高二年级理科数学选修2-1质量检测

高二年级理科数学选修高二年级理科数学选修 2 12 1 质量检测质量检测 测试时间 120 分钟 满分 150 分 注意事项 注意事项 答题前 考生务必将自己的班级 姓名 考试号写在答题纸的密封线内 答题时 答案 写在答题纸上对应题目的空格内 答案写在试卷上无效 本卷考试结束后 上交答 题纸 一 选择题 每小题一 选择题 每小题 5 分 共分 共 12 小题 满分小题 满分 60 分 分 1 已知命题 其中正确的是 tan1pxRx 使 A B tan1pxRx 使tan1pxRx 使 C D tan1pxRx 使tan1pxRx 使 2 抛物线的焦点坐标是 2 4 0 yax a A 0 B 0 C 0 D 0 aaaa 3 设 则是 的 aR 1a 1 1 a A 充分但不必要条件 B 必要但不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 4 已知 ABC 的三个顶点为 A 3 3 2 B 4 3 7 C 0 5 1 则 BC 边上的 中线长为 A 2 B 3 C 4 D 5 5 有以下命题 如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底 那么的关系是不共线 ba ba 为空间四点 且向量不构成空间的一个基底 则点一定 O A B COCOBOA O A B C 共面 已知向量是空间的一个基底 则向量也是空间的一个基底 cba cbaba 其中正确的命题是 A B C D 6 如图 在平行六面体中 为与 1111 DCBAABCD M 11C A 的交点 若 则下列向量中 11D BaAB bAD cAA 1 与相等的向量是 BM A B cba 2 1 2 1 cba 2 1 2 1 C D cba 2 1 2 1 cba 2 1 2 1 7 已知 ABC 的周长为 20 且顶点 B 0 4 C 0 4 则顶点 A 的轨迹方程是 A x 0 B x 0 1 2036 22 yx 1 3620 22 yx C x 0 D x 0 1 206 22 yx 1 620 22 yx 8 过抛物线 y2 4x 的焦点作直线交抛物线于 A x1 y1 B x2 y2 两点 如果 6 21 xx AB A 6 B 8 C 9 D 10 9 若直线与双曲线的右支交于不同的两点 那么的取值范围是 2 kxy6 22 yxk A B C D 3 15 3 15 3 15 0 0 3 15 1 3 15 10 试在抛物线上求一点 P 使其到焦点 F 的距离与到的距离之和最小 则该xy4 2 1 2 A 点 坐标为 A B C D 1 4 1 1 4 1 22 2 22 2 11 在长方体 ABCD A B C D 中 如果 AB BC 1 AA 2 那么 A 到直线 A C 的距离为 111111 A B C D 2 6 3 3 6 2 2 3 3 6 3 12 已知点F1 F2分别是椭圆的左 右焦点 过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交 22 22 1 xy ab M C1 C B1 D1 A1 AB D 于A B两点 若 ABF2为正三角形 则该椭圆的离心率为 e A B C D 1 2 2 2 1 3 3 3 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 4 4 分 共分 共 4 4 小题 满分小题 满分 1616 分 分 13 已知A 1 2 11 B 4 2 3 C x y 15 三点共线 则x y 14 已知当抛物线型拱桥的顶点距水面 2 米时 量得水面宽 8 米 当水面升高 1 米后 水面 宽度 是 米 15 如果椭圆的弦被点 4 2 平分 则这条弦所在的直线方程是 1 936 22 yx 16 一个命题的逆命题为真 它的否命题也一定为真 在中 是 三个角成等差数列 的充要条件 ABC 60BCBA 是的充要条件 am2 bm2 是 a b 的充分必要条件 1 2 x y 3 2 xy xy 以上说法中 判断错误错误的有 三 解答题 共三 解答题 共 6 6 小题 满分小题 满分 7474 分 分 17 本题满分 12 分 设 方程有两个不等的负根 方程无实根 p 2 10 xmx q 2 44 2 10 xmx 若p或q为真 p且q为假 求的取值范围 m 18 本题满分 12 分 已知椭圆 C 的两焦点分别为 长轴长为 6 12 0 0FF 2 2 2 2 求椭圆 C 的标准方程 已知过点 0 2 且斜率为 1 的直线交椭圆 C 于 A B 两点 求线段 AB 的长度 19 本题满分 12 分 如图 已知三棱锥的侧棱两两垂直 OABC OAOBOC 且 是的中点 1OA 2OBOC EOC 1 求异面直线与所成角的余弦值 BEAC 2 求直线BE和平面的所成角的正弦值 ABC 20 本题满分 12 分 在平面直角坐标系O中 直线 与抛物线 2相交于A B两点 xyl 2 yx 1 求证 命题 如果直线 过点T 3 0 那么 3 是真命题 lOBOA 2 写出 1 中命题的逆命题 判断它是真命题还是假命题 并说明理由 21 本题满分 14 分 如图 棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是矩形 PA 平面 ABCD PA AD 2 BD 22 1 求证 BD 平面 PAC 2 求二面角 P CD B 余弦值的大小 3 求点 C 到平面 PBD 的距离 22 本题满分 12 分 如图所示 F1 F2分别为椭圆C 的左 右两个焦点 A B 为两个顶点 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 已知椭圆 C 上的点到 F1 F2两点的距离之和为 4 2 3 1 1 求椭圆 C 的方程和焦点坐标 P D B C A 2 过椭圆 C 的焦点 F2作 AB 的平行线交椭圆于 P Q 两点 求 F1PQ 的面积 高二年级理科数学选修高二年级理科数学选修 2 12 1 期末试卷期末试卷 参考答案参考答案 一 选择题 一 选择题 二 填空题 二 填空题 1313 2 1414 1515 16 16 24082 yx 三 解答题 三 解答题 1717 解 解 若方程有两个不等的负根 则 2 分 2 10 xmx 2 12 40 0 m xxm 所以 即 3 分2m 2p m 若方程无实根 则 5 分 2 44 2 10 xmx 2 16 2 160m 即 所以 6 分13m 13pm 因为为真 则至少一个为真 又为假 则至少一个为假 pq p qpq p q 所以一真一假 即 真假 或 假真 8 分 p qpqpq 所以或 10 分 2 13 m mm 或 2 13 m m 所以或 3m 12m 故实数的取值范围为 12 分m 1 2 3 1818 解 解 由 长轴长为 6 12 0 0FF 2 2 2 2 得 所以 2 2 3ca 1b 椭圆方程为 5 分 22 1 91 xy 设 由 可知椭圆方程为 1122 A x yB xy 22 1 91 xy 直线 AB 的方程为 7 分2yx 把 代入 得化简并整理得 2 1036270 xx 10 分 1212 1827 510 xxx x 又 12 分 2 2 2 18276 3 1 1 4 5105 AB 1919 解 解 1 以O为原点 OB OC OA分别为x y z轴建立空间直角坐标系 则有 0 0 1 A 2 0 0 B 0 2 0 C 0 1 0 E 3 分 2 0 0 0 1 0 2 1 0 0 2 1 EBAC COS 22 555 5 分 所以异面直线 BE 与AC所成角的余弦为 6 分 5 2 2 设平面ABC的法向量为 1 nx y z 则 11 20 nABnABxz 知 11 20 nACnACyz 知取 1 1 1 2 n 8 分 题号 1 12 23 34 45 56 67 78 89 9101011111212 答案 C CA AA AB BC CA AB BB BD DA AC CD D 则 10 分 30 30 65 012 cos 1 nEB 故BE和平面ABC的所成角的正弦值为 12 分 30 30 2020 证明 证明 1 解法一 设过点 T 3 0 的直线l交抛物线 2x于点 A x1 y1 B x2 y2 2 y 当直线l的钭率下存在时 直线l的方程为x 3 此时 直线l与抛物线相交于 A 3 B 3 663 OBOA 3 分 当直线 l 的钭率存在时 设直线l的方程为y k x 3 其中 k 0 得ky2 2y 6k 0 则y1y2 6 又 x1 y12 x2 y22 3 2 2 xky xy 2 1 2 1 x1x2 y1y2 3 OBOA 21 2 21 4 1 yyyy 7 分 综上所述 命题 是真命题 8 分 解法二 设直线l的方程为my x 3 与 2x 联立得到 y2 2my 6 0 2 y x1x2 y1y2OBOA my1 3 my2 3 y1y2 m2 1 y1y2 3m y1 y2 9 m2 1 6 3m 2m 9 3 8 分 2 逆命题是 设直线 l 交抛物线 y2 2x 于 A B 两点 如果 那么该直线过点3 OBOA T 3 0 1 0 分 该命题是假命题 例如 取抛物线上的点 A 2 2 B 1 此时 3 2 1 3 OBOA 直线 AB 的方程为y x 1 而 T 3 0 不在直线 AB 上 3 2 12 分 点评 由抛物线y2 2x上的点 A x1 y1 B x2 y2 满足 可得y1y2 6 或3 OBOA y1y2 2 如果 y1y2 6 可证得直线 AB 过点 3 0 如果y1y2 2 可证得直线 AB 过点 1 0 而不过点 3 0 2121 解 方法一 解 方法一 证 在 Rt BAD中 AD 2 BD AB 2 ABCD 为正方形 因此22 BD AC PA 平面 ABCD BD 平面 ABCD BD PA 又 PA AC A BD 平面 PAC 解 2 由 PA 面 ABCD 知 AD 为 PD 在平面 ABCD 的射影 又 CD AD CD PD 知 PDA 为二面角 P CD B 的平面角 又 PA AD PDA 450 3 PA AB AD 2 PB PD BD 设 C 到面 PBD 的距离为 d 22 由 有 PBDCBCDP VV dSPAS PBDBCD 3 1 3 1 即 得 d 02 60sin 22 2 1 3 1 222 2 1 3 1 3 3 2 d 方法二 方法二 证 1 建立如图所示的直角坐标系 则 A 0 0 0 D 0 2 0 P 0 0 2 2 分 在 Rt BAD中 AD 2 BD 22 AB 2 B 2 0 0 C 2 2 0 0 2 2 0 2 2 2 0 0 BDACAP 即 BD AP BD AC 又 AP AC A BD 平面 PAC 0 0 ACBDAPBD 4 分 解 2 由 1 得 0 0 2 2 2 0 CDPD y z D P A C x 设平面 PCD 的法向量为 则 1 zyxn 0 0 11 CDnPDn 即 故平面PCD的法向量可取为 0002 0220 x zy zy x0 1 1 0 1 n PA 平面 ABCD 为平面 ABCD 的法向量 01 0 AP 7 分 设二面角 P CD B 的大小为 依题意可得 2 2 cos 1 1 APn APn 9 分 3 由 得 设平面 PBD 的法向量为 2 2 0 2 0 2 PDPB 2 zyxn 则 即 x y z 故可取为 0 0 22 PDnPBn 0220 0202 zy zx 1 1 1 2 n 11 分 C 到面 PBD 的距离为 2 2 2 PC 3 32 2 2 n PCn d 14 分 22 解 1 由题设知 2a 4 即 a 2 将点代入椭圆方程得 解得 2 3 1 1 2 1 2 2 2 3 2 b b2 3 c2 a2 b