 6 若x y满足 则可行域内的点到点 1 1 的距离范围是 x 1 2 y 1 2的取值范围是 A 1 1 7 探究2 对形如目标函数的最值 斜率型 8 如图2 实数x y满足不等式组 则可行域内的点 x y 到点 1 1 连线的斜率k的取值范围是 的最小值是 Y 解析 1 由图可知 斜率k的取值范围为 2 因为所以的取值范围也为 1 9 小结2 的几何意义 表示点 x y 与点 a b 连线的斜率 2 的几何意义 表示 x y 与原点 0 0 连线的斜率 所以形如的目标函数的几何意义就是 平面区域内的点 x y 与点 a b 连线的斜率 10 小结2 表示点 x y 与原点 0 0 连线的斜率 表示点 x y 与点 a b 连线的斜率 若实数x y满足 则的取值范围是 解析 本题考查线性规划问题的应用 关键是对的几何意义的利用 11 解 作出可行域 如图所示 表示点 x y 与坐标原点连线的斜率当 x y 在边界x y 1 0 x 0 上移动时 有当点 x y 在区域内移动时 故的取值范围是 12 已知 求 1 的最小值 2 的范围 13 X x y 4 0 解 作出可行域 如图所示A 1 3 B 3 1 C 7 9 表示可行域内任一点 x y 到点M 0 5 的距离的平方 过M作AC的垂线交于N 易知垂足在AC上 故故的最小值为 14 表示可行域内点 x y 与定点连线斜率的2倍 故的范围是 15
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