高考数学模拟试卷(衡中)

第 1 页 共 23 页 2018 年年衡中衡中高考数学全真模拟试卷 理科 高考数学全真模拟试卷 理科 第 1 卷 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分分 在每个小题给出的四个选项中 只在每个小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 5 分 2018 衡中模拟 已知集合 A x x2 1 B y y x 则 A B A B 0 1 C 0 1 D 0 1 2 5 分 2018 衡中模拟 设随机变量 N 3 2 若 P 4 0 2 则 P 3 4 A 0 8B 0 4C 0 3D 0 2 3 5 分 2018 衡中模拟 已知复数 z i 为虚数单位 则 3 A 1B 1C D 4 5 分 2018 衡中模拟 过双曲线 1 a 0 b 0 的一个焦点 F 作两渐近线 的垂线 垂足分别为 P Q 若 PFQ 则双曲线的渐近线方程为 A y xB y x C y xD y x 5 5 分 2018 衡中模拟 将半径为 1 的圆分割成面积之比为 1 2 3 的三个扇形作为 三个圆锥的侧面 设这三个圆锥底面半径依次为 r1 r2 r3 那么 r1 r2 r3的值为 A B 2C D 1 6 5 分 2018 衡中模拟 如图是某算法的程序框图 则程序运行后输出的结果是 A 2B 3C 4D 5 7 5 分 2018 衡中模拟 等差数列 an 中 a3 7 a5 11 若 bn 则数列 bn 的前 8 项和为 A B C D 8 5 分 2018 衡中模拟 已知 x 3 10 a0 a1 x 1 a2 x 1 2 a10 x 1 10 则 a8 A 45B 180C 180 D 720 第 2 页 共 23 页 9 5 分 2018 衡中模拟 如图为三棱锥 S ABC 的三视图 其表面积为 A 16B 8 6C 16D 16 6 10 5 分 2018 衡中模拟 已知椭圆 E 1 a b 0 的左焦点 F 3 0 P 为椭圆上一动点 椭圆内部点 M 1 3 满足 PF PM 的最大值为 17 则椭圆的离心率 为 A B C D 11 5 分 2018 衡中模拟 已知 f x 若函数 y f x kx 恒有 一个零点 则 k 的取值范围为 A k 0 B k 0 或 k 1C k 0 或 k eD k 0 或 k 12 5 分 2018 衡中模拟 已知数列 an 的通项公式为 an 2n p 数列 bn 的通项公式 为 bn 2n 4 设 cn 若在数列 cn 中 c6 cn n N n 6 则 p 的取值范 围 A 11 25 B 12 22 C 12 17 D 14 20 第 3 页 共 23 页 第 2 卷 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 把答案填在题中的横线上 分 把答案填在题中的横线上 13 5 分 2018 衡中模拟 若平面向量 满足 2 2 则 在 上 的投影为 14 5 分 2018 衡中模拟 若数列 an 满足 a1 a2 1 an 2 则数列 an 前 2n 项和 S2n 15 5 分 2018 衡中模拟 若直线 ax a 2 y 4 a 0 把区域分成面积相 等的两部分 则的最大值为 16 5 分 2018 衡中模拟 已知函数 f x a 1 lnx x2 a 1 对任 意的 x1 x2 0 恒有 f x1 f x2 4 x1 x2 则 a 的取值范围为 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 小题 共小题 共 70 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 12 分 2018 衡中模拟 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 满足 c 1 且 cosBsinC a sinB cos A B 0 1 求 C 的大小 2 求 a2 b2的最大值 并求取得最大值时角 A B 的值 18 12 分 2018 衡中模拟 如图 在四棱锥 P ABCD 中 侧棱 PA 底面 ABCD AD BC ABC 90 PA AB BC 2 AD 1 M 是棱 PB 中点 求证 平面 PBC 平面 PCD 第 4 页 共 23 页 设点 N 是线段 CD 上一动点 且 当直线 MN 与平面 PAB 所成的角最大时 求 的值 19 12 分 2018 衡中模拟 如图是两个独立的转盘 A B 在两个图中三个扇形 区域的圆心角分别为 60 120 180 用这两个转盘进行游戏 规则是 同时转动两个转 盘待指针停下 当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时 则这次转动无效 重新开 始 记转盘 A 指针所对的区域为 x 转盘 B 指针所对的区域为 y x y 1 2 3 设 x y 的值为 求 x 2 且 y 1 的概率 求随机变量 的分布列与数学期望 20 12 分 2018 衡中模拟 已知椭圆 E 1 a b 0 倾斜角为 45 的直线 与椭圆相交于 M N 两点 且线段 MN 的中点为 1 过椭圆 E 内一点 P 1 的两条直线分别与椭圆交于点 A C 和 B D 且满足 其中 为实 数 当直线 AP 平行于 x 轴时 对应的 求椭圆 E 的方程 当 变化时 kAB是否为定值 若是 请求出此定值 若不是 请说明理由 第 5 页 共 23 页 21 12 分 2018 衡中模拟 已知函数 f x 曲线 y f x 在点 x e2处的切线 与直线 x 2y e 0 平行 若函数 g x f x ax 在 1 上是减函数 求实数 a 的最小值 若函数 F x f x 无零点 求 k 的取值范围 选修选修 4 1 几何证明选讲 几何证明选讲 22 10 分 2018 衡中模拟 如图所示 AC 为 O 的直径 D 为的中点 E 为 BC 的 中点 求证 DE AB 求证 AC BC 2AD CD 第 6 页 共 23 页 选修选修 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 23 2018 衡中模拟 在平面直角坐标系中 直线 l 的参数方程为 t 为参数 在以直角坐标系的原点 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中 曲线 C 的极坐标方 程为 1 求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程 2 若直线 l 与曲线 C 相交于 A B 两点 求 AOB 的面积 选修选修 4 5 不等式选讲 不等式选讲 24 2018 衡中模拟 已知函数 f x x l x 3 I 解不等式 f x 6 若不等式 f x ax 1 对任意 x R 恒成立 求实数 a 的取值范围 第 7 页 共 23 页 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分分 在每个小题给出的四个选项中 只在每个小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 5 分 2018 衡中模拟 已知集合 A x x2 1 B y y x 则 A B A B 0 1 C 0 1 D 0 1 解答 解 A x x2 1 x 1 x 1 B y y x 0 则 A B 0 1 故选 C 2 5 分 2018 衡中模拟 设随机变量 N 3 2 若 P 4 0 2 则 P 3 4 A 0 8B 0 4C 0 3D 0 2 解答 解 随机变量 X 服从正态分布 N 3 2 3 得对称轴是 x 3 P 4 0 2 P 3 4 0 5 0 2 0 3 故选 C 3 5 分 2018 衡中模拟 已知复数 z i 为虚数单位 则 3 A 1B 1C D 解答 解 复数 z 可得 cos isin 则 3 cos4 isin4 1 故选 A 4 5 分 2018 衡中模拟 过双曲线 1 a 0 b 0 的一个焦点 F 作两渐近线 的垂线 垂足分别为 P Q 若 PFQ 则双曲线的渐近线方程为 A y xB y x C y xD y x 解答 解 如图若 PFQ 则由对称性得 QFO 第 8 页 共 23 页 则 QOx 即 OQ 的斜率 k tan 则双曲线渐近线的方程为 y x 故选 B 5 5 分 2018 衡中模拟 将半径为 1 的圆分割成面积之比为 1 2 3 的三个扇形作为 三个圆锥的侧面 设这三个圆锥底面半径依次为 r1 r2 r3 那么 r1 r2 r3的值为 A B 2C D 1 解答 解 2 r1 r1 同理 r1 r2 r3 1 故选 D 6 5 分 2018 衡中模拟 如图是某算法的程序框图 则程序运行后输出的结果是 A 2B 3C 4D 5 解答 解 第一次循环 sin sin0 即 1 0 成立 a 1 T 1 k 2 k 6 成立 第二次循环 sin sin 即 0 1 不成立 a 0 T 1 k 3 k 6 成立 第 9 页 共 23 页 第三次循环 sin sin 即 1 0 不成立 a 0 T 1 k 4 k 6 成立 第四次循环 sin2 sin 即 0 1 成立 a 1 T 1 1 2 k 5 k 6 成立 第五次循环 sin sin2 即 1 0 成立 a 1 T 2 1 3 k 6 k 6 不成立 输出 T 3 故选 B 7 5 分 2018 衡中模拟 等差数列 an 中 a3 7 a5 11 若 bn 则数列 bn 的前 8 项和为 A B C D 解答 解 设等差数列 an 的公差为 d a3 7 a5 11 解得 a1 3 d 2 an 3 2 n 1 2n 1 b8 1 1 故选 B 8 5 分 2018 衡中模拟 已知 x 3 10 a0 a1 x 1 a2 x 1 2 a10 x 1 10 则 a8 A 45B 180C 180 D 720 解答 解 x 3 10 x 1 4 10 故选 D 9 5 分 2018 衡中模拟 如图为三棱锥 S ABC 的三视图 其表面积为 第 10 页 共 23 页 A 16B 8 6C 16D 16 6 解答 解 由三视图可知该三棱锥为边长为 2 4 4 的长方体切去四个小棱锥得到的几 何体 三棱锥的三条边长分别为 表面积为 4 16 故选 C 10 5 分 2018 衡中模拟 已知椭圆 E 1 a b 0 的左焦点 F 3 0 P 为椭圆上一动点 椭圆内部点 M 1 3 满足 PF PM 的最大值为 17 则椭圆的离心率 为 A B C D 解答 解 设右焦点为 Q 由 F 3 0 可得 Q 3 0 由椭圆的定义可得 PF PQ 2a 即 PF 2a PQ 则 PM PF 2a PM PQ 2a MQ 当 P M Q 共线时 取得等号 即最大值 2a MQ 由 MQ 5 可得 2a 5 17 所以 a 6 第 11 页 共 23 页 则 e 故选 A 11 5 分 2018 衡中模拟 已知 f x 若函数 y f x kx 恒有 一个零点 则 k 的取值范围为 A k 0 B k 0 或 k 1C k 0 或 k eD k 0 或 k 解答 解 由 y f x kx 0 得 f x kx 作出函数 f x 和 y kx 的图象如图 由图象知当 k 0 时 函数 f x 和 y kx 恒有一个交点 当 x 0 时 函数 f x ln x 1 的导数 f x 则 f 0 1 当 x 0 时 函数 f x ex 1 的导数 f x ex 则 f 0 e0 1 即当 k 1 时 y x 是函数 f x 的切线 则当 0 k 1 时 函数 f x 和 y kx 有 3 个交点 不满足条件 当 k 1 时 函数 f x 和 y kx 有 1 个交点 满足条件 综上 k 的取值范围为 k 0 或 k 1 故选 B 12 5 分 2018 衡中模拟 已知数列 an 的通项公式为 an 2n p 数列 bn 的通项公式 为 bn 2n 4 设 cn 若在数列 cn 中 c6 cn n N n 6 则 p 的取值范 围 A 11 25 B 12 22 C 12 17 D 14 20 解答 解 an bn 2n p 2n 4 an bn随着 n 变大而变小 第 12 页 共 23 页 又 an 2n p 随着 n 变大而变小 bn 2n 4随着 n 变大而变大 1 当 2 当 综上 p 14 20 故选 D 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 把答案填在题中的横线上 分 把答案填在题中的横线上 13 5 分 2018 衡中模拟 若平面向量 满足 2 2 则 在 上 的投影为 1 解答 解 根据条件 7 在上的投影为 故答案为 1 14 5 分 2018 衡中模拟 若数列 an 满足 a1 a2 1 an 2 则数列 an 前 2n 项和 S2n 2n n2 1 解答 解 数列 an 满足 a1 a2 1 an 2 n 2k 1 时 a2k 1 a2k 1 2 为等差数列 n 2k 时 a2k 2 2a2k 为等比数列 第 13 页 共 23 页 故答案为 2n n2 1 15 5 分 2018 衡中模拟 若直线 ax a 2 y 4 a 0 把区域分成面积相 等的两部分 则的最大值为 2 解答 解 由 ax a 2 y 4 a 0 得 a x y 1 4 2y 0 则得 即直线恒过 C 1 2 若将区域分成面积相等的两部分 则直线过 AB 的中点 D 由得 即 A 1 6 B 3 0 中点 D 2 3 代入 a x y 1 4 2y 0 得 4a 2 0 则 则的几何意义是区域内的点到点 2 0 的斜率 由图象过 AC 的斜率最大 此时最大值为 2 故答案为 2 16 5 分 2018 衡中模拟 已知函数 f x a 1 lnx x2 a 1 对任 意的 x1 x2 0 恒有 f x1 f x2 4 x1 x2 则 a 的取值范围为 2 第 14 页 共 23 页 解答 解 由 f x x 得 f 1 3a 1 所以 f x a 1 lnx ax2 a 1 在 0 单调递减 不妨设 0 x1 x2 则 f x1 f x2 4x2 4x1 即 f x1 4x1 f x2 4x2 令 F x f x 4x F x f x 4 2ax 4 等价于 F x 在 0 上单调递减 故 F x 0 恒成立 即 2ax 4 0 所以恒成立 得 a 2 故答案为 2 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 小题 共小题 共 70 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 12 分 2018 衡中模拟 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 满足 c 1 且 cosBsinC a sinB cos A B 0 1 求 C 的大小 2 求 a2 b2的最大值 并求取得最大值时角 A B 的值 解答 解 1 cosBsinC a sinB cos A B 0 可得 cosBsinC a sinB cosC 0 即 sinA acosC 0 由正弦定理可知 c 1 asinC acosC 0 sinC cosC 0 可得sin C 0 C 是三角形内角 C 2 由余弦定理可知 c2 a2 b2 2abcosC 第 15 页 共 23 页 得 1 a2 b2 ab 又 即 当时 a2 b2取到最大值为 2 18 12 分 2018 衡中模拟 如图 在四棱锥 P ABCD 中 侧棱 PA 底面 ABCD AD BC ABC 90 PA AB BC 2 AD 1 M 是棱 PB 中点 求证 平面 PBC 平面 PCD 设点 N 是线段 CD 上一动点 且 当直线 MN 与平面 PAB 所成的角最大时 求 的值 解答 证明 1 取 PC 的中点 E 则连接 DE ME 是 PBC 的中位线 ME 又 AD MEAD 四边形 AMED 是平行四边形 AM DE PA AB M 是 PB 的中点 AM PB PA 平面 ABCD BC 平面 ABCD PA BC 又 BC AB PA AB A BC 平面 PAB AM 平面 PAB BC AM 又 PB 平面 PBC BC 平面 PBC PB BC B AM 平面 PBC AM DE DE 平面 PBC 又 DE 平面 PCD 平面 PBC 平面 PCD 2 以 A 为原点 以 AD AB AP 为坐标轴建立空间直角坐标系 如图所示 则 A 0 0 0 B 0 2 0 M 0 1 1 P 0 0 2 C 2 2 0 D 1 0 0 第 16 页 共 23 页 1 2 0 0 1 1 1 0 0 2 0 1 2 0 1 2 1 1 AD 平面 PAB 为平面 PAB 的一个法向量 cos 设 MN 与平面 PAB 所成的角为 则 sin 当 即时 sin 取得最大值 MN 与平面 PAB 所成的角最大时 19 12 分 2018 衡中模拟 如图是两个独立的转盘 A B 在两个图中三个扇形 区域的圆心角分别为 60 120 180 用这两个转盘进行游戏 规则是 同时转动两个转 盘待指针停下 当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时 则这次转动无效 重新开 始 记转盘 A 指针所对的区域为 x 转盘 B 指针所对的区域为 y x y 1 2 3 设 x y 的值为 求 x 2 且 y 1 的概率 求随机变量 的分布列与数学期望 第 17 页 共 23 页 解答 解 1 记转盘 A 指针指向 1 2 3 区域的事件为 A1 A2 A3 同理转盘 B 指针指向 1 2 3 区域的事件为 B1 B2 B3 P A1 P A2 P A3 P B1 P B2 P B3 P P A1 P 1 P B1 1 5 分 2 由已知得 的可能取值为 2 3 4 5 6 P 2 P A1 P B1 P 3 P A1 P B2 P A2 P B1 P 4 P A1 P B3 P A2 P B2 P A3 P B1 P 5 P A2 P B3 P A3 P B2 P 6 P A3 P B3 的分布列为 23456 P E 12 分 20 12 分 2018 衡中模拟 已知椭圆 E 1 a b 0 倾斜角为 45 的直线 与椭圆相交于 M N 两点 且线段 MN 的中点为 1 过椭圆 E 内一点 P 1 的两条直线分别与椭圆交于点 A C 和 B D 且满足 其中 为实 数 当直线 AP 平行于 x 轴时 对应的 求椭圆 E 的方程 当 变化时 kAB是否为定值 若是 请求出此定值 若不是 请说明理由 第 18 页 共 23 页 解答 解 设 M m1 n1 N m2 n2 则 两式相减 故 a2 3b2 2 分 当直线 AP 平行于 x 轴时 设 AC 2d 则 解得 故点 A 或 C 的坐标为 代入椭圆方程 得 4 分 a2 3 b2 1 所以方程为 6 分 设 A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 D x4 y4 由于 可得 A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 D x4 y4 同理可得 8 分 由 得 将点 A B 的坐标代入椭圆方程得 第 19 页 共 23 页 两式相减得 x1 x2 x1 x2 3 y1 y2 y1 y2 0 于是 3 y1 y2 kAB x1 x2 同理可得 3 y3 y4 kCD x3 x4 10 分 于是 3 y3 y4 kAB x3 x4 AB CD kAB kCD 所以 3 y3 y4 kAB x3 x4 由 两式相加得到 3 y1 y2 y3 y4 kAB x1 x2 x3 x4 把 代入上式得 3 1 kAB 2 1 解得 当 变化时 kAB为定值 12 分 21 12 分 2018 衡中模拟 已知函数 f x 曲线 y f x 在点 x e2处的切线 与直线 x 2y e 0 平行 若函数 g x f x ax 在 1 上是减函数 求实数 a 的最小值 若函数 F x f x 无零点 求 k 的取值范围 解答 解 由 得 解得 m 2 故 则 函数 g x 的定义域为 0 1 1 而 又函数 g x 在 1 上是减函数 在 1 上恒成立 当 x 1 时 的最大值 而 即右边的最大值为 第 20 页 共 23 页 故实数 a 的最小值 由题可得 且定义域为 0 1 1 要使函数 F x 无零点 即在 0 1 1 内无解 亦即在 0 1 1 内无解 构造函数 则 1 当 k 0 时 h x 0 在 0 1 1 内恒成立 函数 h x 在 0 1 内单调递减 在 1 内也单调递减 又 h 1 0 当 x 0 1 时 h x 0 即函数 h x 在 0 1 内无零点 同理 当 x 1 时 h x 0 即函数 h x 在 1 内无零点 故 k 0 满足条件 2 当 k 0 时 若 0 k 2 则函数 h x 在 0 1 内单调递减 在内也单调递减 在 内单调递增 又 h 1 0 h x 在 0 1 内无零点 又 而 故在内有一个零点 0 k 2 不满足条件 若 k 2 则函数 h x 在 0 1 内单调递减 在 1 内单调递增 又 h 1 0 当 x 0 1 1 时 h x 0 恒成立 故无零点 k 2 满 足条件 若 k 2 则函数 h x 在内单调递减 在内单调递增 在 1 内也单调递增 又 h 1 0 在及 1 内均无零点 易知 又 h e k k k 2 2ek 2ek k2 2 k 则 k 2 ek k 0 则 k 在 k 2 为增函数 k 2 2e2 6 0 第 21 页 共 23 页 故函数 h x 在内有一零点 k 2 不满足 综上 k 0 或 k 2 选修选修 4 1 几何证明选讲 几何证明选讲 22 10 分 2018 衡中模拟 如图所示 AC 为 O 的直径 D