高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法

高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法 类型一 形如型不等式 Raaxfaxf 解法 根据的符号 准确的去掉绝对值符号 再进一步求解 这也是其他a 类型的解题基础 1 当时 或0 aaxfaaxf axfaxf axf 2 当 无解 使的解集0 aaxf axf 0 xf 3 当时 无解 使成立的的解集 0 aaxf axf xfy x 例 1 2008 年四川高考文科卷 不等式的解集为 2 2 xx A B C D 2 1 1 1 1 2 2 2 解 因为 所以 即 解得 2 2 xx22 2 xx 02 02 2 2 xx xx 所以 故选 A 21x Rx 2 1 x 类型二 形如型不等式 0 abbxfa 解法 将原不等式转化为以下不等式进行求解 或bxfaabbxfa 0 axfb 需要提醒一点的是 该类型的不等式容易错解为 bxfaabbxfa 0 例 2 2004 年高考全国卷 不等式的解集为 311 x A B C D 2 0 4 2 0 2 0 4 2 0 2 4 解 或或 311311 xx11 3 x20 x24 x 故选 D 类型三 形如 型不等式 这类不等式如果用分 xgxf xgxf 类讨论的方法求解 显得比较繁琐 其简洁解法如下 解法 把看成一个大于零的常数进行求解 即 xga 或 xgxfxgxgxf xgxfxgxf xgxf 例 3 2007 年广东高考卷 设函数 若 则312 xxxf5 xf 的取值范围是 x 解 53125 xxxf 2122212 xxxxx 故填 212 212 xx xx 11 1 1 x x x 1 1 类型四 形如型不等式 xgxf 解法 可以利用两边平方 通过移项 使其转化为 两式和 与 两式 差 的积的方法进行 即 2 2 xgxfxgxf 0 0 22 xgxfxgxfxgxf 例 4 2009 年山东高考理科卷 不等式的解集为 0212 xx 解 2120212 xxxx 0 2 12 212 22 22 xxxx 0 2 12 2 12 xxxx11 x 所以原不等式的解集为 11 xx 类型五 形如型不等式 xfxfxfxf 解法 先利用绝对值的定义进行判断 再进一步求解 即 无解 xfxf 0 xfxfxf 例 5 2004 年海南卷 解关于的不等式xa x x a x x 1 1 1 1 解 01 1 1 1 1 1 a x x a x x a x x a x a x 1 1 0 1 1 1 当时 原不等式等价于 0 a10 1 1 x x 2 当时 原不等式等价于 0 a1 1 101 1 x a x a 3 当时 原不等式等价于 或或0 a01 x a x 1 1 1 x a x 1 1 综上所述 1 当时 原不等式的解集为 0 a 1 xx 2 当时 原不等式的解集为 0 a 1 1 1x a x 3 当时 原不等式的解集为 0 a a xxx 1 11或 类型六 形如使恒成立型不等式 cnxmxcnxmx 解法 利用和差关系式 结合极端性原理即可解bababa 得 即 mnnxmxnxmxcnxmxc max mnnxmxnxmxcnxmxc min 例 6 2010 高考安徽卷 不等式对任意的实数恒成aaxx313 2 立 则实数 a 的取值范围是 A B C D 41 52 2 1 21 解 设函数 41313 xxxxxf 所以而不等式对任意的实数恒成立4 max xfaaxx313 2 x 故 故选择 A4143 2 aaaa或 类型七 形如 axgxf 为常数aaxgxf xhxgxf xhxgxf axgxf 为常数aaxgxf xhxgxf xhxgxf 1 解法 对于解含有多个绝对值项的不等式 常采用零点分段法 根据 绝对值的定义分段去掉绝对值号 最后把各种情况综合得出答案 其步骤是 找出零点 确定分段区间 分段求解 确定各段解集 综合取并 去掉所求解 集 亦可集合图像进行求解 例 7 2009 年高考福建理科卷 解不等式112 xx 分析 找出零点 2 1 0 xx 确定分段区间 2 1 2 1 0 0 xxx 解 1 当时 原不等式可化为 0 x112 xx 解得 因为 所以 不存在0 x0 xx 2 当时 原不等式可化为 2 1 0 x112 xx 解得 又因为 所以 0 x 2 1 xx 2 1 xx 3 当时 原不等式可化为 2 1 x112 xx 解得 又 所以 2 x 2 1 x2 2 1 x 综上所述 原不等式的解集为 20 xx 2 特别地 对于形如 axgxf 为常数aaxgxf xhxgxf xhxgxf 型不等式的解法 除了可用零点分段法外 更可转化为以下不等式 即 xhxgxf xhxgxf xhxgxf 或 xhxgxf xhxgxf xhxgxf 例 8 2009 年辽宁高考理科卷 设函数axxxf 1 1 若 解不等式 2 如果求的范围1 a3 xf 2 xfRxa 解 1 当 由得 时 1 a11 xxxf3 xf 311 xxxf 即 或 311 xx 311 xx 解得 即 或 32 x 2 3 x 2 3